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1、第三节 位移分量的求出 第四节 简支梁受均布荷载 第五节 楔形体受重力和液体压力 例题 第一节 逆解法与半逆解法 多项式解答 第二节 矩形梁的纯弯曲 第三章 平面问题的直角坐标解答 31 逆解法和半逆解法 多项式解法 1.当体力为常量，按应力函数 求解平面 应力问题时， 应满足 按 求解 多连体中的位移单值条件。 (c) S = 上应力边界条件, A内相容方程 第三章 平面问题的直角坐标解答 对于单连体，(c)通常是自然满 足的。只须满足(a),(b)。 由 求应力的公式是 (d) 第三章 平面问题的直角坐标解答 2 .逆解法 (Inverse method) 先满足 (a),再满足(b)。步
2、骤: (e) 逆解法 先找出满足 的解 在给定边界形状S下，由式(b)反推出 各边界上的面力， 代入(d), 求出 第三章 平面问题的直角坐标解答 从而得出，在面力(e)作用下的 解答，就是上述 和应力。 逆解法 逆解法没有针对性，但可以积累 基本解答。 第三章 平面问题的直角坐标解答 例1 逆解法 设图中所示的矩形长梁，l h，试考 察应力函数 能解决什么 样的受力问题？ y x o l h/2 h/2 ( l h) 第三章 平面问题的直角坐标解答 解：按逆解法。 1. 将 代入相容方程，可见 是 满足的。 有可能成为该问题的解。 2. 由 求出应力分量 第三章 平面问题的直角坐标解答 因此
3、，在 的边界面上，无任何 面力作用，即 3. 由边界形状和应力分量反推边界上的 面力。 在主要边界（大边界） 上， x y h/2 h/2 l 第三章 平面问题的直角坐标解答 在x = 0，l的次 要边界（小边 界）上， x y h/2 h/2 l 第三章 平面问题的直角坐标解答 在x = 0,l 小边界上的面力 如下图 中(a) 所示，而其主矢量和主矩如(b)所示。 (a) (b) F F M=Fl 第三章 平面问题的直角坐标解答 由此，可得出结论：上述应力函数可以解 决悬臂梁在 x = 0 处受集中力F作用的问题。 F 第三章 平面问题的直角坐标解答 例3 二次式 ，分别表示常量 的应力和
4、边界面力。如图示。 例2 一次式 对应于无体力， 无面力，无应力状态。故应力函数加减 一次式，不影响应力。 逆解法 2a 2a o y x o y x o y x b b b b 2c2c 第三章 平面问题的直角坐标解答 对于图示1/4圆薄板，试考察应力函数 能满 足相容方程，并求出应力分量（不计体力），画出边 界面上的面力分量（弧面上用法向和切向表示） 作 业 第三章 平面问题的直角坐标解答 代入 ，解出 ； 3.半逆解法(Semi-inverse method) 步骤： 半逆解法 由应力(d)式，推测 的函数形式； 假设应力的函数形式（根据受力情况 ，边界条件等）； (d) 第三章 平面问
5、题的直角坐标解答 由式（d），求出应力； 半逆解法 校核全部应力边界条件（对于多连体， 还须满足位移单值条件）。 如能满足，则为正确解答；否则修改假 设，重新求解。 第三章 平面问题的直角坐标解答 思考题 半逆解法 1. 在单连体中，应力函数必须满足哪些条 件？逆解法和半逆解法是如何满足这些条 件的？ 2. 试比较逆解法和半逆解法的区别。 第三章 平面问题的直角坐标解答 半逆解法解题的基本步骤 逆解法解题的基本步骤 单连体 第三章 平面问题的直角坐标解答 3-2 矩形梁的纯弯曲 梁lh1，无体力，只受M作用（力矩/ 单宽，与力的量纲相同）。本题属于纯弯曲 (Pure bending)问题。 问
6、题提出 h/2 h/2 ly x ( l h) o M M 第三章 平面问题的直角坐标解答 由逆解法得出，可取 ，且满足 求应力 (a) 求解步骤： 本题是平面应力问题,且为单连体， 若按 求解， 应满足相容方程及 上的应力边界条件。 第三章 平面问题的直角坐标解答 检验应力边界条件，原则是: 边界条件 b.后校核次要边界（小边界），若不 能精确满足应力边界条件，则应用圣维南 原理，用积分的应力边界条件代替。 a.先校核主要边界（大边界），必须 精确满足应力边界条件。 第三章 平面问题的直角坐标解答 主要边界 从式(a)可见，边界条件(b)均满足。 满足。 次要边界 x=0, l, (c) 主
7、要边界 h/ 2 h/ 2 ly x o MM 第三章 平面问题的直角坐标解答次要边界 用两个积分的条件代替 主要边界 h/ 2 h/ 2 ly x o MM 的边界条件无法 精确满足。 次要边界 x=0, l, 第三章 平面问题的直角坐标解答 当 时，即使在 边界上面力 不同于 的分布，其误差仅影响梁的两端 部分上的应力。 式(d)的第一式自然满足，由第二式得出 最终得应力解(e) 第三章 平面问题的直角坐标解答 如果区域内的平衡微分方程已经满足，且 除了最后一个小边界外，其余的应力边界条件 也都分别满足。则我们可以推论出，最后一个 小边界上的三个积分的应力边界条件（即主矢 量、主矩的条件）
