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1、九年级 余红兵!编著 “!“#$ “%$& “()*+ “,-./ “0123 华 东 师 范 大 学 出 版 社 0! 目 !录! ! 第二十一章!二次根式! - ! 平方根的概念! “ ! 二次根式的概念!“ . ! 分母有理化!# 0 ! 二次根式的化简与求值!$ 第二十二章!一元二次方程! % , ! 一元二次方程的概念! % % ! 一元二次方程的解! & $ ! 一元二次方程的解法! + ! 可化为一元二次方程的方程! ( * ! 一元二次方程的判别式! ) - # !根与系数的关系& 一 ! & ! - - !根与系数的关系& 二 ! & - “ !一元二次方程的应用! & (
2、第二十三章!旋转!& ) - . ! 旋转!& ) - 0 !旋转帮助解题! “ & - , ! 中心对称!“ - % !中心对称帮助解题! “ ( - $ !关于原点对称的点的坐标! “ ) 第二十四章!圆! ! - + !圆心角( 圆弧和弦! ! - * ! 垂径定理! “ # ! 圆周角! * #! “ - !直径所对的圆周角! $ “ “ !圆内接四边形! # % “ . !点与圆的位置关系! # & “ 0 !直线与圆的位置关系! # “ , !切线的判定! # * “ % !切线的性质! # ) “ $ !三角形的内切圆! * & “ + ! 弦切角!* # “ * !两圆的位置关
3、系! * $ . # !圆中的计算问题! ( ! . - !圆锥( 圆柱的侧面积和全面积! ( 第二十五章!概率初步!( ( . “ !概率的计算! ( ( . . !概率的简单应用! ( ) 第二十六章!二次函数!$ & . 0 !二次函数的概念! $ & . , !二次函数的图象& 一 ! $ # . % !二次函数的图象& 二 ! $ $ . $ !二次函数图象的平移! ) ! . + !二次函数的最大值与最小值! ) . * !二次函数与一元二次方程! ) ( 0 # !二次函数解析式的确定& 一 ! ! % ! 0 - !二次函数解析式的确定& 二 ! ! % 0 “ !二次函数与应
4、用问题& 一 ! ! % * 0 . !二次函数与应用问题& 二 ! ! % ) 第二十七章!相似! ! & 0 0 !比例及其性质! ! ! & 0 , !平行线分线段成比例! ! ! # 0 % !三角形的相似与平行线! ! ! $ 0 $ !三角形相似的判定& 一 ! ! & ! 0 + !三角形相似的判定& 二 ! ! & ! 0 * !直角三角形的相似! ! & ( , # !相似三角形的性质! ! “ % , - ! 位似! “ “ 第二十八章!锐角三角函数! “ # , “ !锐角三角函数! ! “ # , . !求三角函数值! ! “ ( , 0 !三角函数之间的关系! ! %
5、 , , !三角函数值的变化规律! ! “ , % !解直角三角形! ! # , $ !解斜三角形! ! $ , + !解直角三角形的应用! ! # ! 第二十九章!视图和投影! # , * ! 三视图! # % # ! 展开图! # ( 第三十章!综合题! * % % - !运动( 面积与函数! ! * % % “ !运动( 相遇及图象! ! * “ % . !直线( 双曲线和三角形! ! * # % 0 !面积( 相似与函数! ! * ( % , !对称( 抛物线和平行四边形! ! ( % % % !二次函数( 二次方程和三角形! ! ( & % $ !直线( 圆和抛物线! ! ( # %
