《板壳力学ch5-大挠度理论.》由会员分享，可在线阅读，更多相关《板壳力学ch5-大挠度理论.（70页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、TONGJI University 68-1 平 板 理 论 第五章第五章 薄板的大挠度理论薄板的大挠度理论 平板理论平板理论 大挠度(也称为几何非线性?)问题的理论描述； 经典求解方法。仍为小应变问题 (Large deformation, deflection, displacement) Mar.2012板壳结构 TONGJI University 68-2 5.1 基本假定 平板理论平板理论 1) 板单元的荷载与内力 Mar.2012板壳结构 TONGJI University 68-3 2) 基本假定 (1) 板的挠度 w 与板厚 t 为同一数量级，但与板的平面 尺寸相比较，仍为小量
2、； (2) 与挠度 w 相比较，中面位移 u、v 是很小的量； (3) 变形前垂直于中面的直线，变形后仍为直线，且垂 直于变形后的中面，并保持原长； 保持原长：意味着z=0，板厚度不变； 变形后仍为直线：意味着yz=zx=0，直法线假定； 由于u、v 引起的面内伸缩一致。 (4) 正应力z 与x 、y 、xy 相比，属于小量。 平板理论平板理论 Mar.2012板壳结构 TONGJI University 68-4 平板理论平板理论 与小挠度理论的不同点： 中面内各点, 由于挠度 w 将产生面内(纵向)位移u、v; 由于中面位移 u、v, 将产生中面应变和应力； 板内各层由于u、v 产生伸缩变
3、形一致。 小挠度理论大挠度理论 Mar.2012板壳结构 TONGJI University 68-5 5.2 薄板大挠度弯曲的基本方程 5.2.1 中面应变分量与应变协调方程 设坐标系 oxy 与板中面重合， z 轴向下为正。 当平板弯曲时，中面上点 P(x,y,z) 的位移为 u、v、w， 在x, y方向的正应变为x、y, 剪应变为xy, 中面的曲率及 扭率为Kx、Ky 。 平板理论平板理论 Mar.2012板壳结构 TONGJI University 68-6 平板理论平板理论 1) 中面的曲率及扭率 根据直法线假定; 且薄板各层由于u、v 产生的伸缩 变形是均匀的; u、v 对挠曲变形
4、 w 没有影响。因而， 大变形条件下，挠曲变形模式与小挠度理论中相同， 故此，两种理论下，中面曲率和扭率表达式相同。 即 Mar.2012板壳结构 TONGJI University 68-7 平板理论平板理论 2) 中面应变 中面应变x、y 、xy，仅由 u、v、w 产生。 Mar.2012板壳结构 TONGJI University 68-8 平板理论平板理论 (1) 由u、v产生的应变 微元的 AB 线变形 变形前长度为dx，变形后长度为ds1 由此长度变化产生的应变为 Mar.2012板壳结构 TONGJI University 68-9 平板理论平板理论 微元的 AC 线变形 变形前
5、长度为dy，变形后长度为ds2。 由此，同理可得 dy 长度变化产生的应变 Mar.2012板壳结构 TONGJI University 68-10 平板理论平板理论 微元的 AB、AC 线角变形 AB线角变形 BC线角变形 则，剪应变为 Mar.2012板壳结构 TONGJI University 68-11 平板理论平板理论 (2) 由w 产生的应变 微元的AB线因w 产生的长度变化，变形后长度为ds3； AC线因w 产生的长度变化，变形后长度为ds4。 Mar.2012板壳结构 TONGJI University 68-12 平板理论平板理论 微元AB线因w产生的长度变化，变形后长度为d
6、s3 由此长度变化产生的应变为 Mar.2012板壳结构 TONGJI University 68-13 平板理论平板理论 微元AC线因w产生的长度变化，变形后长度为ds4 由此长度变化产生的应变为 Mar.2012板壳结构 TONGJI University 68-14 平板理论平板理论 微元AB、 AC线因w产生的角变形xy 由上节几何关系可求得 则 (A) Mar.2012板壳结构 TONGJI University 68-15 平板理论平板理论 BAC变形前为直角(/2), 变形后为/2-xy, 则由余弦 定理可求得 (C) 因为xy为小变形，即有 则式(B)简化为 (B) Mar.2
7、012板壳结构 TONGJI University 68-16 平板理论平板理论 由式(A)=式(C)可得到 经过简化可得因 w 产生的剪应变 Mar.2012板壳结构 TONGJI University 68-17 平板理论平板理论 (3) 总应变 大变形条件下，薄板中面上的应变 几何非线性项 Mar.2012板壳结构 TONGJI University 68-18 平板理论平板理论 大变形条件下，薄板上距中面为z 的点的变形 Mar.2012板壳结构 TONGJI University 68-19 平板理论平板理论 由直法线假定, 得到大变形条件下, 薄板上距中面为 z 的点的应变 Mar
8、.2012板壳结构 TONGJI University 68-20 平板理论平板理论 大变形条件下，薄板的应变模式 Mar.2012板壳结构 TONGJI University 68-21 平板理论平板理论 大变形条件下，薄板上距中面为 z 的点的应变 m=membrane 薄膜 (合力作用在面内)； b=bending 弯曲 (合力作用在面外) 。 Mar.2012板壳结构 TONGJI University 68-22 平板理论平板理论 3) 应变协调方程相容方程(中面连续条件) x、y 、xy 是 u、v、w 的函数, u、v、w 是坐标 x、y 的函数，则 x、y 、xy 相互关联。对
