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1、组合与组合数公式 （二） 一、组合的定义 二、组合数公式 复习 例 写出从 a , b , c , d 四个元素中 任取三个元素的所有组合。 a abc ， abd ， acd ， bcd . bcd d b c c d abc abd acd bcd d c b a 从4个不同元素中每次取出3个的一个组合， 和剩下的（4-3）个元素的组合是一一对应的。 推广: 从 n个不同元素中取出 m个元素的每 一个组合，与剩下的n-m个元素的每一个组 合一一对应，所以从 n个不同元素中取出 m个元素的组合数，等于从这n 个元素中取 出n-m 个元素的组合数，即 组合数的两个性质 3、性质1的应用 (1)
2、当m 时，利用这个公式，可使 的计算简化 如： （2）当m=n时, 有 所以规定 1、（课课本101例4）一个口袋内装有大小相同的 7个白球和1个黑球 从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ 从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球， 有多少种取法？ 从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有 多少种取法？ 解：（1） 性质2 我们们可以这样这样 解释释：从口袋内 的8个球中所取出的3个球，可以分 为为两类类：一类类含有1个黑球，一类类 不含有黑球因此根据分类计类计 数原 理，上述等式成立 我们发现们发现 ： 为什么呢 推广:从 这n+1个不同 的元素中，取出m个元素的组合数 ，这些组合可 以分成两类
3、：一类含 ，一类不含 。含 的组合是 从 这n个不同元素中取出m-1个元素 的组合数为 ；不含 的组合是从 这n个不同的元素中取出m个元素的组合数为 ， 再由加法原理，得 性质2 注:1 公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之 和，等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标较 大的相同的一个组合数 2 此性质的作用：恒等变形，简化运算在今后学 习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用 例 计算： 例2 求证: 证明: 计计算： 求证证： + + 解方程： 解方程： 计计算： 推广： 练习: 例3 平面内有12个点，任何3点不在 同一直线上,以每3点为顶点画一个三 角形,一共可画多少个三角形
4、? 答:一共可画220个三角形. 思考交流 1. 从9名学生中选出3人做值日,有多 少种不同的选法? 2. 有5 本不同的书,某人要从中借2本, 有多少种不同的借法? 例4 有13个队参加篮球赛,比赛时先 分成两组,第一组7个队,第二组6个队. 各组都进行单循环赛(即每队都要与 本组其它各队比赛一场),然后由各组 的前两名共4个队进行单循环赛决出 冠军、亚军,共需要比赛多少场? 例5 在产品检验时,常从产品中抽出一 部分进行检查.现在从100件产品中任意 抽出3件: (1)一共有多少种不同的抽法? (2)如果100件产品中有2件次品,抽出的3 件中恰好有1件是次品的抽法有多少种? (3)如果100件产品中有2件次品,抽出的3 件中至少有1件是次品的抽法有多少种?
