正弦定理应用举例.

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1、 仰角仰角：目标视线在水平线上方的叫仰角; 俯角俯角：目标视线在水平线下方的叫俯角； 方位角方位角：北方向线顺时针方向到目标方向 线的夹角。 N 方位角 60度 水平线 目标方向线 视 线 视 线 仰角 俯角 O A A B B 解斜三角形中的有关名词、术语： 从A处望B处的仰角为 ,从B处望A处的俯角 为 ,则 的关系为( ). A C B 51o 55m 75o 例1.设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。 测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C， 测出AC的距离是55cm，BAC51o， ACB 75o，求A、B两点间的距离（精确到0.1m） 分析：已知两角一边，可以用正弦定

2、理解三角形 解：根据正弦定理，得 答：A,B两点间的距离为65.7米。 A B C D A B C D a 解：如图，测量者可 以在河岸边选定两点 C、D，设CD=a， BCA=，ACD= ，CDB=， ADB= 分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一 点C到对岸两点的距离，再测出BCA的大小， 借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。 解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a,并 且在C、D两点分别测得BCA=, ACD=, CDB=, BDA=.在 ADC和 BDC中，应用正弦定理得 计算出AC和BC后，再在 ABC中，应用余弦定理计 算出AB两点间的距离 变式训练：若

3、在河岸选取相距40米的C、D两 点，测得 BCA= ， ACD= ， CDB= ， BDA=求A、B两点间距离 . 注：阅读教材P12，了解基线的概念 练习1.一艘船以32.2n mile / hr的速度向正 北航行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o的 方向，30min后航行到B处，在B处看灯塔 在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔 6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这 艘船可以继续沿正北方向航行吗？ 变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都 等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30o，灯塔B 在观察站C南偏东60o，则A、B之间的距离为多 少？ 练习2自动卸货汽车的车厢

4、采用液压机构。设计时需要计算 油泵顶杆BC的长度已知车厢的最大仰角是60，油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 620，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m） （1）什么是最大仰角？ 最大角度最大角度最大角度最大角度 （2）例题中涉及一个怎样的三角 形？ 在ABC中已知什么，要求什么？ C A B 练习2自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算 油泵顶杆BC的长度已知车厢的最大仰角是60，油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 620，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m） 最大角度最大角度

5、最大角度最大角度 已知ABC中AB1.95m，AC1.40m， 夹角CAB6620，求BC 解：由余弦定理，得 答：顶杆BC约长1.89m。 C A B 测量垂直高度 1、底部可以到达的 测量出角C和BC的长度，解直 角三角形即可求出AB的长。 图中给出了怎样的一个 几何图形？已知什么， 求什么？ 想一想 B E A G H DC 2、底部不能到达的 例3 AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑 物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法 分析：由于建筑物的底部B 是不可到达的，所以不能直 接测量出建筑物的高。由解 直角三角形的知识，只要能 测出一点C到建筑物的顶部 A的距离CA,并测出

6、由点C 观察A的仰角，就可以计算 出建筑物的高。所以应该设 法借助解三角形的知识测出 CA的长。 B E A G H DC 解：选择一条水平基线HG,使 H,G,B三点在同一条直线上。由 在H,G两点用测角仪器测得A的 仰角分别是，CD=a,测测角 仪仪器的高是h.那么，在 ACD中 ，根据正弦定理可得 例3. AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物 的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法 B E A G H DC 分析：根据已知条件，应该设 法计算出AB或AC的长 A B C D a b CD=BD-BC177-27.3=150(m) 答：山的高度约为150米。 解：在ABC中，B

7、CA= 90 +, ABC= 90 -, BAC=- , BAD=.根据正弦定理， A B C D a b 1.如图,B,C,D三点在地面一直线上,DC=a,从C,D 两点测得A点的仰角分别是 ,则A点离 地面的高AB等于( ) A B D C 2.有一幢20m的楼顶测得对面一塔顶的仰角为 600 ,塔基的俯角为450 ,则塔高为( ) 例6 一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行67.5n mile后 到达海岛B,然后从B出发，沿北偏东32的方向航行54.0n mile 后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎 样的方向航行，需要航行多少距离（角度精确到0.1,距离精确

8、到0.01n mile）? 解：在 ABC中，ABC180 7532137，根据余弦定 理， 已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等, 灯塔A在观察站C的北偏东400 ,灯塔B在观察站C 的南偏东600,则灯塔A在灯塔B的( ). A. 北偏东100B. 北偏西100 C. 南偏东100D. 南偏西100 例8 在某市进行城市环境建设中，要把一个三角 形的区域改造成市内公园，经过测量得到这个三 角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m，这 个区域的面积是多少（精确到0.1cm）? A B C 总 结 实际问题 抽象概括 示意图 数学模型 推理 演算 数学模型的解 实际问题的解 还原说明 1在 中, 面积 求AC的长。 解： 由余弦定理得： 2在 中, 且B为锐角,试判断 的形状。 3在 中, 角A,B,C所对的边分别是a,b,c, 且 .若b=2, 面积S=3,求a.