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1、返返 回回 返返 回回 51 结构位移和虚功的概念 52 变形体系的虚功原理和单位荷载法 53 静定结构由荷载引起的位移 54 图乘法 55 互等定理 返返 回回 51 结构位移和虚功的概念 一、有关结构位移的概念 1. 变形和位移 在荷载作用下，结构将产生变形和位移。 变形：是指结构形状的改变。 位移：是指结构各处位置的移动。 2. 位移的分类和广义位移 A P A A 线位移： 角位移：A (A) Ay Ax Ay Ax A 绝对位移 相对位移 P AB CDCD C D CD= C+ D 广 义 位 移 返返 回回 线位移 角位移 返返 回回 3. 计算位移的目的 （1）为了校核结构的刚
2、度。 （2）结构施工的需要。 （3）为分析超静定结构打下基础。 起拱高度 M FQ FN -t +t 不产生内力， 产生变形产生位移 b）温度改变和材料胀缩； c）支座沉降和制造误差 不产生内力和变形 产生刚体移动 位移是几何量，自然可用几何法来求，如l =b xd wd =k 2 2 但最好的方法不是几何法，而是虚功法。其理论基础是虚功原理。 a）荷载作用； 4.产生位移的原因主要有三种： 返返 回回 1）荷载与位移成正比=E； 2）小变形； 3）具有理想约束的体系； 4）荷载全部撤除后，由荷载引起的位移也全部消 失。即：线弹性体系。可用叠加原理。 结构力学中计算位移的一般方法是以虚功原理为
3、 基础的。本章先介绍变形体系的虚功原理，然后从 中导出静定结构的位移计算公式。 5. 线性变形体系假定： 返返 回回 二、有关功和虚功的概念 （一）、功的概念 定义：一个不变的集中力所做的功等于该力的大小与其作 用点沿力作用线方向的分位移的乘积。 =F是力作用线方向的分位移 返返 回回 （二）、广义力的概念 与广义位移相对应的力因子称为广义力。 广义力与广义位移的关系是： 它们的乘积是功。即：W=F，故： 1）广义力是单个力P，则广义位移是该力的作用点的全位移在 力的方向上的分量。 P m 2）广义力是一个力偶，则广义位移是它所作用的截面的转角。 3）若广义力是等值、反向的一对力P PP t
4、t AB BA W=PA+PB=P（ A+B） =P 这里是与广义力相应的广义位移。 表示AB两点间距的改变，即AB两 点的相对位移。 4）若广义力是一对等值、反向的力偶m AB m m A B W=mA+mB=m（ A+ B） =m 这里是与广义力相应的广义位移。 表示AB两截面的相对转角。 返返 回回 （三）、实功与虚功 实功： 虚功： W= 力在其它因素引起的 位移上作的功。力与位移是彼此无关的量，分别属 于同一体系的两种彼此无关的状态。 例如： 例如：W12=P12 力在本身引起的位移上作的功。 力状态 位移状态 一个体系 返返 回回 4变形体系的虚功原理和单位荷载法 一、虚应变能 当
5、结构的力状态的外力因结构的位移状态的 位移作虚功时，力状态的内力也因位移状态的相 对变形而作虚功，这种虚功称为虚应变能，以V 表示。 力状态 位移状态 返返 回回 力状态 位移状态 微段上的虚应变能表示为 对于直杆构成的结构 单个杆 件的应 变能 返返 回回 二、虚功原理 变形体平衡的必要和充分条件是：对任意微小位 移，外力所作的虚功总和等于此变形体各微段上内力 所作的变形虚功总和。即： 1.变形体的虚功原理 称为虚功方程，式中： W 外力虚功 内力虚功（虚应变能） W=V 变形体的虚功原理可用虚功方程表达： 外力虚功 = 虚变形能 外力虚功等于力状态中所有外力（包 括荷载和支座反力）在位移状
