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1、2018届北京市海淀区高三上学期期中考试数学（理）试题（解析版）第一部分（选择题，共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1. 若集合，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为集合，,所以,故选C.2. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】对于A,是偶函数，且在区间上单调递增，符合题意；对于B, 对于既不是奇函数，又不是偶函数，不合题意；对于C, 是奇函数，不合题意；对于D,在区间上单调递减，不合题意，只有合题意，故选A.3. 已知向量，则 （ ）A. B.
2、C. D. 【答案】D【解析】向量错误；错误；错误；， 正确，故选D.4. 已知数列满足，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】根据条件得到：可设， ，故两式做差得到：，故数列的每一项都为0，故D是正确的。A，B，C，都是不正确的。故答案为D。5. 将的图象向左平移个单位，则所得图象的函数解析式为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象,所求函数的解析式为，故选B.6. 设，则“是第一象限角”是“”的 （ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】充分性：若是第
3、一象限角，则, ,可得，必要性：若，不是第三象限角，则是第一象限角，“是第一象限角”是“”的充分必要条件，故选C.【方法点睛】本题通过任意角的三角函数主要考查充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.7. 设（），则下列说法不正确的是 （ ）A. 为上偶函数 B. 为的一个周期C. 为的一个极小值点 D. 在区间上单调递减【答案】D【解析】
4、对于A，为上偶函数，A正确；对于B,为的一个周期,B正确；对于C，), ，,为的一个极小值点,C正确，综上，符合题意的选项为D,故选D.8. 已知非空集合满足以下两个条件：（），；（）的元素个数不是中的元素，的元素个数不是中的元素，则有序集合对的个数为 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】若集合中只有个元素，则集合中只有个元素，则，即，此时有，同理，若集合中只有个元素，则集合中只有个元素，有，若集合中只有个元素，则，即，此时有，同理，若集合中只有个元素，则集合中只有个元素，有，若集合中只有个元素，则集合中只有个元素，则，不满足条件，所以满足条件的有序集合对的个数为 ，故选A.【方法
5、点睛】本题主要考查集合的交集、并集及集合与元素的关系、分类讨论思想的应用. 属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。9. 定积分的值等于_【答案】0【解析】，故答案为.10. 设在海拔（单位：m）处的大气压强（单位：kPa），与的函数关系可近似表示为
6、，已知在海拔1000 m处的大气压强为90 kPa，则根据函数关系式，在海拔2000 m处的大气压强为_ kPa【答案】81【解析】将 代入， ，可得 ，与的函数关系可近似表示为 ，当 时， ，故答案为 .11. 能够说明“设是实数若，则”是假命题的一个实数的值为_【答案】2【解析】因为，故 ， 等号成立的条件为 ，故当 时函数值等于3.此时不满足题干。故答案为2 。点睛：这个题目是考查的均值不等式的条件，首先均值不等式的条件是一正，二定，三相等，积是定值时，和有最小值，和是定值时，积有最大值；故首先要构造出乘积的定值，最终确定等号能否取到。12. 已知是边长为2的正三角形，分别为边，的中点，
7、则 _； 若，则_【答案】 (1). （1） (2). （2）【解析】, ,，故答案为（1）；(2).13. 已知函数（其中，）的部分图象如图所示，则_，_【答案】 (1). (2). 【解析】由图知函数的周期是，又知，时，故答案为(1)；(2).【方法点睛】本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键.求解析时求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，可以先求出的所有的值，再根据题设中的条件，取特殊值即可.14. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，其中 _； 若的值域是，则的取值范围是_【答案】
8、 (1). （1） (2). （2）【解析】函数是定义在上的奇函数,，时，时，时，时，；时，值域为，得，值域为，时可得值域为，或，取值的范围是，故答案为（1）；（2）.三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，验算步骤或证明过程。15. 已知函数（）求的值；（）求在区间上的最大值和最小值【答案】(1)1（2）时，有最大值，时，有最小值【解析】试题分析：（）直接将 代入函数解析式可得 ；（）根据两角和的正弦公式及二倍角公式可得，求出的范围，结合正弦函数的单调性求解即可.试题解析：（）因为 （） 因为， 所以 所以 故 当即时，有最大值当即时，有最小值16. 已知是等比数列，满足，数列满足
9、，且是公差为2的等差数列（）求数列和的通项公式；（）求数列的前项和【答案】(1) ，（2）【解析】试题分析：（）根据，列出关于首项 ，公比 的方程组，解得、的值，即可得数列的通项公式，进而可得的通项公式；（）因为，可以通过分组求和法，利用等差数列与等比数列的求和公式可求得数列的前项和.试题解析：（）设数列的公比为，则 解得， 所以， 令，则 （） .【方法点睛】本题主要考查等比数列的通项公式、等差数列等比数列的求和公式以及分组求和，属于中档题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握
10、等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.17. 已知函数，其中（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）求在区间上的最小值（其中是自然对数的底数）【答案】(1) （2）【解析】试题分析：（）求出，可得切线斜率为 ，再求出的值，利用点斜式即可求出再 处的切线方程；（）对分三种情况讨论：，分别利用导数研究函数的单调性，从而可求得函数在区间上的最小值.试题解析：（）当时， 此时， 故曲线在点处的切线方程为 （）的定义域为 令得，或 当时，对任意的，在上单调递增 当时0极小 当时，对任意的，在上单调递减 由、可知，【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线
11、以及利用导数求函数的最值，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点 出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.18. 如图，在四边形中， ，且为正三角形.（）求的值；（）若，求和的长.【答案】(1) （2）， 【解析】试题分析：（）由，可得，利用两角差的余弦公式可求得的值；（），在和中由余弦定理得 ，解方程组即可的结果.KS5U.KS5U.KS5U.KS5U.KS5U.KS5U.试题解析：（）因为， 所以 所以 （）设，在和中由余弦定理得 代入得 解得或（舍）即，19. 已知函数（），（） （）求的单调区间；（）求证：1是的唯一极小值点；（）若存在，满足，求的取值范围.（只需写出结论）【答案】(1) 单调递增区间为，的单调递减区间为 （2）见解析（3）【解析】试题分析：（）求出， 求得 的范围，可得函数增区间，求得 的范围，可得函数的减区间；（）先求得（），可得，又可证明在定义域内递增，即可证明 是g(x)的唯一极小值点；（）令两函数的值域有交集即可.试题解析：（） 因为
