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1、第二章 时域离散信号和系统的 频域分析 2.1 引言 信号、系统 分析时间分布上的特性， 直观，物理概念比较清楚 分析频率分布上的特性， 换个视角观察 时域上分析 频域上分析 FT、ZTIFT、IZT 傅里叶及傅里叶变换 l 傅里叶( Fourier）：一位法国数学 家和物理学家（1768-1830) l 1807年，在法国科学学会上发表了一篇关于描述 温度分布的论文。论文里提出：任何连续周期信 号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。 l 这是一个在当时具有争议性的观点。 傅里叶及傅里叶变换 l 法国科学学会屈服于拉格朗日的威 望，论文未能发表，直到拉格朗日 死后15年才获同意，并发表出来。 l
2、 审稿投票时，拉普拉斯和其 他审稿者同意发表，但拉格 朗日坚决反对。 拉普拉斯 拉格朗日 傅里叶及傅里叶变换 l 在审稿投票之后的近50年的时间里，拉格朗日 坚持认为： 傅里叶的方法，无法表示带有棱角的信号 ，如波形中出现非连续变化斜率的方波，等。 傅里叶及傅里叶变换 l 严格说，拉格朗日是对的： 任意多的正弦曲线，都无法 组合成一个带有棱角的信号。 拉格朗日 傅里叶及傅里叶变换 l 但是，我们可以用若干正弦曲线来非常接近地 表示它，逼近到两种表示方法不存在能量差别 。基于此，傅里叶是对的。 傅里叶 傅立叶变换和傅里叶级数的关系 l 傅里叶级数针对的是周期函数 l 傅里叶变换针对的是非周期函数
3、 傅里叶变换是傅里叶级数的扩展 傅里叶 2.2.1 时域离散信号的傅里叶变换 的定义 定义 为x(n)的傅里叶变换（FT）。 (2.2.1) 设 时域序列 x(n)， 傅里叶 变换核 FT: 数字频率 的函数, 反映了构成 x(n)的频率 为 的谐波的含量。 上式成立的条件，是x(n)绝对可和，即满足下 式： 离散信号的FT 和 模拟信号的FT的比较： 离散信号 FT： 模拟信号 FT： 二者的实质是一样的，都是完成时域 频域的 转换。不同处： 时间变量：n 取整数，求和运算； t 取连续变量，积分运算。 频域变量：是数字频率（连续变量），以2为周期； 是角频率（连续变量），无周期性。 序列x
4、(n)的傅里叶反变换 IFT ： x(n)的IFT，是在-,内对对进进行积积分。 物理意义: 任何一个信号，都可以表示为不同频率 不同幅度的谐波信号的无限叠加。 傅里叶变换，是相应谐波的幅度。 FT的物理意义 x(n) FT 在信号处处理中，我们们常常得到的是一些“各种各 样样”的“复杂信号”。 为为了进进行分析这这些“复杂信号” ，往往采用“类类比 法”，将这这些比较较“复杂信号”与我们们常见见的“简 单信号”来进进行比较较。 傅里叶变换的提出 第一，选选什么信号来作为为 “简单信号”呢？ l 傅立叶选择选择 正弦余弦信号。 l 也可以选选用方波、三角波等。 分解信号的目的，是为为了更加简单
5、简单 地处处理原来 的信号。 用正余弦来表示原信号会更加简单简单 。 傅里叶变换的提出 第二，要进进行比较较，需要一定的衡量标标准，我们们 用什么来作为标为标 准？ l 我们们想知道的是“复杂杂信号”和“简单简单 信号”之间间 存在多大的“相似”，这这就可以通过过考虑这虑这 两个 信号的“相关性”。 l 如果两个信号越相似，相关性越大, 相应应的FT就 越大。 l 计计算“复杂杂信号”与一系列不同频频率的正弦信号 的“相关度”，即得到一系列相应应的FT。 傅里叶变换的提出 于是，傅立叶变换的意义： l 任何一个“复杂杂信号”，都可以采用一系列不同 频频率的正弦信号来表示； l 构成“复杂杂信号
6、”的不同频频率的正弦信号的含量 ，由傅立叶变换变换 的数值值体现现； l 傅立叶变换变换 的数值值，表示“复杂杂信号” 与各不同 频频率的正弦信号的“相关度”。 傅里叶变换的提出 两式的物理意义！ x(n)的FT对对： 例 2.2.1 设x(n)=RN(n)，求x(n)的FT。 解： (2.2.5) r 比对下式： 等比级数 前n项和 把FT写成 幅频特性 =R4(n) 相频特性 设N=4 幅频特性 相频特性 (2.2.1) (2.2.2) (2.2.4) 总结： FT对 FT存在的 充必条件 注意： x(n)是离散序列，而 X(ej)是的连续函数。 2.2.2 周期信号（序列）的离散傅里叶级
7、数 设 是以N为周期的序列，因此能够展成离散 傅里叶级数： 式中，ak是离散傅里叶级数的系数。 为求系数ak ，将上式两边乘以 ，并对n在 一个周期N内求和，得到： (2.2.5) (2/N)k=k 频率k 是离散的 将右边的两个求和号对调，得到： 式中 最后一个等号的证明，可以利用复指数序列的 周期特性进行，即： 因此，只考虑 k = m。此时： 因此得到 上式中,k和n均取整数，当k变化时， 是周期为N 的周期函数，所以 ak 是以N为周期的序列，即 ak=ak+lN 令 ，得到： 这里 是以N为周期的序列，称为 的离散傅里 叶级数系数，用DFS表示： (2.2.7) (2.2.10) 由
