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1、习题答案(一)(40) 第十一章无穷级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十一章 11.1 常数项级数的概念和性质 收敛, 试求其和. 且其和为 所以 解: 1.根据定义判定下列级数的敛散性,若收敛, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 发散.所以 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 所以收敛,且其和为 (4) 解: 由于 所以且其和为 解: 收敛 , 发散. 2.判定下列级数的敛散性 发散. 所以 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解:由于 所以 解: 而调和级数 因此所给级数发散. 所给级数可视为发散的调和级数 11.2 常数项级数的审敛法 1.用比较审敛法(或比较审敛
2、法的极限形式)判别下列 由于 根据级数的性质知 的和, 发散. 解: 发散 , 与收敛的等比级数 级数的敛散性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 解:由于 由比较审敛法知 而发散, 发散. 解: 收敛, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由于 而 由比较审敛法知收敛. 解: 由于 而 由于 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 收敛, 由比较审敛法知收敛. 2. 用比值审敛判别下列级数的敛散性: 解:由于 所以发散. 由比较审敛法的极限形式知发散. 解: 原级数收敛 . 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 原级数收敛 . 3.用根值审敛法判定下列级数的敛散性: 解: 解:
3、 机动 目录 上页 下页 返回 结束 原级数收敛 . 原级数收敛 . 4. 判定下列正项级数的敛散性: 解: 知级数 收敛 . 而 由正项级数的比较审敛法知: 原级数收敛. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解:原级数收敛 . 解: 解: 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 原级数收敛 . 为发散的p级数, 由比较审敛法知原级数发散 . 而 当时,级数收敛. 5.判定下列级数是否收敛.若收敛,是绝对收敛还是 条件收敛 . 这是参数为s的p级数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 当 当 时,级数发散. 时,级数变为 当时,级数收敛.当时,级数发散. 发散. 又 (交错级数)收敛 ,且
4、为条件收敛. 解: 所以原级数绝对收敛 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 所以原级数发散. 11.3幂级数 1.求下列幂级数的收敛域: 解: 收敛区间为: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 收敛半径为: 当 当 时,幂级数变为 时, 幂级数变为 此级数收敛. 此级数也收敛. 幂级数的收敛域为: 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 收敛半径为: 幂级数的收敛域为: 解:令原级数变为 此级数的收敛半径为: 此级数的收敛区间为: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 当 当 时,幂级数变为 时,幂级数变为 此交错级数收敛. 此调和级数发散. 原幂级数的收敛域为: 即有: 解:所给幂
5、级数为非标准幂级数, 当 求收敛半径. 时, 即当 时,所给幂级数收敛. 应使用比值法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 当 当 时,原幂级数变为 时,原幂级数变为 此交错级数收敛. 此交错级数也收敛. 原幂级数的收敛域为: 2. 利用逐项求导(或积分),求下列级数的和函数: 解: 先求所给幂级数的收敛区间.收敛半径为: 设所给幂级数的和函数为 所给幂级数的收敛区间为 即有: 上式两边积分得: 解:先求所给幂级数的收敛区间. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 上式两边求导得: 当 所给幂级数缺偶次幂项, 时, 应使用比值法, 设所给幂级数的和函数为 即有 上式两边求导数得: 上式两边积分得
6、: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 所给幂级数收敛.即当 时, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 先求所给级数的收敛区间. 所给幂级数缺偶次幂项, 解: 并求常数项级数的和. 应使用比值法. 时,即当 时,当 所给幂级数收敛. 设所给幂级数的和函数为 即有 上式两边求导数得: 上式两边积分得: 即有: 上式中令 则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 11.4 函数展开成幂级数 1. 将下列函数展开成 x的幂级数, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 并指出展开式成立的区间 解: 解: 解: 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 2 .将 解: 展开成(x-1)的幂级数. 机
7、动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 将 展开成(x-3)的幂级数. 4.将 展开成(x+4)的幂级数. 解: 得由 机动 目录 上页 下页 返回 结束 即有: 11.7傅里叶级数 它在-,)上的表达 1. 设f (x)是以2为周期的函数 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 式为: (a , b为常数,且a b 0) 试将f (x) 展开成傅里叶级数. 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 设f (x)是以2为周期的函数 , 它在-,)上的表达式为 将f (x)展开
8、成傅里叶级数,讨论收敛情况, 并画出和函数的图形. 解:画函数的图形. 从函数的图形可知函数为奇函数. 则有: 和函数的图形如下: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3 . 将展开成傅里叶级数. 解: 画函数的图形,并作周期延拓. 从图形可看出f (x)为偶函数. 所以 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 4.将 分别展开成正弦级数和余弦级数 解: 画函数的图形,并作周期偶延拓. 则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 再作周期奇延拓,如图示: 则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 11.8 一般周期函数的傅里叶级数 1. 将周期函数f (x)展开成傅里叶级数, 它在一个周期内的表达式为: 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 将函数分别展开成正弦级数 和余弦级数. 解: 画函数的图形. 将函数作偶延拓,如图示.则有: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 将函数作奇延拓,如图示. 则有: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 和函数的图形如下:
