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1、理论力学复习 平面刚体系统的平衡问题 基本要求 尽量做到一个方程只含有一个未知量； 基本思路 先整体，后局部-在物系中找出约束力可直 接求解的 “构件”。 2-5 物体系的平衡静定和超静定问题 充分利用力矩方程的优势 （1）矩心的选取； （2）当约束处于同一水平面时， 应首先考虑力矩方程； FAx FAy FDx FDy F A B C D （3）当约束处于同一竖直面时， 也应首先考虑力矩方程。 四.常见几种载荷及其合力的计算 结论： 1、合力的大小等于荷载所组成几何 图形的面积。 2、合力的方向与荷载的方向相同。 3、合力的作用线通过荷载图形的形 心（重心）。 1、均布荷载 2、三角形荷载
2、l/2l/2 q Q Q q FAy FAx F FB FEy FEx FD 由AC 和CD 构成的组合梁通过铰链C 连接。它的支承 和受力如图3-13a 所示。已知q = 10 kN/m，M = 40 kN m， 不计梁的自重。求支座A，B，D 的约束力和铰链C 受力。 例2-17 FAx FAyFB FD 1. 力对轴的矩 2. 力对点之的矩 3. 力对点的矩与力对轴的矩的关系 空间问题 1.力对轴的矩 通过投影对点的矩来定义的 x y z O F h B A a b Fxy 对称性 循环性 2. 力对点的矩与力对轴的矩的关系 x y 重心（形心）的计算 求图示均质板重心的位置。 解一：（
3、分割法）建立如图坐标： 解二：（负面积法） x y a a a a C1 C2 O x a a a a C2 C1 O y 含摩擦时物体的平 衡问题 分析思路与没有摩擦的情况大致相同，但要注意对摩擦力的 分析，特别是摩擦力的大小和方向。 1. 临界平衡状态分析 （a） 应用 Fmax = fsFN 作为补充方程, （b） Fmax的方向不能任意假定，必须是真实的方向（ 此时，Fmax和FN相互关联）。 2. 非临界平衡状态分析 （a） 应用 0 FsFmax，则物体无法平衡，应利用动摩擦 力公式计算物体受到的摩擦力； FN1 Fs1 FN2 P2 点的合成运动 7.1 相对运动牵连运动绝对运动
4、 在分析合成运动时，必须选定两个参考系，即定系和动系 ，同时还要区分三种运动，即绝对运动、相对运动和牵连运 动： 1. 绝对运动-动点相对于定系的运动； 2. 相对运动-动点相对于动系的运动； 3. 牵连运动-动系相对于定系的运动。 说明： 1. 绝对运动和相对运动指的是点的运动， 2. 牵连运动指的是刚体的运动 例如，直线运动、圆周运动和曲线运动 例如，平动、定轴转动等 绝对速度相对速度牵连速度 绝对速度、加速度、轨迹 动点相对于定系的速度、加速度和轨迹，分别称 为动点的绝对速度va、绝对加速度aa和绝对轨迹。 相对速度、加速度、轨迹 动点相对于动系的速度、加速度和轨迹，分别称 为动点的相对
5、速度vr、相对加速度ar和相对轨迹 。 牵连点：动系上与动点相重合的那一点。 注意：它是动 系上的一点 绝对速度相对速度牵连速度 牵连速度、加速度 动系正是通过牵连点对动点起着“牵连、连带” 作用 。 牵连点的速度和加速度分别称为动点的牵连 速度 (用ve表示)和牵连加速度 (用ae表示) (1) 选取动点和动系的基本原则 动点和动系应分别选择在两个不同的刚体上。 动点和动系的选择应使相对运动的轨迹简单直观。 (2) 动点选取的基本方法 若系统存在持续接触点，那么通常情况下，选取持续 接触点为动点。 若系统不存在持续接触点，则按原则（1）处理。 点的速度合成定理 A 点 (AB杆) OC杆 沿
