塑性力学六

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1、6-1 概述 6-2 塑性铰和极限荷载 6-3 超静定梁和刚架的极限荷载 6-4 杆系结构极限分析的上、下限定理 6-5 上、下限定理的应用 6-1 概述 一、结构设计的两种方法 1、许用应力法 2、塑性分析（极限设计）的方法 这种分析方法的基本观点见于Galileo 在1638年研究自由端受垂直力作用的矩形截 面悬臂梁时，假定梁在破坏时像刚体一样绕 固定端旋转，在固定端的每一根纤维都承受 等值的应力，破坏荷载可以从绕旋转轴的力 矩平衡方程式得出。这种基于整体平衡的分 析方法（机动法）主要是找结构破破坏时的 可能机构，且在分析中考虑材料的塑性性质 ，允许结构内部产生局部的永久变形，使得 整个结

2、构的承载能力继续增加，直到结构开 始失去抵抗外力的能力、或无法使用时为止 。 二、两种塑性破损 1、一次加载（比例加载）下的塑性破损； 2、反复加载下的塑性破损累积塑性破损 及循环塑性破损； 3、极限分析中的基本假设。 在工程实践中，往往只要计算结构的极 限荷载而不考虑极限状态到达前的变形过程 ，这种分析方法即结构的极限分析。在极限 分 析中采取的基本假设为： （1）材料是理想塑性的。为简便计，一般 采用理想刚塑性模型； （2）变形足够小，可以不考虑变形所引起 的几何尺寸的改变； （3）结构有足够的刚度，在到达极限荷载 前，不失去稳定； （4）所有荷载都按同一比例增加； （5）加载速度缓慢，可

3、以不计惯性力。 这些假设简化了分析计算，所得结果与 实际相符。 一、塑性铰与机构 当外力逐渐增加，最大弯矩截面上离中 性轴最远的部分首先进入塑性状态。此后塑 性区逐渐扩大，直至整个截面全部进入塑性 。这时该截面的曲率可以“无限大”，如同 形成了一个铰，称为塑性铰。 6-2 塑性铰和极限荷载 当 时，梁是弹性的； 时，梁的 中央截面开始进入塑性，这是梁所能承受的 最大弹性荷载； 梁处于弹塑性阶 段， 极限荷载，此时梁成为一个机构 。 结构由于出现塑性铰而形成的机构称作 塑性机构或破损机构，简称机构。 塑性铰与真实铰的区别： 1）真实铰不能承受任何力矩，而塑性铰则 有定值的抗弯能力 ； 2）卸载时

4、塑性铰即消失。但由于存在残余 变形，结构不能恢复原状； 3）真实铰是双向的（即两个方向都可以转 动，此处限于讨论平面结构），而塑性铰是 单向铰，只能沿一个方向（塑性弯矩的方向 ）转动，当两者不一致时，属于卸载情况， 塑性铰消失，重新按弹性规律计算。 二、静定与超静定结构的极限荷载与最大弹 性荷载 使杆系结构产生足够数量的塑性铰而形 成机构的最小荷载 称为极限荷载，它使结 构开始发生“无限”塑性流动，结构在这一 荷载作用下，将不能维持平衡。 静定结构的内力由荷载、结构尺寸和约 束情况唯一确定，不会因塑性变形而改变， 考虑材料的塑性对其承载能力提高不是很明 显。静定桁架的极限荷载就是最大弹性荷载

5、。考虑到杆件的压缩稳定性，超静定桁架的 承载能力也不会因考虑塑性而有较大增加， 但对连续梁及超静定刚架情况就大不一样， 故塑性分析主要讨论连续梁和超静定刚架。 一、超静定梁的极限荷载 当 时，全梁处于弹性状态， 。 6-3 超静定梁和刚架的极限荷载 故A端弯矩首先达到 ，成为一个塑形铰 ，然后才是C截面形成塑形铰，此时梁成为 一个机构，失去继续承载的能力，此时的荷 载就是极限荷载。 利用静力法，设B处的反力为 则 而最大的弹性荷载 塑形分析得出的承载能力较弹性分析得出的 提高了68.8%。 注意，在求极限荷载时，没有先计算弹 性和弹塑性的情形，并且上述分析也与两个 塑性铰形成的先后次序无关，这

