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1、第四章 热传导问题的数值解法 Shanghai Jiao Tong University SJTU-OYH 传热学 Heat Transfer 导热问题研究的目的热流量 温度分布 强化/减弱导热的措施 导热问题研究的基本方法 理论分析法 数值计算法 实验方法 有限差分法 分子动力学模拟法 边界元法 有限元法 有限差分法的基本思想：用有限小的差分、差商近似代替无限小的微分、微商，用 代数形式的差分方程近似代替微分方程，并通过求解差分方程求取有限时刻物体有 限节点上的温度值。 Shanghai Jiao Tong University SJTU-OYH 传热学 Heat Transfer 数值计算
2、方法的基本思想 将时间、空间坐标系中连续的物理量 场，用有限离散点上数值的集合来代 替，并通过求解离散点物理量组成的 代数方程来求解，所得的解称为数值 解。 1 2 6 3 4 5 数值计算方法的优点： 多维 变物性 复杂几何形状 复杂边界 Shanghai Jiao Tong University SJTU-OYH 二维矩形域内稳态、无内热源、常物性的导热问题 传热学 Heat Transfer Step-1: 控制方程及边界条件 Shanghai Jiao Tong University SJTU-OYH 二维矩形域内稳态、无内热源、常物性的导热问题 传热学 Heat Transfer S
3、tep-2: 计算域离散化 x y n m (m,n ) M N 基本概念： 网格线 节点（内节点、边界节点 ） 控制容积 界面线 步长 均匀/非均匀网格 Shanghai Jiao Tong University SJTU-OYH 二维矩形域内稳态、无内热源、常物性的导热问题 传热学 Heat Transfer Step-3: 建立节点离散（代数）方程 基本方法： Taylor（泰勒）级数展开法 控制容积平衡法(热平衡法) 内节点 边界节点 平直边界节点 边界内节点 边界外节点 Shanghai Jiao Tong University SJTU-OYH 传热学 Heat Transfer
4、内节点离散方程的推导（泰勒级数展开法） 1. 对相邻节点写出温度 t 对内节点(m, n) 的泰勒级数展开式 x : (m,n)的相邻节点为(m+1,n), (m-1,n) y : (m,n)的相邻节点为(m,n+1), (m,n-1) X方向 Shanghai Jiao Tong University SJTU-OYH 传热学 Heat Transfer 内节点离散方程的推导（泰勒级数展开法） 2. 整理得到二阶导数的中心差分 截断误差： 级数余项中的x的最低阶数为2 即中心差分格式具有二阶精度。 3. 由控制方程得到内节点(m,n)的离散代数方程 中心差分 Shanghai Jiao To
5、ng University SJTU-OYH 传热学 Heat Transfer 内节点离散方程的推导（热平衡法） 基本思想：对每个有限大小的控制容积应用能量守恒，从而获得温度场的代 数方程组，它从基本物理现象和基本定律出发，不必事先建立控制方程，依 据能量守恒和Fourier导热定律即可。 从所有方向流入控制体的总热量 控制体内热源生成热 控制体内能的增量 稳态、无内热源时： 从所有方向流入控制体的总热量0 Shanghai Jiao Tong University SJTU-OYH 传热学 Heat Transfer 内节点离散方程的推导（热平衡法） (m, n) o y x (m-1,n
6、) (m+1,n) (m,n-1) xx y y (m,n+1) 对控制体每个界面线（图中虚线）应用傅立叶导热定律。 Shanghai Jiao Tong University SJTU-OYH 传热学 Heat Transfer Shanghai Jiao Tong University SJTU-OYH 传热学 Heat Transfer Step-3: 建立节点离散（代数）方程 基本方法： Taylor（泰勒）级数展开法 控制容积平衡法(热平衡法) 内节点 边界节点 平直边界节点 边界内节点 边界外节点为什么要建立边界节点的离散方程？ 一类边界条件：方程组封闭，可直接求解 二类、三类边界
7、条件：边界温度未知，方程组不封闭 将第二类边界条件及第三类边界条件合并起来考虑，用qw表示边 界上的热流密度或热流密度表达式。用表示内热源。 Shanghai Jiao Tong University SJTU-OYH 边界节点离散方程的推导（热平衡法）： 传热学 Heat Transfer 二维矩形域内稳态、常物性的导热问题 从所有方向流入控制体的总热量 控制体内热源生成热 0 平直边界节点 Shanghai Jiao Tong University SJTU-OYH 边界节点离散方程的推导（热平衡法）： 传热学 Heat Transfer 二维矩形域内稳态、常物性的导热问题 从所有方向流入
8、控制体的总热量 控制体内热源生成热 0 边界外角点 Shanghai Jiao Tong University SJTU-OYH 边界节点离散方程的推导（热平衡法）： 传热学 Heat Transfer 二维矩形域内稳态、常物性的导热问题 从所有方向流入控制体的总热量 控制体内热源生成热 0 边界内角点 Shanghai Jiao Tong University SJTU-OYH 边界节点离散方程的两个具体问题： 传热学 Heat Transfer 边界热流密度的具体处理方法 绝热边界第二类边界第三类边界 不规则边界的 处理方法 多段折线模拟不规则边界，网格越密越接近实际 坐标变换：保角变换