8、必然是满足的，因此可以不 必进行校核。试对此结论加以说明。 思考题 第三章 平面问题的直角坐标解答 3-3 位移分量的求出 在按应力求解中，若已得出应力，如何 求出位移？ 以纯弯曲问题为例，已知 试求解其位移。 问题提出 第三章 平面问题的直角坐标解答 1. 由物理方程求形变 求形变 第三章 平面问题的直角坐标解答 2. 代入几何方程求位移 求位移 第三章 平面问题的直角坐标解答 对式(a)两边乘 积分, 对式(b)两边乘 积分 , 求位移 第三章 平面问题的直角坐标解答 再代入(c) , 并分开变量， 上式对任意的 x , y 都必须成立，故 两边都必须为同一常量 。 求位移 第三章 平面问
9、题的直角坐标解答 由此解出 求位移 得出位移为 3.待定的刚体位移分量 ， 须由边界约束条件来确定。 第三章 平面问题的直角坐标解答 由边界约束条件来确定刚体位移分量 ， Simply supported beam Cantilever beam ？ ？ 第三章 平面问题的直角坐标解答 2.代入几何方程，积分求 ； 归纳：从应力求位移步骤： 3.由边界约束条件确定确定刚体位移分量 1.由物理方程求出形变； 第三章 平面问题的直角坐标解答 2. 铅直线的转角 故在任一截面x 处，平面截面假设成立。 纯弯曲问题的讨论： 1. 弯应力 与材料力学的解相同。 3.纵向纤维的曲率 同材料力学的结 果。故
10、在纯弯曲情况下，弹性力学解与材料力 学解相同。 第三章 平面问题的直角坐标解答 思考题 2. 试证明刚体位移 实际上表示弹性体中 原点的平移和转动分量，并应用本节的解答加以 验证。 提示：微分体的转动分量为 1. 弹性力学中关于纯弯曲梁的解答，与材料力学 的解答在应力、形变等方面完全 一致。由此 是否可以说在纯弯曲情况下材料力学中的平截 面假设成立？ 第三章 平面问题的直角坐标解答 3-4 简支梁受均布荷载 简支梁 ，受均布荷载 及两端支撑反力 。 。 问题 y x o ll h/2 h/2 第三章 平面问题的直角坐标解答 现采用此假设。 按半逆解法求解。 假设应力分量。由材料力学 因为 因为
11、 所以，可假设 所以，可假设 因为 所以，可假设 y x o ll 第三章 平面问题的直角坐标解答 由应力分量推出应力函数的形式。 由 对 x 积分， 对x再积分， (a) 半逆解法 第三章 平面问题的直角坐标解答 将 代入相容方程，求解 : 相容方程对于任何 均应满足,故 的系数均应等于0，由此得三个常微分方程。 半逆解法 第三章 平面问题的直角坐标解答 式(b)中已略去对于 的一次式。 将式(b)代入式(a)，即得 。 (b) 半逆解法 解出: 第三章 平面问题的直角坐标解答 对称性条件由于结构和荷载对称于 轴，故 应为 的偶函数， 为 x的奇函数，故 。 由 求应力。 半逆解法 在无体力
12、下，应力公式如书中式( f ), (g),(h)所示。 y x o ll 第三章 平面问题的直角坐标解答 考察边界条件。 由此解出系数A , B , C , D 。 主要边界 主要边界 y x o ll 第三章 平面问题的直角坐标解答 次要边界 次要边界 由此解出H，K. 另一次要边界(x= -l )的条件，自然满足。 应用圣维南原理，列出三个积分条件， y x o ll 不满足 第三章 平面问题的直角坐标解答 最后应力解答： 应力 第三章 平面问题的直角坐标解答 应力的量级 当 时, x l 同阶， y h 同阶. 第一项 同阶,（与材料力学解同） ; 第二项 同阶, （弹性力学的修正项 ）
13、 应力的量级 第三章 平面问题的直角坐标解答 应力的量级 当 时, x l 同阶， y h 同阶. 同阶, （与材料力学解同） 应力的量级 同阶, （材料力学中不计） 第三章 平面问题的直角坐标解答 当 时, 量级的值很小,可以不计。 应力与材料力学解比较: 最主要量级 , 和次要量级 ,在材料 力学中均已反映，且与弹性力学相同。 最小量级 , 在材料力学中没有。 当 时, 仅占主项 的1/15 ( 6 %) , 应力比较 中的弹性力学修正项： 第三章 平面问题的直角坐标解答 弹性力学与材料力学的解法比较: 应力比较 弹性力学严格考虑并满足了A内的平衡 微分方程 ,几何方程和物理方程,以及S上
14、的 所有边界条件(在小边界上尽管应用了圣维南 原理,但只影响小边界附近的局部区域)。 材料力学在许多方面都作了近似处理, 所以得出的是近似解答。 第三章 平面问题的直角坐标解答 几何条件中引用平截面假定 沿 为直线分布； 例如： 边界条件也没有严格考虑； 平衡条件中没有考虑微分体的平衡，只 考虑 的内力平衡； 材料力学解往往不满足相容条件。 第三章 平面问题的直角坐标解答 对于杆件，材料力学解法及解答具有 足够的精度； 对于非杆件，不能用材料力学解法求 解，应采用弹性力学解法求解。 第三章 平面问题的直角坐标解答 1. 当问题中的y轴为对称轴时，试说明 和 应为x的偶函数，而 应为x的 奇函数。 思考题 2. 对于梁的弯曲问题，试回忆在材料力学 中是如何考虑平衡条件的？ 第三章 平面问题的直角坐标解答 3. 试说明从弹性力学得出的解答（3-6）不 符合平面截面假设。 4. 材料力学的解答往往不满足相容条件， 为什么？ 第三章 平面问题的直角坐标解答 3-5 楔形体受重力及液体压力 设有楔形体， 左面垂直，顶角为 ，下端无限长，受 重力及