6、 + !运动( 直线和圆! ! ( $ % * !抛物线( 直线和比例线段! ! $ ! $ # !三角形( 动点和轨迹! ! $ “ 参考答案! $ * 0! 序 ! ! ! 如今# 家长对子女的教育非常关注# 希望他们在学习上成为优胜者# 成 为优等生! 所谓的优等生# 既有绝对性# 又有相对性! 儿童们在共同学习过程中# 自 然有差异# 学习成绩有高低之分! 但就中小学数学而言# 只要有浓厚的兴趣$ 认真的学习态度和科学的学习方法# 多数孩子能取得优良的数学成绩! 数学成绩不够理想而又喜欢数学的孩子# 希望找到提高的途径% 数学成 绩优良的孩子# 又会感到一般的课程内容吃不饱# 希望学得
7、更深入一些!& 优 等生数学 这套书# 可以帮助这部分孩子实现他们的心愿! 由朱华伟$ 熊斌$ 余红兵等编写的这套书# 以中小学数学教学内容为依托# 立足于学生基础知识进行拓展% 以数学新课标为准绳# 着眼于培养学生灵活运 用知识的能力% 以思维训练为核心# 着重于培养学生的自主探究能力! 该书设计有很好的栏目( ! 经典例题“!新颖独特# 覆盖面广# 趣味性强# 具有代表性# 有启迪 作用% ! 解题策略“ !深入浅出# 通俗易懂# 情景生动# 引人入胜# 如循循善诱的 老师上课% ! 画龙点睛“ !清晰的思路与诗情画意的标题融为一体# 言简意赅地揭 示解题的奥秘% ! 举一反三“ !提供了
8、有层次性$ 发展性的题目# 让学生在探索中有一种 #! ) 出乎预料之外# 在乎情理之中* 的感觉% ! 融会贯通“ !摘选了近几年国内外有关考试! 包括数学竞赛“ 中的一些 优秀试题和作者自编的一些题目# 这些题目有一定的综合性和难度# 可以帮 助学生开阔视野# 拓展思维! 这套书的例题和习题# 难度不算大# 题量不算多# 如能认真对待每一道 题# 把每一道题目弄懂弄通# 数学素质会有明显的提高! 如果课余时间不多# 在家长指导下品尝一些# 也能开眼界# 扩思路# 提高对数学的兴趣! 愿更多的学生喜欢数学# 取得优良的成绩! “ # # $年,月“ *日 张景中#著名数学家$ 中国科学院院士
9、$ 中国教育数学学会名誉理事长$ 中国科普作家协会名誉理事长! 书书书 ! ! ! 第 二 十 一 章 ! 二 次 根 式 ! ! ! !平方根的概念 !如果一个数的平方等于数! 那么这个数就称为!的一个平方根“ 很明 显! 这里的!必须是非负数“ 若! “! ! 则!有两个平方根! 记作“槡 ! 其中正 的平方根槡! 称为!的算术平方根“ 数!只有一个平方根! 就是! “ 若# !$ %与&!$ 是同一个数的平方根! 求这个数“ 记所求的数为#“ 有两种情况“ 若# !$%&!$! 则!%$# ! 从而# !$%$% ! “ 故由平方根的定 义知! ! ! #%#$% !$ & % ! !
10、“ 若# !$%与&!$不相等! 即这两个数是#的两个不同的平方根! 则#! $ %与&!$ 为互相反数! 故有 # #!$%$&#&!$%! 解得!% ! 所以# !$%& ! 故 #%& & % “ 因此所求的数是或% ! ! “ % ( 若一个数有平方根! 则要么平方根是零! 要么有两个平方根! 且互为 相反数“ & ( 本题中不要忽略了#!$%与&!$相等这一情况“ ! “ 对于任何数! 下面的数中必定有平方根的是# !$“ “! #)$!&%#*$! &+ ! #,$! &- !&% #.$! & !&- # “ 若 槡&$ %是!槡$ &的一个平方根! 则!/!“ $ “ 已知&#
11、$%的平方根为“ #!#&$%的平方根为“ ! 求 #& 的算术平方根“ % “ 已知 !$槡&( &$ 槡0%! ! 求 !&( 的值“ #! “ ! !二次根式的概念 !解决涉及二次根式的问题! 必须紧紧抓住二次根式的概念和基本性质“ 若!满足 #!$ 槡%$ & # !$%$槡 & % ! 求!“ !槡 $ %是 !$ %的算术平方根! 故必有!$%#! ! 即 !#% “ 由定义知 #!$ 槡%$ & %!$% !#! #% $“ 注意 # !$ %$ & #! ! # !$%$槡 & 是# !$ %$ &的算术平方根! 它是非负的! 故 # !$%$槡 & % )!$% ) %!$%