8、式(2.2.5) ，得到 这样，就得到了离散傅里叶级数对： 这里 和 均是周期为N的序列。 (2.2.11) 第2式表明： 周期序列 可以分解成N个谐波，第k次谐波频率 为k=(2/N)k， k=0, 1, 2 N-1，幅度为 。 基波分量(k=1)的频率是2/N，幅度是 ； k=0时的谐波频率是多少？表示什么成分？ 例2.2.2 比较序列的FT对和周期序列的DFS对： 的连续函数 积分 k的离散序列， 求和范围是一个周期 求和 2.2.3 周期信号(序列)的FT 1、复指数序列 的FT表达式 在模拟系统中， 的FT，是在 处的一个冲激，强度为2，即： 在离散系统中，对 ，可以假设它的FT 是
9、在 处的一个冲激，强度为2： 这里，考虑了离散信号FT的周期性。 （2.2.17） 周期2 在书中，证明了其IFT唯一地等于 ，所 以这种假设是成立的。 2、一般周期序列 的FT 假设 的周期为N，用DFS来表示，即： 求和号中的每一项，都是复指数序列，其中第k项 的FT，根据（2.2.17），可以表 示为： 因此，周期序列 的FT可以表示成： 如果让k在(-,)变化，上式可以简化为： 该式就是一般周期序列 的FT表达式。 可以吗？ 是周期为N的序列 下面对周期序列 的FT作几点说明： 式中： 1、周期序列不满足序列FT的充要条件,通过引入 ()，从而可以定义其FT； 2、该式反映了周期序列
10、的FT和DFS的关系； 3、要计算出周期序列的FT，应先求DFS，再求FT。 4、周期序列的FT，波形上与DFS相同。 4点说明： 例 2.2.3 设x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为周期，进 行周期延拓，得到周期序列，其FT和DFS: 例2.2.4 令 ， 为有理数，求其FT。 解: 将 用欧拉公式展开为 由 得余弦序列的FT为: 上式表明，余弦信号的FT，是在 处的冲激函数， 强度为，同时以2为周期进行延拓: 对于正弦序列 ， 为有理数，它的FT为 : 归纳： 1、 x(n) 的FT： 2、 的DFS： 3、 的FT为： 基本序列的FT 1、FT的周期性： 2.2.4 时域离散信号
11、FT的性质 1）周期是2。只需分析一个周期； 2）=0附近为为低频频， = 附近为为高频频。 2、时域卷积定理（教材未介绍） 设 y(n) = x(n)*h(n), 则 Y(e j) = X(e j)H(e j) 该定理说明，对于线性时不变系统，在时域 是卷积，在频域是乘积。 求输出，可以在时域用卷积计算，也可以在 频域求出输出的FT，再作逆FT。 3、频域卷积定理： 假设 交换积分的求和次序，我们同样能够得到 该定理表明在时域两序列相乘，转换到频域 服从卷积关系。 此定理亦称为 调制定理 则 4、FT的对称性： 1）共轭对称序列和共轭反对称序列 一般复序列 x(n) ： 复序列中x(n)，有
12、两种序列: 共轭对称序列满足 共轭反对称序列满足 l 共轭对称序列 xe(n)= xer(n) + jxei(n) 将上式两边n用-n代替，并取共轭，得到： x*e(-n)= xer(-n) - jxei(-n) 对比上两式，因为是共轭对称序列，左边相等 ，右边也应相等，因此得到： 实部相等 xer(n) = xer(-n) 虚部相等 j xei(n) = -jxei(-n) 结论：共轭对称序列的实部是偶序列， 虚部是奇序列。 实数的共轭 是其本身 l 共轭反对称序列 xo(n)= xor(n) + jxoi(n) 与前面相同的处理, 可以得到: x*o(-n)= xor(-n) - jxoi
13、(-n) 即： -x*o(-n)=- xor(-n) + jxoi(-n) 实部相等 xor(n) = -xor(-n) 虚部相等 j xoi(n) = jxoi(-n) 结论：共轭反对称序列的实部是奇序列， 虚部是偶序列。 l任意序列可表示成xe(n)和xo(n)之和: 其中： 2）序列FT的对称性质 l 将序列x(n)分为实部和虚部 其实部 的FT ： 将上式右面的加负号，再将右边取共轭，右 边表达式不变。 这说明: 实序列的FT 具有共轭对称性质，用 表示。 用共轭对称和 反对称性质说明 可以证明，虚部 的FT 具有共轭反对称性 质，用 表示。 于是可以写成： 第一对对关系： 第一对对关
14、系： =R4(n) l 将序列x(n)分为共轭对称和共轭反对称两部分， 即 根据 可以证明: 这样 于是，我们能够得到结论: l FT的实部对应序列x(n)的共轭对称部分； l 它的虚部(包括j)对应序列x(n)的共轭反对称部 分。 第二对关系： 找一找例子 归纳1： 归纳 2： FT，得到： 重要结论： 1.我们常遇到的序列x(n)是实序列，只有实部，没 有虚部，因此实序列的FT具有共轭对称性，它的 实部是偶函数，虚部是奇函数。 2.如果实序列x(n)还是偶对称的，其FT应该是实偶 对称函数；实，即其FT没有虚部； 3.如果实序列是奇对称的，那么其FT是纯虚奇对称 的函数，没有实部。 FT对称性质总结 1. 序列实部傅氏变换为共轭对称部分 2. 序列虚部傅氏变换为共轭反对称部分 3. 序列共轭对称分量对应傅氏变换的实部 4. 序列共轭反对称分量对应傅氏变换的虚部(含j ) 5、序列为实序列的情况 实部是的偶函数 虚部是的奇函数 幅度是的偶函数 幅角是的奇函数
