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1、第八章第八章 位移法位移法 基本要求：了解位移法的基本思路、等截面直杆的转 角位移方程；熟练掌握位移法的基本原理和超静定 梁、刚架在荷载作用下内力的计算；掌握对称性的 利用。 教学内容：8-1 概述 8-2 等截面直杆的转角位移方程 8-3 位移法的基本未知量和基本结构 8-4 位移法的典型方程及计算步骤 8-5 对称性的利用 8-1 8-1 概述概述 v位移法是分析超静定结构的另一种基本方法，在 有些情况下比力法更为简便简便。 v位移法以某些结点位移（角位移和线位移）作为 基本未知量，先确定某些位移，然后推求内力。 基本思路： 图示各杆长度为图示各杆长度为l l，EIEI 等于常数等于常数,
2、 ,作用分布荷载作用分布荷载q q , , 集中力集中力F F P P , ,力偶力偶MM，如何求解如何求解? ? 如果Z1已知时，用 力法可算出4根杆 件的内力。因此， 如果以A点的角位 移作为基本未知量 ,首先设法求出Z1， 则各杆的内力随之 均可确定位移 法的基本思路。 需要解决的问题： 1）单跨超静定梁单跨超静定梁在杆端发生各种位移以及荷载等 因素作用下的内力（用力法计算） 2）基本未知量的确定 3）如何求出基本未知量 8-2 8-2 等截面直杆的转角位移方程等截面直杆的转角位移方程 在位移法中，要用到单跨超静定梁在杆端发生 转动或移动，以及荷载等外因作用下的杆端弯 距和剪力。 1、符
3、号规定符号规定： 杆端弯距(MAB,MBA)，以顺时针方向为正， 杆端转角( )，以顺时针方向为正， 侧移，以使整个杆件顺时针方向转动为正， 杆端剪力(FSAB,FSBA)，同前。 用力法可得到如下单跨超静定梁的内力和位移 单跨超静定梁的力法结果单跨超静定梁的力法结果(1)(1) 形形 形形 载载 杆端位移引起的杆端内力称为杆端位移引起的杆端内力称为形常数形常数。 荷载引起的杆端内力称为荷载引起的杆端内力称为载常数载常数。 单跨超静定梁的力法结果单跨超静定梁的力法结果(2)(2) 载载 载载 载载 单跨超静定梁的力法结果单跨超静定梁的力法结果(3)(3) 载载 载载 载载 1 单跨超静定梁的力
4、法结果单跨超静定梁的力法结果(4)(4) 形形 载载 形形 载载 单跨超静定梁的力法结果单跨超静定梁的力法结果(5)(5) 载载 载载 载载 单跨超静定梁的力法结果单跨超静定梁的力法结果(6)(6) 载载 载载 载载 载载 单跨超静定梁的力法结果单跨超静定梁的力法结果(7)(7) 载载 载载 载载 形形 单跨超静定梁的力法结果单跨超静定梁的力法结果(8)(8) 载载 载载 载载 载载 单跨超静定梁的力法结果单跨超静定梁的力法结果(9)(9) 载载 载载 载载 载载 2 单跨单跨超静定梁的力法结果超静定梁的力法结果(10)(10) 载载 载载 载载 在线性小变形条件下，由叠加原理可得在线性小变形
5、条件下，由叠加原理可得 单跨超静定梁在荷载、温度变化和支座移动共 同作用下 2、转角位移方程杆端弯距的一般计算公式 （1）两端固定等截面直杆 其中：称为杆件的线刚度线刚度。 为由荷载和温度变化引起的杆端 弯矩，称为固端弯矩固端弯矩。 转角位移方程(刚度方程) A A端固定端固定B B端铰支端铰支 A A端固定端固定B B端定向端定向 （2）一端固定另一端铰支的等截面直杆 （3）一端固定另一端定向支承的等截面直杆 8-3 8-3 位移法的位移法的基本未知量基本未知量和和基本结构基本结构 vv基本未知量基本未知量, ,Z Z i i ：独立的结点位移，包括角位移和 线位移。 独立的结点角位移数 n
