量子力学-第-章-波函数.

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1、第一章 波函数 微观粒子具有波粒二象性，与经典理论不同 ，现在我们需要需要用一个波函数(r,t)来描 述微观粒子的运动状态。我们需要首先解决 下面两个问题： 1：给定势能（相当于经典中给定作用在粒子 上的力），如何得到这个波函数？ 2. 这个波函数是怎样描写的粒子的状态的？ （一）引进方程的基本考虑 从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻 t 粒子的状态 r 和 p 。因为初条件知道的是坐标及其对时间的一阶导数，所 以方程是时间的二阶常微分方程。 先回顾一下经典粒子运动方程，看是否能给我们以启发。 （1）经典情况 1.1 薛定谔（Schrodinger）方程 （2）量子情况 3方程不能包含状态参

2、量，如 p, E 等，否则方程只能 被粒子特定的状态所满足，而不能为各种可能的状态所满足。 1因为 t = t0 时刻，已知的初态是(r,t0) 且只知道这样 一个初条件，所以，描写粒子状态的波函数所满足的方程只能含 对时间的一阶导数。 2要满足态叠加原理，即，若1( r, t ) 和2( r, t ) 是方程的解，那末 ( r, t)= C11( r, t ) + C22( r, t ) 也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的，也就是说方程中 只能包含、对时间的一阶导数和对坐标各阶导数的一次项，不 能含它们的平方或开方项。 （二）平面波的启发 这不是所要寻找的方程，因为它包含状态参量 E

3、。将对坐标二次 微商，得： 平面波为: 应是所要建立的方程的解。 将上式对 t 微商，得： 满足上述构造方程 的三个条件 讨论：通过引出自由粒子波动方程的过程可以看出，如果能动量关系 式 E = p2/2m 写成如下方程形式： 即得自由粒子运动方程（3）。 (1)(2)式，得 然后，做算符替换： （三）势场 V(r)中运动粒子的 Schrdinger 方程 若粒子处于势场 V(r) 中运动，则能动量关系变为： 将其作用于波函数 做算符替换 量子力学基本假定 I： 微观粒子体系的状态波函数满足Schrdinger 方程 在直角坐标系中，拉普拉斯算符为 在球坐标系中，拉普拉斯算符为 一维直角系中的

4、薛定谔方程为 多粒子体系的 Schrdinger 方程 设体系由 N 个粒子组成， l质量分别为 mi (i = 1, 2,., N) l体系波函数记为 ( r1, r2, ., rN ; t) l第i个粒子所受到的外场 Ui(ri) l粒子间的相互作用 V(r1, r2, ., rN) l则多粒子体系的 Schrdinger 方程可表示为： 多粒子体系 Hamilton 量 对有 Z 个电子的原子，电子间相互作用为 Coulomb 排斥作用： 而原子核对第 i 个电子的 Coulomb 吸引能为： 例如： 波是由它所描写的粒子组成? 为什么不是? 实验事实:入射电子流强度大，很快显示衍射图样

5、. 入射电子流强度小，电子一个一个发射，开始显示 电子的微粒性，长时间亦显示同样的衍射图样.我们知道，衍射现象是由波的干涉而产生的，如果波真 是由它所描写的粒子所组成，则粒子流的衍射现象应当是由于组成波的这些粒子相互作用而形成的。 但事实证明，在粒子流衍射实验中衍射图样和入射粒子流强度无关。如果减小粒子流强度，同时延长 实验的时间，是入射的粒子总数保持不变，则得到的衍射图样将完全相同。即使把粒子流强度减小到 使粒子一个一个地被衍射，只要时间足够长，所得到的衍射图样也还是一样。这说明每一个粒子被衍 射的现象与其他粒子无关，因此衍射图样不是由粒子之间的相互作用而产生的。 电子源 感 光 屏 O P

