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1、第四章 系统的瞬态响应与误差分析 一、典型输入信号 二、一阶系统的时间响应 三、二阶系统的时间响应 四、高阶系统的时间响应 五、误差分析和计算 六、稳定性分析 本章主要内容 重点:二阶系统的时域响应及其性能指标。 难点:二阶系统时域响应的数学表达式。 教学目的: 1.掌握一阶、二阶系统在典型输入信号作用下的时域响 应和时域性能指标。 2.了解高阶系统时域响应的特点。 3.掌握系统误差的概念和计算稳态误差的方法。 4.掌握系统稳定的概念和分析、判别系统稳定的方法。 时间响应 任一系统的时间响应都是由瞬态响应或 稳态响应两部分组成。 瞬态响应:系统受到外加作用力激励后 ,从初始状态到最终状态的响应
2、过程。 稳态响应:时间趋于无穷大时,系统的 输出状态。 瞬态响应反映了系统动态性能,而稳态 响应偏离系统希望值的程度可用来衡量系统 的精确程度。 4.1 典型输入信号 在时间域进行分析时,为了比较不同系统的控制 性能,需要规定一些具有典型意义的输入信号建立 分析比较的基础。这些信号称为控制系统的典型输 入信号。 l 时域分析的目的 在时间域,研究在一定的输入信号作用下,系 统输出随时间变化的情况,以分析和研究系统的控 制性能。 l 优点:直观、简便 一、典型输入信号 二、对典型输入信号的要求 q能够反映系统工作在最不利的情形; q形式简单,便于解析分析; q实际中可以实现或近似实现。 常用的典
3、型输入信号的数学表达 Asint 正弦信号 1(t),t=0 单位脉冲信号 单位加速度信号 t, t0 单位速度(斜坡)信号 1(t),t0 单位阶跃信号 复数域表达式 时域表达式 名 称 保证典型输入信号与实际输入信号有着良好的对应关系 ,且代表最恶劣的输入情况,因此,当系统的设计基于典型 信号来进行时,那么在实际输入的情况下,系统响应特性一 般是能够满足要求的。 注意:对于同一系统,无论采用哪种输入信号,由时域 分析法所表示的系统本身的性能不会改变。 三、典型输入信号的选择原则 脉冲信号:模拟系统突遭脉动电压、机械碰撞、敲打冲击等; 阶跃信号:实际系统的输入具有突变性质,例:模拟电源突然
4、接通、负荷突然变化、指令突然转换等; 速度信号:实际系统的输入随时间逐渐变化(匀速变化)。 4.2 一阶系统的时间响应 一阶系统: 一、一阶系统的单位阶跃响应 极点(特征根):-1/T 凡是能够用一阶微分方程描述的系统。 典型形式: 1 斜率=1/T 0 xo(t) t1T 0.632 A 63.2% B 2T 86.5% 3T 95% 4T 98.2% 5T 99.3% 99.8% 6T 一阶系统单位阶跃响应的特点 q 响应分为两部分 表示系统输出量从初态到终态的变化过程(动态/过渡过程) 表示t时,系统的输出状态。 q xo(0) = 0,xo() = 1 无稳态误差;随时间的推移, xo
5、(t) 指数增大,且无振荡。 q xo(T) = 1 - e-1 = 0.632,即经过时间T,系统响应达到其 稳态输出值的63.2%,从而可以通过实验测量惯性环节的时 间常数T; q q 时间常数T反映了系统响应的快慢。通常工程中当响应曲线 达到并保持在稳态值的95%98%时,认为系统响应过程基本 结束。从而惯性环节的过渡过程时间为3T4T。 t ln1-xo(t) 0 q 将一阶系统的单位阶跃响应式改写为: 即ln1-xo(t)与时间t成线性关系。 该性质可用于判别系统是否为 惯性环节,以及测量惯性环节的时 间常数。 二、一阶系统的单位速度响应 一阶系统单位速度响应的特点 q 经过足够长的