6、就表明了塑 性分析比先进行弹性分析、然后弹塑性、最 后自由塑性的弹塑性方案要简单得多。 二、用机动法求梁的极限荷载 当梁上的荷载逐渐增加形成塑性机构， 塑性铰转动的瞬间，结构的内力和应力不变 除塑性铰处极限弯矩作功外，其余部分的弹 性能量不变。因此，可以把塑性铰以外的部 分看作是刚性的，计算就方便多了。机动法 就是在假设结构可能形成的各种塑性机构的 基础上，运用内力功和外力功相等的原理， 求出相应于各塑性机构的荷载，从中选出真 正的极限荷载的方法。 在用机动法时，注意塑性铰转动的方向 总是与极限弯矩 的方向一致的。故极限 弯矩 所做的内功总是正的。所以可以不 考虑内力功的正负问题。 三、用静力

7、法求梁的极限荷载 梁的极限荷载也可以用静力法求得。就 是在梁上弯矩可能取极值的某些截面处（如 集中力作用处），假设弯矩达到极限值，即 ，而使结构成为一个塑性机构，然后用平衡 方程求出整个结构的弯矩分布。以校核各截 面上的弯矩，若各截面上的弯矩均未超过极 限弯矩，而结构又是一个机构，对应的荷载 就是最大的可能平衡的荷载极限荷载。 四、求刚架的极限荷载 例子： 如图，最大弯矩只可能发生在A和C截面处， 设 ， 对于整个梁，写出对A点的力矩平衡方程， 对BC段，列出对C点的力矩平衡方程，得 由此可以得到 由于弯矩在AC和BC之间都是逐段线性变化的 ，除A和C外，任何截面处的弯矩 ， 而结构现在又是一

8、个机构，所以这时的极限 荷载为 四、求刚架的极限荷载 机动法求图示刚架的极限荷载（各杆的 极限弯矩 均相同）。 解：可能的塑性机构有4个 由（1）可得： 由（2）可得： 由（3）可得： 由（4）可得： 故结构的极限荷载为 下面研究截面的极限弯矩为已知的连续 梁和刚架在一次加载时的极限荷载。 一、简化假设 1）当截面上的弯矩 时，截面成为塑 性铰，可以无限制地单向旋转； 2）各梁柱的极限弯矩 都是常数（即梁、 柱是等截面、同材料的，并且不计剪力和轴 力的影响）； 3）刚架的几何变形与结构尺寸相比，可以 略去不计； 6-4 杆系结构极限分析的上、下限定理 4）刚架的尺寸是指中心线而言的。 第一个假

9、定是不考虑材料强化效应的结 果，这相当于降低结构的抗力。若是考虑强 化效应，则可以将极限弯矩适当提高，以进 行近似分析。软钢符合这一假定。 第二个假定的作用是略去次要因素，这 相当于提高了结构的抗力。当它们不能被忽 略时，可由逐次逼近的方法加以修正。研究 表明：在一般情况下，剪力对极限弯矩的影 响不超过5%，轴力的影响不超过15%。 第三个假定在不涉及结构稳定时用。该 假定用了弹性结构中关于小变形的假定。 第四个假定是为了简化计算。 剪力和轴力的影响是减少极限弯矩，而 材料的强化及梁的实际跨度的减少则将提高 极限荷载，两种影响互相补偿，因此根据这 种假定计算出来的结果与实际结果比较吻合 。 二

