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1、结构力学 中南大学 第八章 位移法 8-1 概述 8-2 等截面直杆的转角位移方程 8-3 位移法的基本未知量和基本结构 8-4 位移法的典型方程及计算步骤 8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程 8-6 对称性的利用 结构力学 中南大学 已有的知识： （2）静定结构的内力分析和位移计算； （1）结构组成分析； （3）超静定结构的内力分析和位移计算 力法。 已解得如下单跨 超静定梁的结果: A B A B 8-1 概述 结构力学 中南大学 P P 用用力法力法计算，计算，9 9 个基本未知量个基本未知量 如果用如果用位移法位移法计算计算, , 1 1个基本未知量个基本未知量 力法计算太困难了
2、力法计算太困难了 1 1个什么样的基本未知量个什么样的基本未知量? ? 8-1 概述 结构力学 中南大学 位移法：以结点的位移(角位移和线位移）为基 本未知量, 运用结点或截面的平衡条件建立位移 法方程求出未知位移利用位移与内力之间确 定的关系计算相应的内力。 力法与位移法是计算超静定结构的两种基本方法。 力法：以未知力为基本未知量,运用位移协调条件建立 力法方程,求出未知力,计算出全部的内力和相应的位移。 在一定的外因作用下，线弹性结构的内力与位移之间 存在确定的关系。可以先设定某些位移为基本未知量。 一、位移法的提出(Displacement Method)(Displacement Me
3、thod) 8-1 概述 结构力学 中南大学 位移法主要是由于大量高次超静定刚架的出现而 发展起来的一种方法。由于很多刚架的结点位移数远 比结构的超静定次数少，采用位移法比较简单。 结点B只转动一个角度，没有水平和竖向位移。 力 法：六个未知约束力。 位移法：一个未知位移（B）。 8-1 概述 结构力学 中南大学 三次超静定图示刚架 力 法：三个未知约束力。 位移法：一个未知位移（B）。 8-1 概述 结构力学 中南大学 位移法的基本假定： （1）对于受弯杆件，只考虑弯曲变形，忽略轴向变 形和剪切变形的影响。 （2）变形过程中，杆件的弯曲变形与它的尺寸相比 是微小的（此即小变形假设），直杆两端
4、之间的距离保 持不变。 注意：上述变形假定不是必要的，这样做仅仅是为 了减少基本未知量，简化计算。 力法与位移法必须满足的条件： 1. 力的平衡; 2. 位移的协调; 3. 力与位移的物理关系。 8-1 概述 结构力学 中南大学 将原结构视为两个单跨超静定梁的组合。各杆的杆 端弯矩为： （8-1） 二、位移法思路 B为位移法基本未知量（规定顺时针转向为正）。 由变形协调条件知，各杆在结点B 端有共同的角位移B。 8-1 概述 结构力学 中南大学 考虑结点B的平衡条件, 将（8-1）代入式（8-2）得 于是 （8-2） 由MB=0， 有 将B 回代入公式 (8-1) 则各杆的杆端弯矩即可 确定。
5、然后可利用叠加法作出原结构的弯矩图。再利 用平衡条件作出剪力图和轴力图。 8-1 概述 结构力学 中南大学 位移法思路： 1、设定某些结点的位移为基本未知量，取 单个杆件作为计算的基本单元； 2、将单个杆件的杆端力用杆端位移表示, 而各杆端位移与其所在结点的位移相协调； 3、由平衡条件求出基本位移未知量，由此 可求出整个结构（所有杆件）内力。 8-1 概述 结构力学 中南大学 提出问题： 1、单跨超静定梁在杆端发生各种位移、荷 载、温度等因素作用下的内力。(用力法可以求 得) 2、哪些结点的位移作为基本未知量。 3、如何确定基本未知量。 8-1 概述 结构力学 中南大学 FP x y 本节主要