6、 P Q Q O 波函数(x,t)是在空间的一个分布,这样一个波函数如何描述 一个微观粒子的运动状态呢? 1.2 波函数的统计解释 波函数的波恩统计解释 v波恩说，波函数代表的是一种随机，一种概率，更准确 地说，2代表了电子在某个地点出现的“概率”。电子本身 不会像波那样扩展开去，但是它的出现概率则像一个波， 严格地按照的分布所展开。 v 现在让我们来做一个思维实验，想象我们有一台仪器， 它每次只发射出一个电子。这个电子穿过双缝，打到感光 屏上，激发出一个小亮点。那么，对于这一个电子，我们 可以说些什么呢？很明显，我们不能预言它组成类波的干 涉条纹，因为一个电子只会留下一个点而已。事实上，对

7、于这个电子将会出现在屏幕上的什么地方，我们是一点头 绪都没有的，多次重复我们的实验它有时出现在这里，有 时出现在那里，完全不是一个确定的过程。 v不过，我们经过大量的观察，却可以发现，这个电子不是完全没 有规律的：它在某些地方出现的可能性要大一些，在另一些地方 则小一些。它出现频率高的地方，恰恰是波动所预言的干涉条纹 的亮处，它出现频率低的地方则对应于暗处。现在我们可以理解 为什么大量电子能组成干涉条纹了，因为虽然每一个电子的行为 都是随机的，但这个随机分布的总的模式却是确定的，它就是一 个干涉条纹的图案。这就像我们掷骰子，虽然每一个骰子掷下去 ，它的结果都是完全随机的，从1到6都有可能，但如

8、果你投掷大 量的骰子到地下，然后数一数每个点的数量，你会发现1到6的结 果差不多是平均的。关键是，单个电子总是以一个点的面貌出现 ，它从来不会在屏幕上打出一滩图案来。只有大量电子接二连三 地跟进，总的干涉图案才会逐渐出现。其中亮的地方也就是比较 多的电子打中的地方，换句话说，就是单个电子比较容易出现的 地方，暗的地带则正好相反。如果我们发现，有9成的粒子聚集在 亮带，只有1成的粒子在暗带，那么我们就可以预言，对于单个粒 子来说，它有90的可能出现在亮带的区域，10的可能出现在 暗带。但是，究竟出现在哪里，我们是无法确定的，我们只能预 言概率而已。 v亮的地方粒子出现的几率大，暗的地方几率 小。

9、这说明了什么？我们知道亮的地方波的 强度大，也就是2大，暗的地方波强度小， 也就是2 小。这就说明波函数在空间中某 一点的强度(2) 和在该点找到粒子的几率成 正比。也就是说描写粒子的波是几率波。 v知道了描写微观体系的波函数后，由就可以 得出粒子在空间任意一点出现的几率。以后 我们将看到，由波函数还可以得出体系的各 种性质，因此我们说波函数描写体系的量子 状态。 量子力学与经典力学的区别 v量子力学用波函数来描写微观粒子的运动状态的方式和经典 力学中描写质点运动状态的方式完全不一样，在经典力学中 ，通常是用质点的坐标和动量的值来描写质点的状态，一个 质点的坐标和动量是随时间连续变化的我们有一

10、条质点运动 的轨迹。质点的其它力学量，如能量等，是坐标和动量的函 数，当坐标和动量确定后，其它力学量也就随之确定了。但 是在量子力学中，微观体系是由波函数来描写的，我们只知 道粒子在某一时刻在空间某一点出现的几率，这样一来我们 就不能说粒子的运动在空间形成一条轨迹了，同时，由于不 确定性原理（测不准原理）在量子力学中粒子的坐标和动量 不可能同时具有确定值，你把粒子的坐标测量的十分精确， 那么你就完全不知道它的动量是多少了，也就是说，不可能 同时用粒子的坐标和动量的确定值来描写粒子的量子状态。 以后我们将看到，当粒子处于某一量子状态时，它的力学量 一般有许多可能值，这些可能值各自以一定的几率出现

11、，这 些几率都可以由波函数得出。 v没有轨迹的概念了，经典力学决定论的概念失效了。难道从电视机屏幕 后电子枪发射的电子束也没有轨迹了？它怎么到达的荧光屏我们也不知 道了？这里我们需要注意尺度问题，换句话说，必须满足什么样的条件 我们才能把电子看作经典粒子？这里粒子的德布鲁意波长起着非常重要 的作用。当考虑问题的尺度远大于德布鲁意波长时，我们就可以回到经 典极限。电子束中的电子是由一个非常局域化的波包来描述，这波包在 空间随时间运动，电子束的宽度远大于电子的德布鲁意波长，在这条件 下，我们回到了经典极限，我们有了轨迹的概念，但是要注意，这里的 轨迹并不是质点力学中一条没有宽度的线。我们也可以由电

