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1、章 导数及其应用 1.4 生活中的优化问题举例 1.了解导数在解决实际问题中的作用. 2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题. 问题导学题型探究达标检测 学习目标 知识点 生活中的优化问题 问题导学 新 知探究 点点落实 1.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题 通常称为 . 2.利用导数解决优化问题的实质是. 3.解决优化问题的基本思路是： 上述解决优化问题的过程是一个典型的 过程. 优化问题 求函数最值 数学建模 答案返回 类型一 面积、容积的最值问题 解析答案 题型探究 重 点难点 个个击破 例1 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的
2、正方形 硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线 折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形 状的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点 ，设AEFBx cm. (1)若广告商要求包装盒侧面 积S(cm2)最大，则x应取何值 ？ 当且仅当x30x，即x15时，等号成立， 所以若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大，则x15. (2)若广告商要求包装盒容积V(cm3)最大，则x应取何值？并求出此时包 装盒的高与底面边长的比值. 解析答案反思与感悟 反思与感悟 令V0，得0x20；令V0，得20x30. 1.这类问题一般用面积公式，
3、体积公式等作等量关系，求解时应选取合 理的边长x作自变量，并利用题目中量与量之间的关系表示出其他有关 边长，这样函数关系式就列出来了. 2.这类问题中，函数的定义域一般是保证各边(或线段)为正，建立x的不 等式(组)求定义域. 反思与感悟 解析答案 跟踪训练1 某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场.如图，圆形 广场的圆心为O，半径为100 m，并与北京路一边所在直线l相切于点M.点A 为上半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂足为点B.市园林局计划在ABM 内进行绿化.设ABM的面积为S(单位：m2)，AON(单位：弧度). (1)将S表示为的函数； (2)当绿化面积S最大时，试确定点A的位
4、置，并求 最大面积. 解 S5 000(2cos2 cos 1) 5 000(2cos 1)(cos 1). 解析答案 类型二 利润最大问题 解析答案 例2 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1 千件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完 ，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x) (1)求年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年 利润最大，并求出最大值. 解 当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利 润最大，最大利润为38.6万元. 反思与感
5、悟解析答案 解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的 函数关系，常见的基本等量关系有： (1)利润收入成本； (2)利润每件产品的利润销售件数. 反思与感悟 跟踪训练2 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单 位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y 10(x6)2，其 中3x6，a为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千 克. (1)求a的值； 所以a2. 解析答案 (2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每 日销售该商品所获得的利润最大. 解析答案 解 由(1)可知，该商品每日的销售量 所以商场每日销售
6、该商品所获得的利润 从而，f(x)10(x6)22(x3)(x6) 30(x4)(x6). 解析答案 于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： x(3,4)4(4,6) f(x)0 f(x)单调递增极大值42单调递减 由上表可得，x4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点. 所以，当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42. 答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大. 例3 已知A、B两地相距200 km，一只船从A地逆水行驶到B地，水速 为8 km/h，船在静水中的速度为v km/h(80)， 则y1kv2，当v12时，y172
7、0， 720k122，得k5. 设全程燃料费为y，由题意，得 令y0，得v16，当v016， 即v16 km/h时全程燃料费最省，ymin32 000(元)； 解析答案反思与感悟 当v016，即v(8，v0时，y0， 即y在(8，v0上为减函数， 综上，当v016时，v16 km/h全程燃料费最省，为32 000元； 反思与感悟 1.用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这 类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函 数表达式，准确求导，结合实际作答. 2.利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使 f(x)0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么
8、不与端点值比较 ，也可以知道在这个点取得最大(小)值. 反思与感悟 跟踪训练3 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶 和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米 厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万 元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x) (0x10)，若不 建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的 能源消耗费用之和. (1)求k的值及f(x)的表达式； 解析答案 解 设隔热层厚度为x cm， 而建造费用为C1(x)6x. 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 (2)隔热
9、层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值. 当0x5时，f(x)0，当50)，为使利润最大，应生产( ) A.9千台 B.8千台 C.6千台 D.3千台 解析答案 1234 C 解析 构造利润函数yy1y218x22x3(x0)，y36x6x2，由 y0得x6(x0舍去)，x6是函数y在(0，)上唯一的极大值点 ，也是最大值点. 3.将一段长100 cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆形， 当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为_ cm. 1234 解析答案 1234 解析答案 解析 设弯成圆形的一段铁丝长为x，则另一段长为100x， 设正方形与圆形的面积之和为S， 123
10、4 4.某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低价格，销 售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位： 元，0x21)的平方成正比.已知商品单价降低2元时，每星期多卖出24 件. (1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数； 1234 解析答案 解 设商品降价x元，则多卖的商品数为kx2，若记商品在一个星期的获利 为f(x)，则有 f(x)(30x9)(432kx2)(21x)(432kx2). 由已知条件，得24k22，于是有k6. 所以f(x)6x3126x2432x9 072，x0,21. (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？ 1234 解析答案 1234 解 根据(1)，f(x)18x2252x432 18(x2)(x12). 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： x0,2)2(2,12)12(12,21 f(x)00 f(x) 极小值 极大值 故x12时，f(x)取得极大值. 因为f(0)9 072，f(12)11 664. 所以定价为301218，才能使一个星期的商品销售利润最大.