6、解决单跨超静定梁在荷载、温 度改变和支座移动共同作用下单跨梁的内力 结果。 8-2 等截面直杆的转角位移方程 结构力学 中南大学 (2)杆件转角以顺时针为正,反之为负。杆件两端 在垂直于杆轴方向上的相对线位移AB（侧移）以使 杆件顺时针转动为正,反之为负。 位移法中杆端内力、杆端位移符号规定： (1) 杆端弯矩以顺时针为正,反之为负。对结点或 支座而言,则以逆时针方向为正。弯矩图仍画在杆件 受拉纤维一侧。剪力的规定同前. 8-2 等截面直杆的转角位移方程 结构力学 中南大学 FP x y 取简支梁基本结构 1. 先求杆端位移引起的弯矩 作出 、 、 （略） 解出 8-2 等截面直杆的转角位移方
7、程 结构力学 中南大学 其中： 称杆件的线刚度线刚度 。 转角位移方程(刚度方程) Slope-Deflection (Stiffness) Equation 荷载等外因引起的弯矩成为固端弯矩，同样 可用力法求解，表示 ， 。 2. 荷载等外因引起的弯矩 由杆端位移及荷载等外因共同引起的弯矩为： 8-2 等截面直杆的转角位移方程 结构力学 中南大学 两端固定梁 一端固定、一端铰支梁 一端固定、一端定向支承梁 仅由杆端位移引起的杆端内力是只与杆件截面尺寸 、材料性质有关的常数，一般称为形常数。列于表(4- 1) 。 用位移法进行结构分析的基础是杆件分析。位移 法的基本结构为以下三种单跨超静定梁:
8、 仅由荷载产生的杆端内力称为固端内力。列于表(4-1) 。 8-2 等截面直杆的转角位移方程 结构力学 中南大学 1、两端固定的等截面直杆 记荷载单独作用引 起的杆端弯矩分别为 和 ，杆端剪力分别 为 和 。 两端固定等截面直杆的转角位移方程。 （8-2） 杆端弯矩的一般公式： 8-2 等截面直杆的转角位移方程 结构力学 中南大学 杆端剪力的一般为 由两端固定等截面 直杆的转角位移方程可 得到其他支撑的转角位 移方程。 （8-3） 8-2 等截面直杆的转角位移方程 结构力学 中南大学 2、一端固定、一端铰支的等截面直杆 令式（8-2）的MBA=0,B 是A 和AB的函数，转角 位移方程为 8-
9、2 等截面直杆的转角位移方程 结构力学 中南大学 可见：杆端弯矩表达式实际上就是基本结构各杆 在基本未知量和荷载共同作用下的弯矩的叠加公式， 它已经把荷载和基本未知量的作用综合在一起了。 3、一端固定、一端定向的等截面直杆 令式（8-3）的 FSBA=0,AB是A 和B 的函数，转角位移方程 为 8-2 等截面直杆的转角位移方程 结构力学 中南大学 1 2 8-2 等截面直杆的转角位移方程 结构力学 中南大学 3 4 8-2 等截面直杆的转角位移方程 结构力学 中南大学 结点角位移基本未知量数目=刚结点的数目。 注意：在忽略的直杆的轴向变形时，受弯直杆两 端之间的距离保持不变。 一、位移法基本
10、未知量的确定 铰结点处(包括铰支座处的铰结点)的角位移，在 计算杆端弯矩时不独立，一般不选作基本未知量。 1. 独立的结点角位移和独立的结点线位移 8-3 位移法的基本未知量和基本结构 结构力学 中南大学 2. 确定独立结点线位移的方法 观察 法、换铰法。 结构有1个独立的线位移（Z3），2个独立的结点 角位移（Z1、Z2），共三个位移法的基本未知量。 观察法 8-3 位移法的基本未知量和基本结构 结构力学 中南大学 只需增加一根链杆， 1个独立的线位移 对于不易观察的结构用换铰法。 先将原结构的每一个刚结点(包括固定支座)都变 成铰结点，从而得到一个相应的铰结链杆体系。为保 持该体系为几何不