6、时间(稳态时 ,如:t 4T),输出增长速率近 似与输入相同,此时输出为:t T,即输出相对于输入滞后时 间T; q 系统响应误差为: 三、 一阶系统的单位脉冲响应 0 一阶系统单位脉冲响应的特点 q 瞬态响应:(1/T )e t /T ;稳态响应:0; q xo(0)=1/T,随时间的推移,xo(t)指数衰减; q 对于实际系统,通常应用具有较小脉冲宽 度(脉冲宽度小于0.1T)和有限幅值的脉 冲代替理想脉冲信号。 q 一阶系统的时间响应 1.单位阶跃响应 2.单位速度响应3.单位脉冲响应 时间响应:系统在典型输入信号的作用下之输出。 四、线性定常系统时间响应的性质 系统时域响应通常由稳态分
7、量和瞬态分量共同组成,前者 反映系统的稳态特性,后者反映系统的动态特性。 注意到: 即:系统对输入信号导数的响应等于系统对该输入信号 响应的导数。系统对输入信号积分的响应等于系统对该 输入信号响应的积分,其积分常数由初始条件确定。 这种输入输出间的积 分微分性质对任何线性 定常系统均成立。 4.3 二阶系统的时间响应 二阶系统: 其中:T 为时间常数,也称为无阻尼自由振荡周期。 称为阻尼比; n1/T 为系统的无阻尼固有频率。 一、二阶系统的特征方程: 极点(特征根): (凡是能够用二阶微分方程描述的系统) 1. 欠阻尼二阶系统(振荡环节): 0 1 具有两个不相等的负实数极点: 4. 零阻尼
8、二阶系统:0 具有一对共轭虚极点: 5. 负阻尼二阶系统: 0 极点实部大于零,响应发散,系统不稳定。 1. 欠阻尼(0 1)状态 q 特点 单调上升,无振荡,过渡 过程时间长。 xo () = 1,无稳态 误差。 该分量 影响大 当大于 1.25 时,可忽略。 4. 无阻尼( = 0)状态 2 1 0 t xo(t) q 特点 频率为n的等 幅振荡。 几点结论 1. 二阶系统的阻尼比 决定了其振荡特性: 0 时,阶跃响应发散,系统不稳定; 1 时,无振荡、无超调,过渡过程长; 0 1: = 1: 0 1: = 1: 01: = 0: 高阶系统的时间响应 l 高阶系统的单位阶跃响应 考虑系统:
9、 参考内容 假设系统极点互不相同。 其中,a, aj为Xo(s)在极点s = 0和s = -pj处的留数; bk、ck是与Xo(s s)在极点处的留数有关的常数。 通过拉氏反变换,其输出为: 高阶系统的单位阶跃响应由一阶和二阶系统的响 应函数叠加而成。 3.4 二阶系统的性能指标 一、控制系统的时域性能指标 控制系统的性能指标是评价系统动态品质的定量指标, 是定量分析的基础。 系统的时域性能指标通常通过系统的单位阶跃 响应进行定义。常见的性能指标有: 上升时间tr 峰值时间tp 调整时间ts 最大超调量Mp 振荡次数N 1. 上升时间tr 响应曲线从零时刻出发首次到达 稳态值所需时间。对无超调
10、系统,上 升时间一般定义为响应曲线从稳态值 的10%上升到90%所需的时间。 二、欠阻尼二阶系统的时域性能指标的计算 根据上升时间的定义有: 欠阻尼二阶系统的阶跃响应为: 显然, 一定时,n越大,tr 越小; n一定时, 越大,tr 越大。 t x0(t) tr 1 2. 峰值时间tp 响应曲线从零上升到 第一个峰值所需时间。 2. 峰值时间tp 可见,峰值时间等于有阻尼振荡周期的一半。 一定,n越大,tp越小; n一定, 越大,tp 越大。 3. 最大超调量 Mp 定义:响应曲线的最大 峰值与稳态值之差。 3. 最大超调量 Mp 显然,Mp仅与阻尼比 有关。最大超调量直接 说明了系统的阻尼特
