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1、平面与平面垂直的判定 * 问题2：在立体几何中，“异面直线所成的 角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定 义的？它们有什么共同的特征？ 问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？ 思考： 在生产实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交 所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子吗？ 发射人造卫星、修水坝、建造房屋等， 而这样的角有何特点，该如何表示呢？ 想一想 A O B B B B B B B 角 两个面组成的图形 ? 平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，每 一部分都叫做半平面。 从一条直线引出的两个半平面所组成的图形叫做 二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平 面叫做二面角的面。 1、半
2、平面： 2、二面角： 半平面及二面角的定义 棱 面 面 半平面 半平面 2、二面角的记法： 面1棱面2 （1）、以直线 为棱，以 为半平面的二面角记为： （2）、以直线AB 为棱，以 为半平面的二面角记为： A B 二面角的 画法与记法 l A B 二面角AB l 二面角 l 二面角CAB D A B C D 5 O B A AOB 角 B A O 边 边 顶点 从一点出发的两条射线 所组成的图形叫做角。 定义 构成边点边 （顶点） 表示法AOB 二面角 A B 面 面 棱 a 从一条直线出发的两个 半平面所组成的图形叫 做二面角。 面直线面 （棱） 二面角l 或二面角AB 图形 角与二面角的
3、比较 上述变化过程中图形在变化，形成的 “角度”的大小如何来确定 ？ 注 意 二面角的平面角必须满足： 3）角的边都要垂直于二面角的棱 1）角的顶点在棱上 2）角的两边分别在两个面内 以二面角的棱上任意一点为端点，在 两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这 两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 10 l O A B A O B 二、二面角的平面角： 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面上分别引 垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的 平面角。 =? 等角定理：如果一个角的两边和另 一个角的两边分别平行，并且方向相 同，那么这两个角相等。 注:（1）二面角的平面角与点的位置 无关，只
4、与二面角的张角大小有关。 （2）二面角是用它的平面角来度 量的，一个二面角的平面角多大，就 说这个二面角是多少度的二面角。 （3）平面角是直角的二面角叫做 直二面角。 （4）二面角的取值范围一般规定 为0,180。 两个平面相交,如果它们所成的二面角 是直二面角，就说这两个平面相互垂直. 记作: 三、两个平面互相垂直 （表示两平面的平行四边形有一组边互相垂直 ） 问题： 如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？ 问题： 如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？ 如果一个平面经过了另一个平面的 一条垂线，那么这两个平面互相垂 直. 猜想： 如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那 么这两个平面互相垂直。
5、已知：AB，AB 求证：. 证明： CD A B E 在平面内过B点作直线BECD，则 ABE就是二面角-CD-的平面角， 设=CD,则BCD. AB，CD ，ABCD. AB，BE ， ABBE. 二面角-CD-是 直二面角，. CD A B E 线线垂直线面垂直面面垂直 如果一个平面经过了另一个平面的一 条垂线，那么这两个平面互相垂直. 证明面面垂直的本质和关键是什么？ 本质：线面垂直 面面垂直 关键：找垂直平面的线 三、两个平面垂直的判定定理 课堂练习： 1.如果平面内有一条直线垂直于平面内的一条 直线，则.（ ） 3. 如果平面内的一条直线垂直于平面内的两条 相交直线, 则.（ ） 一
6、、判断： 2.如果平面内有一条直线垂直于平面内的两条 直线，则.（ ） 1.过平面的一条垂线可作_个平面 与平面垂直. 2.过一点可作_个平面与已知平面垂 直. 二、填空题： 3.过平面的一条斜线，可作_个平 面与平面垂直. 4.过平面的一条平行线可作_个平 面与垂直. 一 无数 无数 一 A B C D A1 B1 C1 D1 例1:在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证： 变式: （1）找出二面角A-BD-A1的平面角； （2）求二面角B-CC1-A1的大小. AOA1 45 例2:如图，AB是圆O的直径 ，PA垂直于圆O所在 的平面，C是圆周上不同于 A,B的任意一点，求证： P A
7、B C O （选讲选讲 ）例3：已知空间间四边边 形ABCD的四条边边和对对角线线都 相等，求平面ACD和平面BCD所 在二面角的大小. 练习1：AB平面BCD,BCCD 问：(1)图中哪些面互相垂直,为什么？ (2)图中有几个直角三角形？并证明之. A B C D 答案：四个面 都是直角三角 形 练习2、如图：A是BCD所在平面外一点 ，AB=AD，ABC=ADC=90，E是BD 的中点， 求证：平面AEC平面ABD D A CB E 练习练习 3：如图图，已知三棱锥锥 的三个侧面与 底面是四个全等的三角形， ，求 以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的大 小？ 归纳小结 ： (1)判定面面垂直的两种方法： 定义法 根据面面垂直的判定定理 (2)面面垂直的判定定理不仅是判定两个平面 互相垂直的依据，而且是找出垂直于一个平 面的另一个平面的依据； (3)从面面垂直的判定定理我们还可以看出面 面垂直的问题可以转化为线面垂直的问题来 解决. 作业： P73 A组 3、4、6、7