11、变所需增加链杆的最少数目就是原 结构独立的结点线位移的数目。 8-3 位移法的基本未知量和基本结构 结构力学 中南大学 位移法的基本未知量的数目为6个。 需注意：对于曲杆及需考虑轴向变形的杆件， 变形后两端之间的距离不能看作是不变的。 需增加两根链杆， 2个独立的线位移。 结构有四个刚结点四个结点角位移。 8-3 位移法的基本未知量和基本结构 结构力学 中南大学 思考题：图示结构独立的结点线位移数目是几？ 答：结点1和2的水平线位移都是独立的，独立 结点线位移数目应为2。 默认状态: EI 不等于无穷大, EA 等于无穷大。 8-3 位移法的基本未知量和基本结构 结构力学 中南大学 基本未知量
12、: 结点1的转角Z1和水平线位移Z2。 二、位移法的基本结构 基本结构：对原结构添加一定数量的附加约束所 得到的没有结点位移(铰结点的角位移除外) 的单跨梁 的组合体。 1. 基本结构的概念 8-3 位移法的基本未知量和基本结构 结构力学 中南大学 2. 基本结构的确定 2)附加链杆，只控制结点沿某一方向的移动， 不控制结点转动。 1) 附加刚臂 (用符号“ ”表示) 只控制结点转 动，不控制结点移动。 8-3 位移法的基本未知量和基本结构 结构力学 中南大学 例：确定图a所示连续梁的基本结构。 （图a） （图b） 在确定基本结构的同时，也就确定了基本未知量 及其数目。 8-3 位移法的基本未
13、知量和基本结构 结构力学 中南大学 基本未知量，基本结构确定举例基本未知量，基本结构确定举例 8-3 位移法的基本未知量和基本结构 结构力学 中南大学 8-3 位移法的基本未知量和基本结构 结构力学 中南大学 8-3 位移法的基本未知量和基本结构 结构力学 中南大学 8-3 位移法的基本未知量和基本结构 结构力学 中南大学 基本体系是指基本结构在荷载和基本未知位移共 同作用下的体系。 基本未知量结点B 转角B ，设其为Z1 。在结 点B 附加刚臂得基本结构。 原结构基本结构 一、位移法的基本方程 1. 无侧移刚架 基本体系 8-4 位移法的典型方程及计算步骤 结构力学 中南大学 2) 人为给予
14、结点B以转角B ,由于转角而引起附加 约束的附加反力R11。 在基本结构上分别考虑： 基本体系 += 1) 荷载引起的附加约束中的反力R1P。 由线形系统的叠加原理得到位移法基本体系. 8-4 位移法的典型方程及计算步骤 结构力学 中南大学 设r11为单位转角Z1=1时附加约束反力矩，则 R11=r11Z1，将其代入公式（8-3）得 思考：基本体系与原结构有何不同？ 原结构在结点B处并没有附加约束，因而也没有附 加约束反力矩。 思考：如何使基本体系的受力和变形情况与原 结构完全等价？ 要使基本体系与原结构完全相等，必须要有 R11+R1P=R1=0 即： R11+R1P=0 (-3） R 的下
15、标: 第一个下标表示产生附加反力矩的位置， 第二个下标表示产生附加反力矩的原因。 8-4 位移法的典型方程及计算步骤 结构力学 中南大学 r11Z1+R1P=0 （-4） -求解基本未知量Z1的位移法方程。 求系数 r11 作基本结构当位移 Z1=1 时的弯矩图（ 图）。 i=EI/l 称为该杆的线刚度。 取结点B为隔离体，由力矩平衡条件 得 8-4 位移法的典型方程及计算步骤 结构力学 中南大学 求自由项R1P，作出基本结构在荷载作用时的弯矩 图(MP图)。 利用力矩平衡条件MB=0， 得 注意：系数r11和自由项R1P的正负号规定它们都与 转角 Z1的正向一致时为正，即顺时针为正。 取结点B为隔离体 8-4 位移法的典型方程及计算步骤 结构力学 中南大学 将系数r11和自由项 R1P代入位移法方程式（-4）有 得 叠加法绘制结构的弯矩图。 8-4 位移法的典型方程