9、x 关于 y 求导两次， 对y 关于 x 求导两次，对xy 关于x、y各求导一次，得到 上式为薄板大挠度弯曲中面应变协调方程，或称为 中面连续条件。 满足连续条件，中面不发生撕裂，也不发生皱褶。 Mar.2012板壳结构 TONGJI University 68-23 平板理论平板理论 5.2.2 应力分量、内力、内力矩 1) 应力分量 由虎克定律及小挠挠度理论论的前两个假定可得, 距中面 为为 z 的点的应应力为为 Mar.2012板壳结构 TONGJI University 68-24 平板理论平板理论 其中， x、y 、xy 为中面应力，称为薄膜应力。 Mar.2012板壳结构 TONG
10、JI University 68-25 平板理论平板理论 大变形条件下，薄板的应力模式 Mar.2012板壳结构 TONGJI University 68-26 平板理论平板理论 大变形条件下，薄板上距中面为 z 的点的应力 Mar.2012板壳结构 TONGJI University 68-27 平板理论平板理论 2) 内力与内力矩 (1) 内力矩、横向力与薄膜力无关, 因而, 与小挠度理论 表达式相同 内力矩为(面内应力沿板厚积分)： Mar.2012板壳结构 TONGJI University 68-28 平板理论平板理论 横向剪力(通过与弯矩的关系式得到)为： Mar.2012板壳结构
11、 TONGJI University 68-29 平板理论平板理论 根据直法线假定, 薄膜应力x、y、xy 沿板厚均匀分布, 则中面力薄膜力可表示为(沿板厚积分)： (2) 中面内力薄膜力 m b 单位宽度的中面力? Mar.2012板壳结构 TONGJI University 68-30 平板理论平板理论 中面应变应变 与内力的关系 Mar.2012板壳结构 TONGJI University 68-31 平板理论平板理论 将内力代入应力表达式，得到用内力表示的应力 上式中，第一项为薄膜应力，第二项为弯曲应力。 在小挠度理论中，薄膜应力为0。 Mar.2012板壳结构 TONGJI Univ
12、ersity 68-32 平板理论平板理论 5.2.3 基本微分方程 与小挠度理论不同: 板单元的内力增加了薄膜内力; 建立平衡方程的条件：板的状态? Mar.2012板壳结构 TONGJI University 68-33 平板理论平板理论 1) 基本方程 根据板微元的平衡方程，确定力与变形间的关系。 (1) 由Fx=0 (2) 由Fy=0 (1) (2) Mar.2012板壳结构 TONGJI University 68-34 平板理论平板理论 (3) 由Fz=0 横向内力及荷载产生的分量 薄膜力产生的分量 Nx 因板挠曲变形在 z 向产生的分量为 Mar.2012板壳结构 TONGJI
13、University 68-35 平板理论平板理论 略去高阶项，变为 Mar.2012板壳结构 TONGJI University 68-36 平板理论平板理论 同理，Ny 因板挠曲变形在 z 向产生的分量为 Nxy、Nyx因板挠曲变形在 z 向产生的分量 Mar.2012板壳结构 TONGJI University 68-37 平板理论平板理论 Nxy、Nyx 因板挠曲变形在 z 向产生的分量为 Mar.2012板壳结构 TONGJI University 68-38 平板理论平板理论 z 向内力平衡方程 将Fx=0、 Fy=0的平衡条件代入Fz=0，简化可得 (3) Mar.2012板壳结
14、构 TONGJI University 68-39 平板理论平板理论 (4) 由力矩平衡M=0条件 Mz=0 得到 (剪力互等) Mx=0 得到 My=0 得到 Mar.2012板壳结构 TONGJI University 68-40 平板理论平板理论 将Qx、Qy代入式(3)得到挠曲方程或控制微分方程 说明：上式中的中面内力Nx、Ny、Nxy是由横向剪力q 引起 的，而不是由面内纵向荷载引起，所以， Nx、Ny、 Nxy 是 未知的。 因而，方程式(4)有4个未知量w和Nx、Ny、 Nxy，也即 方程组 (1)、(2)、(4)有4个未知数，不能求得唯一解，需要 考虑变形协调关系。 (4) M
15、ar.2012板壳结构 TONGJI University 68-41 平板理论平板理论 将应变x、y 、xy与中面内力Nx、Ny、 Nxy的关系代入应变 协调方程，可得到 (5) 为了简化方程，引入应力函数F(x,y)，且令 Mar.2012板壳结构 TONGJI University 68-42 平板理论平板理论 (6b ) 应力函数F(x,y)与中面内力的关系显然满足式(1)、(2)； 将应力函数F(x,y)与中面内力的关系引入式(4)、(5)，可得 式(6)为平板大挠度弯曲平衡方程, 由Von Karman 1910年导出。 根据边界条件求解上式，可得到挠度w、应力函数 F，进而求得板的内力。 (6a) Mar.2012板壳结构 TONGJI University 68-43 平板理论平板理论 上式为平板小挠度弯曲平衡方程, 即中面不发生面内 变形时，大挠度弯曲问题退化为小挠度弯曲问题。 高