11、性。 越大, Mp 越小,系统 的平稳性越好,当 = 0.40.8时,可以求得相应的 Mp = 25.4%1.5%。 通常用百分数表示: 00.10.20.30.40.50.60.70.80.91 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 二阶系统 Mp 图 4. 调整时间ts 对于欠阻尼二阶系统,其单位阶跃响应的包络线为一对 对称于响应稳态分量 1 的指数曲线: 响应曲线到达并保持在允 许误差范围(稳态值的2% 或5%)内所需的时间。 单位阶跃响应: 当包络线进入允许误差范围 之内时,阶跃响应曲线必然也 处于允许误差范围内。 当 一定时,n 越大,ts 越小,系统响应
12、越快。 当00.7时, 可得: 由上式求得的ts包通常偏保守。 因此利用: t 5. 振荡次数 N N仅与 有关。与Mp 一样直接说明了系统的阻 尼特性。 越大,N越小,系统平稳性越好。 x0(t) ts % 响应曲线到达并保持在允许误 差范围(稳态值的2%或5%)内 所需的时间。 实测时,可按响应曲 线穿越稳态值次数的一半计数。 二阶系统的动态性能由n和 决定。 结 论 通常根据允许的最大超调量来确定 。 一般选 择在0.40.8之间,然后再调整n以获得合适的瞬态 响应时间。 一定,n 越大,系统响应快速性越好, tr、tp、 ts 越小。 增加 可以降低振荡,减小超调量Mp 和振荡次数 N
13、 ,但系统快速性降低,tr、tp 、ts 增加; tr、tp、ts 反映系统响应快速性 Mp 、N 反映系统响应平稳性 一、控制系统的误差 考虑图示反馈控制系统 H(s) Xi(s) Xo(s) B(s) E (s) G(s) 误差信号E(s) E(s)= Xi(s)B(s) Xi(s)H(s) Xo(s) 误差信号E(s)定义为系统输入Xi(s)与系统主 反馈信号B(s)之差,即: 4.5 误差分析和计算 二、稳态误差及其计算 稳态误差:系统的期望输出与实际输出在稳定状态 (t)下的差值,即误差信号e(t) 的稳态分量: 当sE(s)的极点均位于 s 平面左半平面(包括坐标 原点)时,根据拉
14、氏变换的终值定理,有: 显然,系统稳态误差决定于输入Xi(s)和开环传 递函数G(s)H(s),即决定于输入信号的性质及系统 的结构和参数。 G(s ) H(s ) G(s ) H(s ) 1 07年考题 例1 某系统方框图如图所示,当 系统输入的控制信号为: 求系统的稳态误差。 三、稳态误差系数 1. 稳态误差系数的概念 (1)稳态位置误差系数 单位阶跃输入时系统的稳态系数 称为稳态位置误差系数。 令: 对于单位反馈系统, (2) 稳态速度误差系数 单位速度输入时系统的稳态误差 称为稳态速度误差系数。 其中, 对于单位反馈系统, 易知: (3)稳态加速度误差系数 单位加速度输入时系统的稳态误
15、差 称为稳态加速度误差系数。 其中, q 结论:当输入信号形式一定后,系统是否存在 稳态误差取决于系统的开环传递函数。 对于单位反馈系统, 易知: 2.系统类型 将系统的开环传递函数写成如下形式: 根据系统开环传递函数中积分环节的多少来定义系统的类 型,当 r = 0, 1, 2, 时,系统分别称为0型、I型、型、 系统。 0型系统: I型系统: 型系统: 3. 不同类型系统的稳态误差系数及稳态误差 (1) 0型系统 单 位 负 反 馈 0型系统只能跟踪阶跃信号,且有稳态误差。 (2) I型系统 单 位 负 反 馈 I型系统准确地能跟踪阶跃信号,也能跟踪速 度信号,但有稳态误差。不能跟踪加速度信号。 (3) 型系统 单 位 负 反 馈 型系统准确地能跟踪阶跃信号、速度信号, 也能跟踪加速度信