数学建模培训-微分方程.

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1、数学建模培训 微分方程模型 一、什么是微分方程？ 最最简单的例子 一曲线通过点（1，2），且在该曲线任一点M( x ,y )处的切 线的斜率为2x，求该曲线的方程。 解 因此，所求曲线的方程为 若设曲线方程为 ， 又因曲线满足条件 根据导数的几何意义可知未知函数满足关系式： 对（1）式两端积分得： 代入（3）得C1 回答什么是微分方程： n建立关于未知变量、 n未知变量的导数以及 n自变量的方程 二、微分方程的解法 积分方法，分离变量法 可分离变量的微分方程 可分离变量的微分方程. 解法 为微分方程的解. 分离变量法 例1 求解微分方程 解分离变量 两端积分 例题 过定点的积分曲线; 一阶:

2、二阶: 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题. 例2. 解初值问题 解: 分离变量得 两边积分得 即 由初始条件得 C = 1, ( C 为任意常数 ) 故所求特解为 练 习 题 练习题答案 三、建立微分方程数学模型 1、简单的数学模型 2、复杂的数学模型 1、简单的数学模型 利用微分方程求实际问题中未知函数的一般步骤是： (1) 分析问题，设所求未知函数，建立微分方 程，确定初始条件； (2) 求出微分方程的通解； (3) 根据初始条件确定通解中的任意常数，求 出微分方程相应的特解 实际问题需寻求某个变量y 随另一变量 t 的 变化规律

3、：y=y(t). 直接求 很困难 建立关于未知变量、 未知变量的导数以及 自变量的方程 建立变量能满足 的微分方程 ？ 哪一类问题 在工程实际问题中 “改变”、“变化”、“增加”、“减少”等关 键词提示我们注意什么量在变化. 关键词“速率”, “增长” ,“衰变” ,“边际的” , 常涉及到导数. 建立方法 常用微分方程 运用已知物理定律 利用平衡与增长式 运用微元法 应用分析法 机理分 析法 建立微分方程模型时 应用已知物理定律， 可事半功倍 一、运用已知物理定律 例1 铀的衰变规律问题：放射性元素由于不断地 有原子放射出微粒子变成其他元素，铀的含量 不断的减少，这种现象称为衰变，由原子物理

4、 学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的 含量M成正比，已知t0时刻铀的含量为 ， 求在衰变过程中铀的含量M（t）随时间t的变化 规律。 铀的衰变速度就是 对时间t的导数 ， 解 因此， 由于衰变速度与其含量成正比，可知未知函数满足 关系式： 对上式两端积分得： 是衰变系数 且初始条件 分离变量得 代入初始条件得 所以有， 这就是铀的衰变规律。 例2 一个较热的物体置于室温为180c的 房间内，该物体最初的温度是600c，3分钟以后 降到500c .想知道它的温度降到300c 需要多少时 间？10分钟以后它的温度是多少？ 牛顿冷却（加热）定律：将温度为T的物体 放入处于常温 m 的介质中时，

5、T的变化速率 正比于T与周围介质的温度差. 分析：假设房间足够大，放入温度较低或较 高的物体时，室内温度基本不受影响，即室温 分布均衡,保持为m，采用牛顿冷却定律是一个 相当好的近似. 建立模型：设物体在冷却过程中的温度为 T(t)，t0， “T的变化速率正比于T与周围介质的温度差” 翻译为 数学语言 建立微分方程 其中参数k 0，m=18. 求得一般解为 ln(Tm)=k t+c, 代入条件: 求得c=42 ， , 最后得 T(t)=18+42 , t 0. 结果 ：T(10)=18+42 =25.870， 该物体温度降至300c 需要8.17分钟. 例3 刑事侦察中死亡时间的鉴定 牛顿冷却

6、定律指出：物体在空气中冷却的速度与物体温度和空气 温度之差成正比，现将牛顿冷却定律应用于刑事侦察中死亡时间的鉴 定。当一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的37按照牛顿冷却定律 开始下降，如果两个小时后尸体温度变为35，并且假定周围空气的 温度保持20不变，试求出尸体温度随时间的变化规律。又如果尸体 发现时的温度是30，时间是下午4点整，那么谋杀是何时发生的？ 解设尸体的温度为 ，其冷却速度为 ，根据题意， ， 即得微分方程模型 其中 是常数，分离变量并求解得: 代入初值条件 ，求得 。于是得该初值问题的解为 为求出 值，根据两小时后尸体温度为35这一条件，有 求得 ，于是温度函数为 将 代入式(

7、6-21)求解 ，有 ，即得 （小时）。 于是，可以判定谋杀发生在下午4点尸体被发现前的 小时， 即8小时24分钟，所以谋杀是在上午7点36分发生的。 另一个例子：已知物体在空气中冷却的速率与该 物体及空气两者温度的差成正比设有一瓶热水 ，水温原来是100，空气的温度是20，经过 20小时以后，瓶内水温降到60，求瓶内水温的 变化规律 例3：已知物体在空气中冷却的速率与该物体及空气两者温度的差成正比设 有一瓶热水，水温原来是100，空气的温度是20，经过20小时以后，瓶内 水温降到60，求瓶内水温的变化规律 解 可以认为在水的冷却过程中，空气 的温度是不变的 由题意，得 其中 k 是比例系数(