6、a =刚结点数； 独立的结点线位移数 nl =刚结点和固定支座变成铰，为使 铰结体系几何不变所需添加的最少支座联杆数目（不考虑 轴向变形时） 基本未知量的总数 n = na+ nl 。 vv基本结构基本结构：增加附加约束（刚臂、链杆）后增加附加约束（刚臂、链杆）后, ,使原使原 结构转化为许多根结构转化为许多根单跨超静定梁的组合体单跨超静定梁的组合体。 在每个刚结点上加上一个附加刚臂，以阻止刚结点的转 动；加上附加支座链杆以阻止结点的线位移。 vv基本体系基本体系：把基本结构在荷载和基本未知量共同 作用下的体系，称为原结构的基本体系。 原结构 q 基本结构 基本体系 q 基本体系 q v基本未
7、知量，基本结构确定举例 v 以位移作为基本未知量，先“固定”结点（不产生任何 位移） v 考虑外因作用，由“载常数”得各杆受力，作弯矩图 。 v 令结点产生单位位移（无其他外因），由“形常数” 得各杆受力，作弯矩图。 v 把两者叠加，根据原结构无约束，应无附加约束反力 （平衡）“放松”结点。 v 列方程式。 8-4 8-4 位移法的典型方程及计算步骤位移法的典型方程及计算步骤 1、位移法典型方程式 R R1 1 =0=0 R R 1111+ R + R1P 1P =0 =0 Z Z1 1 基本体系基本体系 Z Z1 1 + = r r 1111 Z Z 1 1 + R+ R1P 1P =0 =
8、0 R R 1111= = r r11 11 Z Z 1 1 基本方程平衡条件 基本方程 Z1 Z Z1 1 =1=1 6i 6i 6i 6i 4i4i 2i2i M1 l l l l Z Z1 1 MM p p r r 1111 6i6i 4i4i R R 1P1P r r 1111=10i =10i M Z1 Z1 Z2R1 R2 R1=0 R2=0 R1P R2P r21 Z1 r11 r22 r12 位移法 基本体系 R1=0 R2=0 r11、r21 基本结构在 Z1=1单独作用时， 附加联系1、2中产生的附加反力矩和附加反力 ； r12、r22 基本结构在 Z2=1单独作用时，附加
9、 联系1、2中产生的附加反力矩和附加反力； R1P、R2P 基本结构在荷载单独作用时，附 加联系1、2中产生的附加反力矩和附加反力。 Z2 Z1 Z1 Z2 n个基本未知量的位移法典型方程(基本未知量Zi) 主系数 rii 基本结构在Zi=1单独作用时，在第 i个附加联系 中产生的附加反力矩和附加反力，恒为正； 付系数 rij 基本结构在Zj=1单独作用时，在第 i个附加联系 中产生的附加反力矩和附加反力，可正、可负、可为零； (r (r ij ij = = r r ji ji 反力互等反力互等) ) 自由项 RiP 基本结构在荷载单独作用时，在第 i个附加联 系中产生的附加反力矩和附加反力，
10、可正、可负、可为零。 u 系数rij和自由项Rip与Zi的方向一致时为正。 典型方程的物理意义：基本结构在荷载等外因 和各结点位移的共同作用下，每一个附加联系 上的附加反力距和附加反力都等于零。即反映 原结构的静力平衡条件。 位移法以某些结点位移（角位移和线位移）作为 基本未知量，并取单跨超静定梁作为计算单元， 分析其杆端反力和杆端位移之间的关系，并根据 结点平衡条件建立典型方程式，求出各杆端的位 移，从而进一步计算结构内力。 1）绘出基本结构在Z1 =1、Z2 =1、 以及荷载作用 下的弯距图 2）由平衡条件求出各系数和自由项。 2、系数和自由项计算 3、最后弯距图 v由典型方程求出基本未知
