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1、第一节 函数及其特性 一、区间与邻域 二、函数的定义 三、几种特殊的函数 四、复合函数和反函数 五、初等函数及其特性 集合、映射(自己复习) 一、 区间与邻域 开区间 闭区间 以上均为有限区间，还有如下无限区间 半开半闭区间 邻域 叫作邻域 的半径, 记作 把开区间称为a 的左邻域， 把开区间称为a 的右邻域， 因变量自变量 二、函数的概念 D 称为定义域，记作Df ，即 Df = D . 函数值的全体构成的数集称为值域，记为 ： 自变量 因变量 对应法则f 2.函数的两要素:定义域与对应法则. 约定: 定义域是使表达式有意义的自变量能取 的一切实数值. 定义: 如果自变量在定义 域内任取一个
2、数值时， 对应的函数值总是只有 一个，这种函数叫做单 值函数，否则叫做多值 函数 是多值函数 符号函数 x y o 因此 可写作 三、几种特殊的函数 取整函数 y = x, x表示不超过 x 的 阶梯型曲线 最大整数.(取整函数) 狄利克雷(Dirichlet)函数 无理数点 x y o 有理数点 取最值函数 y x o y x o 经分析可得 在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的 式子来表示的函数,称为分段函数. 例1 解 综上，有: 例2 解 四、函数的几种特性 1函数的奇偶性(parity): 偶函数 y xox-x 奇函数 y xox -x 2函数的周期性(periodicit
3、y): （通常说周期函数的周期是指最小正周期）. 例3 解由条件知： 故是周期函数，且是它的一个周期 . 3函数的单调性(monotonicity): x y o x y o M -M y x o y=f(x) X 有界 无界 M -M y x o X 4函数的有界性(bounded): 五、 复合函数和反函数 1、复合函数 定义: 设设函数的定义义域, 而函数 为为的复合函数. 则则称函数在上有定义义， 注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的; 2.复合函数可以由两个以上的函数经过复 合构成. 例3分析以下复合函数复合的层次. 解 是由 和 以及 三个简单函数复合而成. 是由
4、 和以及复合而成. 练习：分析以下复合函数复合的层次. 但直接函数 y = f (x)与 在同一直角 坐标系中是同一曲线. 2 反函数 在同一直角坐标系中，直接函数 y = f (x) 与 反函数 y = (x)的图形关于直线 y = x 对称. *例3 分析 证明 初等函数是由基本初等函数经有限次加、减、乘 、除、乘方、开方和有限次复合运算所得的用一 个式子表示的函数。 以下通过几何直观复习基本初等函数的 有界性、单调性、奇偶性 和周期性. (1) 常值函数 幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反 三角函数统称为基本初等函数. 六、初等函数 （2）幂函数-很重要 （3） 指数函数 -注意与幂函数区别 （4） 对数函数 (logarithmic function) 正弦函数 （5） 三角函数 余弦函数 正切函数 余切函数 正割函数 余割函数 （6） 反三角函数 初等函数 常量函数、幂函数,指数函数,对数函数,三 角函数和反三角函数统称为基本初等函数. 由常数和基本初等函数经过有限次的四则 运算和有限次的函数复合步骤所构成的并可用 一个式子表示的函数，称为初等函数. 思考题 分段函数一定不是初等函数吗？ 解答不一定 考察函数 它是一个分段函数， 根据定义，它是一个初等函数. 练 习 题 一 练 习 题 二 1由函数复合而成的函数为 . 2函数由 复合而成. 练习题答案