8、 k 0 ) 由于是单调减少的，即 设瓶内水的温度 与时间之间的函数关系为 ， 则水的冷却速率为 , (1) 所以(1)式右边前面应加“负号”初始条件为 对(1)式分离变量，得 于是方程 (1)的特解为 两边积分 得 即 把初始条件 代入上式，求得 C = 80 ， 其中比例系数 k 可用问题所给的另一条件 来确定， 即 解得 因此瓶内水温 与时间 的函数关系为 二. 利用平衡与增长式 许多研究对象在数量上常常表现出某种不变 的特性，如封闭区域内的能量、货币量等. 利用变量间的平衡与增长特性,可分析和建 立有关变量间的相互关系. 解 例1 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中 含有 的

9、 , 为了降低车间内空气中 的含量, 用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机 通入含 的 的新鲜空气, 同时以同样的 风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分 钟后, 车间内 的百分比降低到多少? 设鼓风机开动后 时刻 的含量为 在 内, 的通入量 的排出量 的通入量的排出量的改变量 6分钟后, 车间内 的百分比降低到 二. 利用平衡与增长式 例例2 2 简单人口增长模型简单人口增长模型 对某地区时刻 t 的人口总数N(t)，除考虑个 体的出生、死亡，再进一步考虑迁入与迁出 的影响. 在很短的时间段t 内，关于N(t)变化的一个 最简单的模型是： t时间内的人口增长量= t内出生人口数t内

10、死亡人口数 + t内迁入人口数t内迁出人口数 t时间内的净改变量 =t时间内输入量t时间内输出量 般化 更一 基本模型 三. 微元法 基本思想： 通过分析研究对象的有关变量在 一个很短时间内的变化情况. 例 一个高为2米的球体容器里盛了一半 的水，水从它的底部小孔流出，小孔的横截面 积为1平方厘米. 试求放空容器所需要的时间. 2米 对孔口的流速做两条假设 ： 1t 时刻的流速v 依赖于 此刻容器内水的高度h(t). 2 整个放水过程无能 量损失。 分析：放空容器 ？ 容器内水的体积为零 容器内水的高度为零 模型建立：由水力学知：水从孔口流出的 流量Q为通过“孔口横截面的水的体积V对时 间t

11、的变化率”，即 S孔口横截面积（单位：平方厘米） h(t) 水面高度（单位：厘米） t时间（单位：秒） 当S=1平方厘米，有 h(t) h+h r1 r2 水位降低 体积变化 在t，t+t 内，水面高度 h(t) 降至h+h (h0), 容器中水的体积的改变量为 令t 0, 得 dV=r2 dh， （2） 比较(1)、(2)两式得微分方程如下： 积分后整理得 0h100 令 h=0，求得完全排空需要约2小时58分. 另一个例子 有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小 孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始 时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器 里水面的高度h(水面与孔口中

12、心间的距离)随时 间t的变化规律. 解 由力学知识得,水从孔口流 出的流量为 流量系数孔口截面面积重力加速度 设在微小的时间间隔 水面的高度由h降至 , 比较(1)和(2)得: 即为未知函数的微分方程. 可分离变量 所求规律为 四.分析法 基本思想：根据对现实对象特性的认识， 分析其因果关系, 找出反映内部机理的规律. 例(独家广告模型)广告是调整商品销 售的强有力的手段, 广告与销售量之间有什 么内在联系？如何评价不同时期的广告效果？ 分析 广告的效果, 可做如下的条件假设： *1. 商品的销售速度会因广告而增大, 当商品 在市场上趋于饱和时，销售速度将趋于一个极 限值； *2. 商品销售率

13、（销售加速度）随商品销售 速度的增高而降低； *3. 选择如下广告策略，t时刻的广告费用为： 建模 记 S(t) t 时刻商品的销售速度； M 销售饱和水平，即销售速度的上限； （0） 衰减因子，广告作用随时间的 推移而自然衰减的速度. 直接建立微分方程 称 p 为响应系数，表征A(t) 对 S(t) 的影响力. 模型分析：是否与前三条假设相符？ 改写模型 假设1* 市场“余 额” 假设2* 销售速度因广告作用增大, 同时 又受市场余额的限制. 2、复杂的数学模型 逻辑斯谛方程是一种在许多领域有着广泛应用的数学模型, 下面我们借助树的增长来建立该模型.一棵小树刚栽下去的时候 长得比较慢, 渐渐

14、地, 小树长高了而且长得越来越快, 几年不见 , 绿荫底下已经可乘凉了; 但长到某一高度后, 它的生长速度趋 于稳定, 然后再慢慢降下来. 这一现象很具有普遍性. 现在我们 来建立这种现象的数学模型.如果假设树的生长速度与它目前的 高度成正比, 则显然不符合两头尤其是后期的生长情形, 因为树 不可能越长越快; 但如果假设树的生长速度正比于最大高度与目 前高度的差, 则又明显不符合中间一段的生长过程. 折衷一下, 我们假定它的生长速度既与目前的高度,又与最大高度与目前高 度之差成正比. 案例1 小树生长问题逻辑斯谛方程 设树设树 生长长的最大高度为为H(m), 在t(年)时时的高 度为为h(t), 则则有 其中 是比例常数. 这这个方程为为Logistic方程. 它是 可分离变变量的一阶阶常数微分方程. 下面来求解方程， 分离变变量得 两边积边积 分 或 所求通解 其中是常数。 的图图象称为为Logistic曲线线. 它的形状, 一般也称为为S曲线线. 可以看到, 它基本符合我们们描述的树树的生长长情形. 另外还还可以算得 这说明树的生长有一个限制, 因此也称为限制性增长模式. 背景 年 1625 1830 1930 1