6、AB的直线运动 沿OC的直线运动 绕O轴的定轴转动 动点： 动系： 绝对运动: 相对运动: 牵连运动: 动点： 动系： 绝对运动: 相对运动: 牵连运动: C 点 (偏心轮) 顶杆AB 绕O点的圆周运动 直线运动 竖直方向的平动 点的加速度合成定理 1. 当牵连运动为平移时， 2. 当牵连运动为转动时， 工程中常见的平面机构，we和vr往往 是垂直的，也就是说，动系角速度的作 用面和相对速度共面，此时： 科氏加速度 vr we aC的大小 - aC=2evr aC的方向 - 将vr按动系转动的方向旋转 90 aC 例2 图示曲柄滑道机构，圆弧轨道的半径ROA10 cm，已知 曲柄绕轴O以匀速
7、n120 rpm转动，求当 j30时，滑道BC的 速度和加速度。 n j R O O1 A B C D j ve 解：动点： 动系： 绝对运动: 相对运动: 牵连运动: A点（曲柄OA） 滑道BC 匀速圆周运动 圆周运动 直线平动 大小 ？ ？ 方向 va vr 速度分析: E 由三角几何关系易知 O O1 A B C D j BC的加速度分析： 120 30 h A art ae arn aan 将所有加速度矢向h轴投影 art arn aan ae 大小 ？ ？ 方向 120 30 h A 绝对运动： 匀速圆周运动； 相对运动：圆周运动；牵连运动：直线平动 例3 偏心凸轮的偏心距OCe、半
8、径为 ，以匀角速度w绕O轴转动， 杆AB能在滑槽中上下平动，杆的端点A始终与凸轮接触，且OAB成一直线。 求在OC与CA垂直时从动杆AB的速度和加速度。 A B O C w q 解 ： 方向 速度分析:运动分析: 大小 vr va ve 动点： 动系： 绝对运动: 相对运动: 牵连运动: A点（AB杆） 定轴转动 圆周运动 直线运动 凸轮 ？ ？ 由三角几何关系可知 科氏加速度的 大小和方向？ h A B O C w q 加速度分析 arn art aC aa aen 将所有加速度矢向轴投影： 绝对运动:直线运动，牵连运动:定轴转动 （匀速） 相对运动:圆周运动。 大小 方向 ？ ？ vr 求
9、AB杆的 加速度 平面图形内任一点的速度等于基点的速度与 该点随图形绕基点转动速度的矢量和。 结论 其中， 求平面图形内各点速度的基点法 (1) 平面图形沿一固定表面作无滑动的滚动（ 只滚不滑），图形与固定面的接触点C就是图形的 速度瞬心。 v C 求平面图形内各点速度的瞬心法 (2) 已知图形内任意两点A和B的速度的方向，速 度瞬心C的位置必在每点速度的垂线的交线上。 w O vA A B vB C wAB (3) 某瞬时，图形上A、B两点的速度相等, 如图 所示，图形的速度瞬心在无穷远处。此时，图形上 各点速度均相同，称为瞬时平动。 w O vA A B vB 用基点法求平面图形内各点的加
10、速度 其中， 平面运动加速度合成的基点法： vA vB D vC vA 动 力 学 动量定理 1. 动量定理 2. 质心运动定理 3. 质心运动守恒定理 质点系（或刚体）的动量等于质点系（或刚体） 的质量与质心速度的乘积。 质点系动量的计算 质量中心（质心） 定义质点系质量中心 (质心) C 的矢径 质点系动量定理（投影式） 该定理一般用来求约束 力，并且通常以整体作 为研究对象。 质点系动量定理（矢量式） 2 质心运动定理 直角坐标上投影式 自然轴上投影式 3 质心运动守恒定理 若 则质心运动守恒； 则质心在x轴方向运动守恒 。 若 A B y 动 力 学 动量矩定理 1. 动量矩的计算 2
