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1、12020年高考数学立体几何突破性讲练02 空间几何体的表面积和体积一、考点传真：了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.二、知识点梳理：1圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧2rlS圆锥侧rlS圆台侧(rr)l几何体的侧面积是指（各个）侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和.圆台、圆柱、圆锥的转化当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥，由此可得：2空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积S侧2S底VSh锥体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底VSh台体(棱台和
2、圆台)S表面积S侧S上S下V(S上S下)h球S4R2VR3二、常用结论汇总规律多一点几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，若球为正方体的外接球，则2Ra；若球为正方体的内切球，则2Ra；若球与正方体的各棱相切，则2Ra.(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为31.三、例题：例1.（2019全国卷）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体挖去四棱锥OEFGH后所得几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，3D打印所用原料密度为0.9 g/c
3、m3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_.【答案】118.8g【解析】 该模型为长方体，挖去四棱锥后所得的几何体，其中O为长方体的中心，分别为所在棱的中点，所以该模型体积为：，打印所用原料密度因为为，不考虑打印损耗，所以制作该模型所需原料的质量为：例2.（2019天津卷）已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 .【答案】【解析】 由题可知，四棱锥底面正方形的对角线长为2，且垂直相交平分，由勾股定理得，正四棱锥的高为2.因为圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，则圆柱的上
4、底面直径为底面正方形对角线的一半等于1，即半径等于，由相似比可得圆柱的高为正四棱锥高的一半，为1.所以该圆柱的体积为.例3.（2019全国卷）已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，CEF=90，则球O的体积为AB CD【答案】D【解析】由及是边长为2的正三角形可知，三棱锥为正三棱锥，则顶点P在底面的射影O为底面三角形的中心.连接BO并延长，交AC于G，则，又，可得AC平面PBG，则PBAC.因为E，F分别是PA，AB的中点，所以.又，即EFCE，所以PBCE，得PB平面PAC.所以PBPA，PBPC.又因为，是
5、正三角形，所以，故所以正三棱锥的三条侧棱两两互相垂直. 把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，其直径为正方体的体对角线的长度，即, 半径为，则球O的体积为故选D例4.(2018全国卷)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为A B C3 D2【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体为如图所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长16画出该圆柱的侧面展开图，如图所示，连接，则，则从到的路径中，最短路径的长度为故选B图 图例5.(2018全国卷)设，是同一个半径为
6、4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为ABCD 【答案】B【解析】设等边三角形的边长为，则，得设的外接圆半径为，则，解得，所以球心到所在平面的距离，则点到平面的最大距离，所以三棱锥体积的最大值故选B例6.（2017新课标）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A10 B12 C14 D16【答案】B【解析】由题意可知，该几何体是由一个三棱锥和一个三棱柱构成，则表面所有梯形之和为选B例7.（2017新课标）如图，网格纸上小正方形的边长为
7、1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为A B C D【答案】B【解析】解法一 由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为4的圆柱，其体积，上半部分是一个底面半径为3，高为6的圆柱的一半，其体积，故该组合体的体积故选B解法二 该几何体可以看作是高为14，底面半径为3的圆柱的一半，所以体积为选B四、巩固练习：1.已知圆锥的表面积等于12 cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为()A.1 cm B.2 cmC.3 cm D. cm【答案】B【解析】由题意，得S表r2rlr2r2r3r212，解得r24，所以r2(c
8、m).2.圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱的体积比V球V柱为()A.12 B.23C.34 D.13【答案】B【解析】设球的半径为R，则.3如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为()A4 B8C16 D20【答案】B【解析】由三视图知，此几何体是一个三棱锥，底面为一边长为6，高为2的三角形，三棱锥的高为4，所以体积为V6248.故选B.4正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥AB1DC1的体积为()A3 B.C1 D.【答案】C【解析】由题意可知ADBC，由面面垂直的性质定理可得AD平面DB1C1，又AD2sin 60，所以VAB1
9、DC1ADSB1DC121，故选C.5如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A20 B24C28 D32【答案】C【解析】设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆锥母线长为l，圆柱高为h.由图得r2，c2r4，h4，由勾股定理得：l4，S表r2chcl416828.6.如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE，BCF均为正三角形，EFAB，EF2，则该多面体的体积为()A. B. C. D.【答案】A【解析】如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，容易求得EGHF，AGGDBHHC，取AD的中点O，连接GO，易得
10、GO，SAGDSBHC1，多面体的体积VV三棱锥EADGV三棱锥FBCHV三棱柱AGDBHC2V三棱锥EADGV三棱柱AGDBHC21.故选A.7.如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥AB1DC1的体积为()A.3 B.C.1 D.【答案】C【解析】如题图，在正ABC中，D为BC中点，则有ADAB，又平面BB1C1C平面ABC，平面BB1C1平面ABCBC，ADBC，AD平面ABC，由面面垂直的性质定理可得AD平面BB1C1C，即AD为三棱锥AB1DC1的底面B1DC1上的高，VAB1DC1SB1DC1AD21.8.某几何体的三视图如图所示，则该
11、几何体的体积为()A.8 B.4C.84 D.4【答案】A【解析】该几何体为一个半圆柱中间挖去一个四面体，体积V2242448.9.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为（ ） 题图 解答图 A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意作图如右，与是全等的直角三角形，其中，故，是等腰直角三角形，故，是等腰三角形，故点到的距离，故，故表面积.故选B.10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为()A.25 B.26 C.32 D.36【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是以俯视图的图形为底面，一条侧棱与底面垂直的三棱锥.如图，三棱锥ABCD即为该几何体，且ABBD
12、4，CD2，BC2，则BD2BC2CD2，即BCD90，故底面外接圆的直径2rBD4.易知AD为三棱锥ABCD的外接球的直径.设球的半径为R，则由勾股定理得4R2AB24r232，故该几何体的外接球的表面积为4R232.11.已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的所有棱中，最短的棱其长为( )A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C【解析】由三视图可知圆几何体是长方体中的三棱锥，其中为所在棱的中点.从图中可以看出棱最短，因为，所以最短的棱长为.故选C.12.用长度分别为2，3，5，6，9(单位：cm)的五根木棒连接(只允许连接，不允许折断)，组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体
13、的最大表面积为()A.258 cm2 B.414 cm2C.416 cm2 D.418 cm2【答案】C【解析】设长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为a，b，c，则长方体的表面积S2(abbcac)(ab)2(bc)2(ac)2，当且仅当abc时上式“”成立.由题意可知，a，b，c，不可能相等，故当a，b，c的大小最接近时，长方体的表面积最大，此时从同一顶点出发的三条棱的长为8，8，9，用长度为2，6的木棒连接，长度为3，5的木棒连接各为一条棱，长度为9的木棒为第三条棱，组成长方体，此时能够得到的长方体的最大表面积为2(888989)416(cm2).13.如图，三棱柱ABCA1B1C1的体积为1，P为侧棱B1B上的一点，则四棱锥PACC1A1的体积为_.【答案】【解析】设点P到平面ABC、平面A1B1C1的距离分别为h1，h2，则棱柱的高为hh1h2，又记S