10、、极限分析的两个定理 对于一次比例加载的情形，加载过程可 以用一个变量 （荷载参数）或称荷载因子 来表示。以 （荷载参数的极限值）表示结 构的真实破损荷载参数，且设荷载参数 时 ， 可能在结构中找出一套适合平衡条件的弯矩 ，并且它处处都不超过构件的极限弯矩，这 样 的弯矩场被称作静力许可的内力场。在所有 与静力许可内力场相对应的荷载参数中，以 真实的破损荷载参数为最大。即 ， 这就是下限定理。 如果在结构内加进足够多的塑性铰，使 结构整体或其一部分成为机构，并以 表示 和这种机构相对应的荷载参数。则在所有与 机构对应的荷载参数中，以真实破损荷载参 数为最小。即 ，这就是上限定理。 结构在极限荷

11、载作用下，与它相平衡的 弯矩在任何截面上都不超过该处的极限弯矩 ；而同时又产生足够多的塑性铰使结构成为 一个机构。 在实际问题中，具体应用上、下限定理 求极限荷载的途径有如下三种： （1）机构组合法。就是运用机动法求最小 的 。 （2）找上、下限的方法。同时运用机动法 和静力法，分别求出极限荷载的上、下限， 从而确定极限荷载或其所在的范围。 （3)求与静力许可内力场相应的荷载的最大 值。如不等式的方法或力矩分配法等。但方 法比较繁杂。 6-5 上、下限定理的应用 下面举例说明。 例1、求 （杆件的极限弯矩 已知） 解： 静力法: 最大正弯矩和固端弯矩为 和 为了满足塑性不等式，有 (二)机动法

12、 这个对称的三次 超静定结构，必须要 有三个塑性铰才能成 为机构。由于结构和 荷载的对称性，一个塑性铰将出现在梁的中 点C处，设另两个塑性铰离C点的距离为x， 则 当 时， 有极小值， 故极限荷载两种方法所得的结果相同。 例2、求极限荷载 解：（一）、静力法 此结构除了在固定 端形成塑性铰外，还需 要有一个塑性铰才能成 为机构。设第二个塑性铰在梁的中点C处。 塑性铰A处的弯矩为 ，C处的弯矩为 。 由平衡条件得： 由此可得弯矩的分布为 将 ，则所得结果将与 相平衡，且各 截面上的弯矩都不超过极限弯矩，故 是一个静力解 进一步假定中间铰 在 处， 梁的最大弯矩随着荷载的增加，由于内力的 重新分布

13、而梁的最大弯矩截面在变化。 （二）机动法 假设中间铰在距离固 端A为x的截面处，则： 此乃极限荷载。 例3 解：（一）静力法 在BC段的弯矩方程为 BA段的弯矩方程为 如塑形铰在BC段内形成，则该段的最大弯矩 必将获得极值，条件为 在极限状态时，由（2）得 （5）、（6）可得 由于在A和 处形成塑形铰后，此梁形成 破坏机构，故所得的解为准确的极限荷载。 （二）机动法 由于此结果满足 的屈服条件， 故所得的结果是准确的极限荷载，与静力解 一样。 例4、已知所示刚架，承受均布荷载 及集 中力 ，梁、柱的极限弯矩分别为 、 ，求极限荷载。 解：（一）机动法 设在极限状态时，刚架的位移如图 则对 （1

14、） ； （2） ； （3） ； （4） 故 进一步针对（3）设梁上 的塑性铰在距离C为 处， 其中 内功为： 外功为： 内功=外功 由 故当 ，有极值 （二）静力法 刚架是三次超静定结构，有6个反力。 如已知这6个反力及荷载的大小，就可以画 出整个刚架的弯矩图。对于（3）情况，由 于是三次超静定，破坏时有四个点的弯矩值 达到其极限弯矩，只有梁上的位置待定，设 到C的距离为x， 由平衡条件： 积分 由边界条件 当 时， 。柱上没有外力，最大 弯矩在柱的两端。所以柱上各处的弯矩都小 于极限弯矩。 由（a）可知梁的最大弯矩发生在 处 ， 有 ，超过了梁的极限弯矩 。 若将荷载乘以 就得到了静力许可的内 力场。因此荷载参数的下限是 故 取平均值 。误差不超过2%，已 足够精确。 还可以用如下方法求 再由条件 得： 解得 对应的 为 或 故