11、. 动量矩定理 3. 定轴转动的转动微分方程 4. 平面运动微分方程 质点系（刚体）动量矩的计算 （1） 刚体平移 （2） 刚体绕定轴转动 （3）刚体平面运动 P A C vC m R 平面运动刚体对任一点O的动量矩 ，等于随质心平移时对O点的动量距加 上绕质心转动的动量距。 质点系对某固定点O的动量矩对时间的导数，等于作用 于质点系的所有外力对于O点矩的矢量和（外力对点O的主 距）。 在应用时，常取直角坐标投影式： 动量矩和力矩的符号可以 任意设正，但两者必须要 统一，不能混合假定。 一般用来求和转动问题相 关的运动，如角加速度、 加速度等。 Fy Fx mAg mBg Mg vA vB 1
12、1-3 刚体绕定轴的转动微分方程 主动力: 约束力: 即: 或 或 转动 微分 方程 刚体平面运动微分方程的投影式 说 明 （1）C点必须是质心，否则结果一般不成立； （2）通常要配合补充方程联合使用； （3）补充方程：一般来自于质心加速度和角加速度之间 的关系，常见的有 ac=R 和 act=R 等，以及摩擦力与法 向约束力之间的关系。 刚体的平面运动微分方程 1) 重力的功 1 常见力的功 动能定理 M1 M2 M mg z1 z2 O x y z 单个质点 质点系 2) 弹性力的功 A1 A2 r2 r1 d1 d2 l0 O r0 r A d F A0 dr 常见力的功 弹性力作的功只
13、与弹簧 在初始和末了位置的变 形量（变形量的平方差 ）有关，与力的作用点A 的轨迹形状无关。 3) 定轴转动刚体上作用力的功 常见力的功 Ft F r Fb Fn O z O1 A q 力F在刚体从角j1转到j2所作的功为 Mz可视为作用在刚体上的力偶距 静摩擦力不作功，滑动摩擦力作负功。 当轮子在固定面上纯滚动时， FS F 摩擦力作功 摩擦力不作功。 FC FS FC FS (1) 平动刚体的动能 2 质点系动能的计算 (2) 定轴转动刚体的动能 (3) 平面运动刚体的动能 (a) 对每瞬时来说，刚体的平面运动可以视为绕速度瞬心 的定轴转动。 其中，p 是刚体的速度瞬心 (b) 刚体的平面
14、运动由随质心的平移与绕质心的转动两部 分组成。 C v v C C 牢记均质圆盘在地面上作纯滚动时的动能: 均质圆环在地面上作纯滚动时的动能 O 只要是纯滚动（沿地面，沿 绳子等），计算公式不变。 2. 质点系的动能定理 设质点系由n个质点组成，第i个质点的质量为mi，速 度为vi，则 这样的方程共n个，相加得 于是 质点系在某一运动过 程中，起点和终点动能的 改变量，等于作用于质点 系的全部力在这一过程中 所作的功之和。 一般用来求运动（如速度、 角速度、加速度、角加速度 等），特别是和路程有关的 运动。 令 3.刚体作平面运动 （向质心简化） 达朗贝尔原理- 惯性力系的简化 主矢 ： 主距
15、 ： 2.刚体定轴转动（向轴与质量对称面的交点简化） 主矢 ： 主距 ： 1.刚体平动（向质心简化） 主矢 ： 主距 ： 解：质心的加速度： 方向及作用线位置如图所示 。 act acn 所以，主矢的大小： 主距的大小： 方向如图所示。 FtIO FnIO MIO O A B a a 例13-2：如图所示均 质杆的质量为m，长 为a，绕定轴O转动的 角速度为 ，角加速 度为 。 求：惯性力系向点简化的结果 （方向在图上画出）。 D B A 例3 如图所示, 均质杆AB的质量m40 kg, 长l4 m, A点以铰链 连接于小车上。不计摩擦, 当小车以加速度a15 m/s2向左运动时 , 求D处和铰A处的约束反力。 解：以杆为研究对象, 受力如图, 建 立如图坐标。 杆作平动, 惯性力的大小为FIma。 由质点