12、# 因上面已得到了! #% $“ 因此问题中的等式即为 # !$%$&#!$%$% !#! #% $ ! 解得!%# “ 因#“% ! 故 !%#是所求的解“ 所涉及的二次根式必须有意义! 是很多此类问题中的% 隐含条件& ! 切莫 忽视“ ! “ 要使得 #&槡#& #$槡#有意义! 则#的取值范围是!“ # “ 设 #满足% $#槡 & &# &$ 槡&% #& ! 求 #1槡“ $! $ “ 设 !和#满足 % 槡 #$ # & &# %$槡#$ &$ # &% # &$ 槡 &%! 试确定!的取值范围“ % “ 设 !(*满足!&(&*&#%&#槡!&($槡%&*&槡%$ ! 求! &
13、 ( & * & 的值“ %! # ! !分母有理化 !分母有理化! 是化简根式及根式运算中最为基本的一步“ 将 !&% %$!$% 槡! 分母有理化“ 问题中的二次根式隐含着$% ! “! ! 即 ! $! “ 首先将$% 槡! 分母有理化! 我们有 $% 槡! %$! !槡 &% % )!) $槡!%$ $槡! ! !# 注意! $! $ ! 因此问题中的分式化为 !1 % % 1$槡!“ 为了将此分式分母有理化! 我们注意! % 1 $槡!的有理化因子是% $槡!“ 当% $槡!% !时! 我们用% $槡!同乘 上述分式的分子 分母得 !&% %&$槡! % # !&%$ #%$槡!$
14、# %&$槡!$ # %$槡!$ % # !&%$ #%$槡!$ %$#$槡!$ & % # !&%$ #%$槡!$ %&! %$槡! &! 当%$ $槡! %!即 ! %$%时! !&% %&$槡! % $%&% & %! 这也等于 %$槡!“ 合并上面两种情况的结果可知 !&% %$!$% 槡! %$槡!“ 也可采用下面的方法“ 将 !1 % % 1$槡! 的分子用平方差公式拆开# 避免了分 两种情况处理$ ! 我们有 !&% %&$槡! %$ # $!$ %&$槡! % &$# $槡!$ & %&$槡! % # %$槡!$ # %&$槡!$ %&$槡! %$槡!“ % ( 将形如 + 槡
15、, # 这里+ , #! !, %! $ 的根式分母有理化! 应注意算术平 方根的意义“ + 槡, % + , ,槡 &% % ),) 槡+ ,“ & ( 将形如 % +1槡, # 这里+ %!,#!$ 的根式分母有理化! 应注意# 分母 的$ 有理化因子+$槡,是否可能为零! 必要时需分情况分别处理“ # ( 有时! 利用+ #!时有 +%#槡+$ &! 及平方差公式! 处理更为直接“ ! “ 化简! ( % ! & % (槡 &“ ! # “ 化简 # &$ # #&#槡“ $ “ 化简 !&槡($!$槡( !&槡(&!$槡(“ % “ 设 槡#%槡!$ % 槡! ! 化简#& #&#槡 & #&$ #&#槡 &“ (! $ ! !二次根式的化简与求值 !二次根式的化简与求值问题! 往往需要综合应用二次根式的性质! 乘 # 除$ 法公式! 加# 减$ 运算的法则等来进行“ 最重要的是应当根据问题的特点 选择解法! 而不是一成不变! 墨守成规“ 已知#满足#&%$&! # % % # ! 求 # 槡 & 槡# 的值“ 由条件知#1 $ !且 # “ ! ! 故 #都是负数! 则有# 先将分母有理化$ # 槡 & 槡# % # 槡 & # #槡 &%$ #槡 $ #槡 # %$ % # &% #$ #槡%$#&