6、态对应位 置的对应位移上所作的虚功。虚变形能 等于力状态中各微段上的内力在位移状 态对应微段上的变形所作的虚功总和。 返返 回回 对于直杆构成的结构 对于杆件结构虚功原理 杆件的虚功方程 返返 回回 虚功原理的两种用法 1虚设位移状态可求实际力状态的未知力。 这是在给定的力状态与虚设的位侈状态之间应用 虚功原理，这种形式的应用即为虚位移原理。 2虚设力状态可求实际位移状态的位移。这 是在给定的位移状态与虚设的力状态之间应用虚 功原理，这种形式的应用即为虚力原理。 2.刚体的虚功原理 W=0 刚体平衡的必要和充分条件是：对任意微小虚位 移，外力所作的虚功总和等于零。即： 1虚设位移状态可求实际力
7、状态的未知力。 这是在给定的力状态与虚设的位侈状态之间应用 虚功原理，这种形式的应用即为虚位移原理。 2虚设力状态可求实际位移状态的位移。这 是在给定的位移状态与虚设的力状态之间应用虚 功原理，这种形式的应用即为虚力原理。 返返 回回 三、单位荷载法 P1 P2 t1 t2 222 位移状态 2 c1 c2 K K KH P=1 虚拟力状态 1 2 R 1 R 需首先虚拟力状态 在欲求位移处沿所求位移方向加上 相应的广义单位力P=1. 一个体系，两种状态 实际位移状态 虚拟力状态 一般可写为： 虚外功 虚 应 变 能 1. 杆件结构位移计算的一般公式 P1 P2 t1 t2 222 位移状态
8、2 c1 c2 K K KH 注:1) 适用于静定结构和超静定结构; 2) 材料可以是弹性的也可是非弹性的; 3) 产生位移的原因可以是各种因素; 4) 既考虑了弯曲变形也考虑了剪切变 形和轴向变形对位移的影响； 5) 一般公式右边四项乘积,当力与变形的 方向一致时,乘积取正。 上式即为杆件结构位移计算的一般公式 通过虚设单位广义力作用的力 状态，利用虚功方程求位移的方法 单位荷载法。 返返 回回 P=1 虚拟力状态 1 2 R 1 R 返返 回回 2. 虚拟状态的设置 在应用单位荷载法计算时，应据所求位移 不同，设 置相应的虚拟力状态。 例如: 广义力与广义力与 广义位移广义位移 返返 回回
9、 P=1 m=1 m=1 m=1 P=1 P=1 l 1/l 1/l A B 求A点的 水平位移 求A截面 的转角 求AB两截面 的相对转角 求AB两点 的相对位移 求AB两点 连线的转角 位移方向未知 时无法直接虚 拟单位荷载！ 返返 回回 3.应用 1）仅有荷载作用时 2）仅有支座移动时 3）仅有轴向伸縮时 单位荷载法把计算位移这一几何问题变 为主要是虚变形能的计算问题。使计算 得到简化。注意力状态中的力符号上有 横杠，表示此力由单位荷载产生。 例1：试求图示桁架因杆a收缩2cm而引 起的D点的竖向位移。 34=12m a 3m 3m D 34=12m a 3m 3m P=1 解：左边题图
10、即为位移状态，由桁架因杆a收缩 而引起的位移是刚体位移，所有杆件轴力为0 ，无支座移动。因杆a收缩2cm而引起的 a =du2 /dx= -0.02/5； 右图为虚设力状态，可求得杆a轴力 Na =-5/18，公式变为： DV =N1du2 =Naa dx = =5/180.02/5dx =1/180= 0.0055m（） 此例很好地说明了用虚功原理计算位移的优 越性；本来桁架因杆a收缩2cm而引起的D点的 竖向位移是一个极为复杂的几何问题，但通过 虚功原理，它变成了虚设力状态的平衡问题， 答案可以轻易解得。 返返 回回 43荷载作用下的位移计算 FN FQ M 真实位 移状态 注：EI、EA