11、量Z1、Z2 、之后， 结构的最后弯距图 （1）可由叠加法绘制 （2）或者用转角位移公式计算杆端弯矩。 先求出各杆端弯矩，绘出M图。FS图、FN图可 由平衡条件绘出。 v最后内力图应进行校核，包括平衡条件的校核 和位移条件的校核。校核的方法与力法一样。 4、位移法计算步骤： （1）确定原结构的基本未知量和基本体系。 （2）建立位移法的典型方程 （根据基本结构在荷载等外因和各结点位移共同 作用下，各附加联系上的反力距和反力均应等 于0的条件来建立）。 （3）作单位弯矩图和荷载弯矩图。 （4）由平衡条件求出各系数和自由项。 （5）解典型方程。 （6）绘制最后弯距图。 16.72 11.57 9 1
12、5 15 9 R1P 15 9 R1P=159=6 2i 4i 3i r11 4i 3i r11=4i+3i=7i 30 M图 (kN.m) 11.57 11.57 MB=0 MP M1 例：位移法计例：位移法计 算连续梁算连续梁 20kN ii 2kN/m A B C 3m3m6m A B C 2kN/m 20kN A B C A B C R1P r11 例：用位移法计算图示结构。例：用位移法计算图示结构。EIEI= =常数常数。 解： （1）有两个基本未知量，基本体系如图 （2）位移法方程 基本体系 Z1 Z2 （3 3）计算系数项）计算系数项 (4)计算自由项 (5)代入位移法方程，得
13、解得： (6)作弯矩图 Z2Z2 Z1 R1 R2 R1=0 R2=0 例：用位移法计算有侧移刚架例：用位移法计算有侧移刚架 3kN/m 2i i i 8m 4m 3kN/m 1=1 Z2 Z1 R2P R1P 3kN/m r22 r12 乘 Z 2 r21 r11 乘 Z 1 R1P 4 0 1=1 r11=10i r21=1.5i 2i r11 r21 4i 6i M1 R1P=4 R2P=6 4 MP R1P R2P 4 3kN/m r12=1.5i r22=15i/16 r12 r22 M2 1.5i 1.5i r12 0 1.5i 6i 4i r11 r22 0 R2P r21 0
14、13.62 4.42 5.69 M图 (kN.m) 解得: Z1=0.737/i，Z2=7.58/i 弯矩图 例例: : 作作MM图，图， EI=EI=常数常数 R R1 1 =0=0 解解: : 2i2i 4i4i 3i3i i i M1 R R1 1 t 由结果可见：温度变由结果可见：温度变 化引起的位移与化引起的位移与EIEI大大 小无关，内力与小无关，内力与EIEI大大 小有关小有关 l l l l l l Z Z1 1 Mt M 例例: : M M图，图， EI=EI=常数常数, t, t 1 1 t t 2 2 l l l l l l h Z Z1 1 R R1 1t 同上例同上例
15、 R R 1t1t的计算的计算: : = = + + 同上例同上例 例例: : 作作MM图，图， EI=EI=常数常数 R R1 1 =0=0 r r 1111 Z Z1 1 +R+R1C1C=0=0 解解: : Z Z1 1 l l l l l l 2i2i 4i4i 3i3i i i M1 MC R R 1C1C M 由结果可见：支座移动引起的位移与由结果可见：支座移动引起的位移与 EIEI大小无关，内力与大小无关，内力与EIEI大小有关大小有关 8-5 8-5 对称性的应用对称性的应用 v在力法中关于对称性的一些结论，在位移法中同 样可利用来简化计算。 v非对称荷载可分解为正、反对称的两组，分别加 于结构上求解，然后再将结果叠加。 v正对称时采用位移法简便，反对称时采用力法简 便。 例例: : 用位移法计算图示刚架用位移法计算图示刚架, , E E= =常数常数. . 利用对称性利用对称性 取取 半半 计计 算算 简简 图图 例例: : 刚架温度变化如图刚架温度变化如图, ,试作其弯矩图试作其弯矩图. . EIEI