9、Shanghai Jiao Tong University SJTU-OYH 建立节点离散方程的泰勒级数法与热平衡法的比较： 泰勒级数法属于纯数学方法，而热平衡法基于能量守恒原理，物理概念明 确，且推导过程简捷； 泰勒级数法对于建立边界节点的离散方程较困难； 当导热物体物性或内热源不均匀时，泰勒级数法不适用，而热平衡法能够 方便处理。 传热学 Heat Transfer Step-4: 设置温度场的迭代初值 Shanghai Jiao Tong University SJTU-OYH n个未知节点温度，n个代数方程式： Step-5: 节点离散（代数）方程的求解 传热学 Heat Transf
10、er 直接解法 迭代解法 直接解法：矩阵求逆、高斯消元法等 缺点：所需内存较大、方程数目多时不便、不适用于非线性问题（若物性 为温度的函数，节点温度差分方程中的导热系数不再是常数，而是温度的 函数。这些系数在计算过程中要相应地不断更新） Shanghai Jiao Tong University SJTU-OYH 迭代解法：Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法、松弛法等 先对要计算的场作出假设（给定初始值）、在迭代计算过程中不断予以改进 、直到计算结果与假定值的结果相差小于允许值。称迭代计算已经收敛。 Step-5: 节点离散（代数）方程的求解 传热学 Heat Transfer
11、 Gauss-Seidel迭代法：每次迭代时总是使用节点温度的最新值 Shanghai Jiao Tong University SJTU-OYH 在计算后面的节点温度时应采用最新值： 根据第 k 次迭代的数值： 传热学 Heat Transfer Step-5: 节点离散（代数）方程的求解 Gauss-Seidel迭代法 Shanghai Jiao Tong University SJTU-OYH 传热学 Heat Transfer Step-5: 节点离散（代数）方程的求解 Gauss-Seidel迭代法 判断迭代是否收敛的准则： or or 为允许的偏差，一般取10-310-6 为k次迭
12、代得到的计算域温度最大值 计算域温度存在近于0的值时采用 Shanghai Jiao Tong University SJTU-OYH 传热学 Heat Transfer Step-5: 节点离散（代数）方程的求解 Gauss-Seidel迭代法 如何判断数值解的准确性？ 三个检验标准：实验验证、精确分析解验证、特定问题的基准解验证 数值计算中偏差 总是存在的，增加节点数目可以减小误差。 计算网格独立性。 如何避免迭代发散？ 必须满足对角占优原则：每个迭代变量的系数总大于/等于该式中其它变量系数 绝对值的代数和 (参考教材例题4-1) Step-6: 解的分析 Shanghai Jiao To
13、ng University SJTU-OYH 传热学 Heat Transfer 4-4 非稳态导热问题的数值解法 非稳态项稳态项（扩散项）源项 由于非稳态项的存在，除了对空间坐标离散外，还需要对时间坐标进行离散处理。 稳态扩散项的离散格式：中心差分格式 非稳态项的离散格式：向前差分格式、向后差分格式、中心差分格式 Shanghai Jiao Tong University SJTU-OYH 传热学 Heat Transfer tf h tf h x t 0 平板加热问题 第三类边界条件 一维非稳态导热微分方程及定解条件： 边界条件 初始条件 4-4 非稳态导热问题的数值解法 Shanghai
14、 Jiao Tong University SJTU-OYH 传热学 Heat Transfer 4-4 非稳态导热问题的数值解法 向前差分格式 向后差分格式 中心差分格式 非稳态项的离散格式的构造：泰勒级数展开法 x 为空间步长 为时间步长 偏微分方程 离散化代数方程 非稳态项向前差分扩散项中心差分 点（n,i） Shanghai Jiao Tong University SJTU-OYH 传热学 Heat Transfer 4-4 非稳态导热问题的数值解法非稳态项的离散格式的构造：热平衡法 从所有方向流入控制体的总热量 控制体内能的增量 内节点 n Shanghai Jiao Tong U
15、niversity SJTU-OYH 传热学 Heat Transfer 4-4 非稳态导热问题的数值解法非稳态项的离散格式的构造：热平衡法 左边对称绝热边界 Shanghai Jiao Tong University SJTU-OYH 传热学 Heat Transfer 4-4 非稳态导热问题的数值解法非稳态项的离散格式的构造：热平衡法 右边第三类边界 Shanghai Jiao Tong University SJTU-OYH 传热学 Heat Transfer 4-4 非稳态导热问题的数值解法 显示格式存在稳定性问题：如果节点 tn(i) 前面的系数小于零，则数值 解出现不稳定的震荡结果
16、。 显示格式 2 显示格式：格式右边全部为第 i 时间层的温度值，只要 i 时间层温度已 知，即可计算得到 i+1 时间层的温度。 非稳态导热节点离散方程的两种格式： 即：空间步长x和时间步长的选取有限制 显示格式的稳定性条件： Shanghai Jiao Tong University SJTU-OYH 传热学 Heat Transfer 4-4 非稳态导热问题的数值解法 隐式格式 非稳态导热节点离散方程的两种格式： 隐式格式：空间离散采用（i+1）时层的值。 隐式格式不存在稳定性问题，对时间步长和空间步长没有限制，但 是计算量较大。 Shanghai Jiao Tong University SJTU-OYH 传热学 Heat Transfer 导热问题的数值计算上机实践 例题4-6 无限大