11、、GA 是杆件截面抗弯、拉 、剪刚度； k是截面形状系 数k矩=1.2， k圆 =10/9。 （1） FNP、FQP、MP实际荷载引起的内力，是产生位移的 原因；虚设单位荷载引起的内力是 （2）公式右边各项分别表示轴向、剪切、弯曲变形对位 移的影响。 注意到 无支座移动 返返 回回 荷载作用下的位移计算 真实位 移状态 （4）桁架 （3）梁和刚架的位移主要是弯矩引起的 dx EI MM P = FN FQ M 每一杆的内力及 截面都沿杆长不变 在计算由于内力所引起的变形时，没有考虑杆件的曲 率对变形的影响，因此只有对直杆才正确，应用于曲杆计 算则是近似的。 返返 回回 P l/2l/2 EI
12、AB x1 x2 例41 ：求图示等截面梁B端转角。 解：1）虚拟单位荷载 m=1 MP（x1）=Px/2 0x1l/2 MP（x2）=P（lx）/2 l/2 x2l l x (x)M= 0xl EI Pl 16 2 = EI dxxlP l x dx EI Px l x l l l 2 )( 22 2 0 - = EI dxM M l P B 0 =j 2）MP须分段写 返返 回回 例 42 求图示刚架A点 的 竖 向位移Ay。E、A、 I为常数。 解： 1. 设置虚拟状态 选取坐标如图。 则各杆弯矩方程为: AB段：x, BC段： 2. 实际状态中各杆弯矩方程为 AB段：BC段：MP=MP
13、= 3. 代入公式得 Ay= ， () = (-x)(- 2 qx2) EI dx +(-L)(- 2 qL 2 ) EI dx 返返 回回 例 43 求图示桁架下弦 5的挠度。设各杆的截面面 积 ， 。 解：虚拟状态如图b所示。 实际状态和虚拟状态所产 生的杆件内力均列在表中， 根据公式： 实际位移状态 虚设力状态 可得所示结点5的挠度为 返返 回回 返返 回回 作业： 第199页 5-4、5-7（a）、5-10 54 图乘法 一、荷载作用下位移计算的简化及其具备的条件 1、杆件多为等截面直杆。 3、MK、MP图形中至少有一个为直线图形。 2、同一杆件EI常为常数。 = P ds EI MM
14、 二、图乘法证明 结论：在满足前述条件下，积分式 之值 等于某一图形 面积A乘以该面积形心所对应的另一直线图 形的纵y0,再除以EI。 第6章 y x o yyo dx dA MP(x) MK(X) x xo B A 返返 回回 几种常见图形的情况： 单位荷载弯矩图由若干直线段组成 时，就应该分段图乘。 两个梯形相乘时，不必找出梯形的 形心，而将一个梯形分解为两个三角 形，然后分别与另一梯形图乘。 返返 回回 均布荷载作用区段的弯矩图与直线 段图乘。 两个图形都呈直线变化，但均含有 不同符号的两部分，图乘时也将其中 一图形分解为三角形。 返返 回回 几种常见图形的面积和形心的位置： (a+l)/3(b+l)/3 A=hl/2 l ab h l/2l/2 h 二次抛物线A=2hl/3 h 3l/4l/4 5l/83l/8 二次抛物线A=hl/3 二次抛物线A=2hl/3 4l/5l/5 h h 三次抛物线A=hl/4 (n+1)l/(n+2)l/(n+2) h n次抛物线A=hl/(n+1) 顶点 顶点 顶点 顶点 顶点 返返 回回 PP aaa 例：求图示梁中点的挠度。 PaPa MP P=1 3a/4 a/2 a/2 P l/2l/2 C 例：求图示梁C点的挠度。 MP Pl C P=1 l/2 l/6 l 6EI Pl 12