12、子的坐标和 速度来描述电子的运动，但是他们都不是十分精确的确定值。假定我们 的电视机屏幕是20乘20厘米， 象素是1千万，那么电子束的线度是106 米，也就是说，电子束坐标不确定是106米，根据测不准关系那么动量 的不确定大约是1028焦耳.秒(千克.米/秒), 假设用100伏电压加速电子, 电子速度大约为107米/秒, 动量大约为10-24千克.米/秒, 动量的不确定影 响很小.说明在这种情况下量子效应很小. 但是对于原子中的电子,坐标的 不确定性很小, 10-11米, 动量的不确定大约是10-23千克.米/秒,量子效应就 必须考虑了. 波函数的性质 v1. 与经典波的不同: 由于粒子必定要

13、在空间的某一 点出现,所以粒子在空间各点出现的几率总和等于一 ,因而粒子在空间各点出现的几率只决定于波函数在 空间各点的相对强度,而不决定于强度的绝对大小. 如果把波函数在空间各点的振幅同时加大一倍,并不 影响粒子在空间各点的几率,换句话说,将波函数乘 上一个常数后,所描写的粒子状态并不改变.量子力 学中波函数的这种性质是其它波动过程所没有的.对 于声波,光波等,体系的状态随振幅的大小而改变,如 果把各处的振幅同时加大为二倍,那么声或光的强度 到处都加大为四倍,这就完全是另一个状态了 v几率与几率密度 设波函数(x,y,z,t)描写粒子的状态, 在空间一 点(x,y,z)和时刻t,波的强度是(

14、x,y,z,t)2=* 以dW(x,y,z,t)表示在时刻t, 在坐标x到x+dx、y 到y+dy、z到zdz的无限小区域内找到粒子 的几率，则dW除了和这个区域的体积d dxdydz成比例外，也和在这个区域内每一点 找到粒子的几率成比例。按照波函数的统计 解释，在这个区域内一点找到粒子的几率与 (x,y,z,t)2成比例，即 dW(x,y,z,t)C (x,y,z,t)2 d v几率密度 在时刻t,在(x,y,z)点附近单位体积内找到粒子的几率,称为几 率密度 2.1-2 把几率密度对整个空间积分,得到粒子在整个空间出现的几率, 由于粒子存在于空间中,这个几率等于1 2.1-3 我们已经知道

15、,波函数乘以一个常数后,并不改变在空间各点 找到粒子的几率所以,我们可以用 来表示和对应同一状态的波函数. 可以看出 2.1-7 称为归一化的波函数, 上述步骤称为归一化 称为归一化常数 2.1-4 用归一化的波函数, 几率密度可以写作 2.1-5 在时刻t, 在坐标x到x+dx、y到y+dy、z到zdz的无限小区域d内找到粒子的几率为 2.1-5 在一个有限体积V内找到粒子的几率为 由波函数的统计解释, 一个物理的波函数都必须是归一化的. 我们以后都用归一化的波函数表示微观粒子的状态.没有归一 化的首先要把它归一化. 否则波函数的统计解释将没有意义 。 相因子: 波函数即使在归一化以后也还不

16、是完全确定的,因为对一个已经 归一化的波函数,我们还可以用一个常数 (是实常数)去乘波函数,这样既不影响空间各点找到粒子的几率,也不影响 波函数的归一化,因为 称为相因子,归一化波函数可以含有一任意相因子. 在归一化时,还必须注意,并不是所有的波函数都可以按归一化, 这种归一化要求为有限值, 如果这个条件不满足,即 发散,这种归一化就没有意义.比如,平面波 就是不满足这个条件的一个例子.这种波能否代表真实的自由粒子，我们以后再说。 由于波函数的几率解释，所以，所有描述真实物理状态的波函数都必须是归一化的。 这个几率是的图形中a到b之间所包含的面积。 对图所给的波函数,你将非常可 能在点A附近区域发现粒子,因为这里的比较大,