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1、第七节 正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单简单 的三 角形度量问题问题 . 1.利用正、余弦定理求三角形中的边边、角及其面 积问题积问题 是高考考查查的热热点. 2.常与三角恒等变换变换 相结结合，综综合考查查三角形中 的边边与角、三角形形状的判断等. 1.正弦定理 分类类内容 定理 变变形公 式 解决的 问题问题 已知两角和任一边，求其他两边和另一角. 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角. 2.余弦定理 分类类内容 定理 变变形 公式 解决的 问题问题 已知三边,求各角. 已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角. 3、在ABC中，sinAsinB是AB的什
2、么条件？ 2、在ABC中，B30，C120，则则abc _. 1、在ABC中，A= 60 ， ，则则B _. 题型一、利用正、余弦定理解三角形 4、如果等腰三角形的腰长长是底边长边长 的2倍，那么 它的顶顶角的余弦值为值为 . 5、在ABC中，已知a2b2bcc2，则则角A为为 _. 6、在ABC中，B= 45 ， ， 则则 ，C _. 3.三角形中常用的面积积公式 (1)S= =_=_； 7、在ABC中，A60，AB1，AC2，则则SABC 的值为值为 _. 8、在ABC中， 则则SABC _. 题型二、与三角形面积有关的问题 9、(2011山东东高考)在ABC中，内角A，B，C的对对 边边
3、分别为别为 a，b，c.已知 求 的值值； 若cosB= b=2,求ABC的面积积S. 9、方法一:在ABC中，由 及正弦定理可得 即cosAsinB-2cosCsinB=2sinCcosB-sinAcosB， 则cosAsinB+sinAcosB=2sinCcosB+2cosCsinB， sin(A+B)=2sin(C+B)，而A+B+C=，则sinC=2sinA， 即 方法二：在ABC中，由 可得 bcosA-2bcosC=2ccosB-acosB， 由余弦定理可得 整理可得c=2a，由正弦定理可得 由c=2a及cosB= b=2可得 4=c2+a2-2accosB=4a2+a2-a2=4
4、a2,则a=1，c=2， S= 即S= 10、在ABC中，BC=a, AC=b, a, b是方程 =0的两个根，且2cos(A+B)=1, 求:(1) 角C的度 数;(2)AB的长长度;(3)ABC的面积积. 【解析】(1)cosC=cos-(A+B)=-cos(A+B)= C=120. (2)由题设： c2=a2+b2-2abcos120 =a2+b2+ab=(a+b)2-ab= 即AB= (3) 备 考 建 议 在解决三角形问题时还有以下几点容易造成失分,在 备考时要高度关注: (1)忘记或不会应用三角形中的隐含条件. (2)求边、角时,忽略其范围. (3)应用正、余弦定理时计算失误. 另
5、外,要熟练掌握正、余弦定理的几种变形和三角恒 等变换,才能快速正确地解决解三角形问题. 题题型三、利用正、余弦定理判断三角形形状 1、判定三角形形状的两种常用途径 通过过正弦定理和余弦定理，化边为边为 角,利用三角变换变换 得出三 角形内角之间间的关系进进行判断； 利用正弦定理、余弦定理，化角为边为边 ,通过过代数恒等变换变换 ， 求出三条边边之间间的关系进进行判断. 【提醒】在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重 挖掘隐含条件.另外,在变形过程中要注意角A、B、C 的范围对 三角函数值的影响. 11、(2012韶关模拟拟)已知ABC三个内角A、B、C 的对边为对边为 a、b、c,m=(a,cosB),n=(cosA,-b),ab, 已知mn.判断三角形的形状,并说说明理由. 【规范解答】方法一(边化角) mn,mn=0,acosA-bcosB=0. 由正弦定理知, (R为ABC外接圆的半径), a=2RsinA,b=2RsinB. sinAcosA=sinBcosB, sin2A=sin2B. A,B(0,),2A=2B或2A+2B=, 又ab,AB.A+B= 所以ABC是直角三角形. 方法二(角化边) mn,mn=0. acosA-bcosB ba,b2-a20, b2+a2-c2=0,c2=a2+b2, ABC是直角三角形.
