人教版 初三数学竞赛专题:平面几何的定值问题(含答案)

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1、人教版 初三数学竞赛专题:平面几何的定值问题(含答案)【例1】 如图,已知P为正方形ABCD的外接圆的劣弧上任意一点.求证:为定值. 【例2】 如图,AB为O的一固定直径,它把O分成上、下两个半圆,自上半圆上一点C作弦CDAB,OCD的平分线交O于点P,当点C在上半圆(不包括A,B两点)上移动时,点P( ) A.到CD的距离保持不变 B.位置不变 C.等分 D.随C点的移动而移动 【例3】 如图,定长的弦ST在一个以AB为直径的半圆上滑动,M是ST的中点,P是S对AB作垂线的垂足.求证:不管ST滑到什么位置,SPM是一定角. 【例4】 如图,扇形OAB的半径OA=3,圆心角AOB=90.点C是

2、上异于A,B的动点,过点C作CDOA于点D,作CEOB于点E.连接DE,点G,H在线段DE上,且DG=GH=HE.(1)求证:四边形OGCH是平行四边形;(2)当点C在上运动时,在CD,CG,DG中,是否存在长度不变的线段?若存在,请求出该线段的长度;(3)求证:CD2+3CH2是定值. 【例5】 如图1,在平面直角坐标系xOy中,点M在x轴的正半轴上,M交x轴于A,B两点,交y轴于C,D两点,且C为弧AE的中点,AE交y轴于G点.若点A的坐标为(-2,0),AE=8.(1)求点C的坐标;(2)连接MG,BC,求证:MGBC;(3)如图2,过点D作M的切线,交x轴于点P.动点F在M的圆周上运动

3、时,的比值是否发 生变化?若不变,求出比值;若变化,说明变化规律. (图1) (图2)【例6】 如图,已知等边ABC内接于半径为1的圆O,P是O上的任意一点.求证:PA2+PB2+PC2为定值. 【能力训练】1.如图,点A,B是双曲线上的两点,分别经过A,B两点向x轴,y轴作垂线段.若S阴影=1,则_. (第1题图) (第3题图) (第4题图)2.从等边三角形内一点向三边作垂线段,已知这三条垂线段的长分别为1,3,5,则这个等边三角形的面积是_.3.如图,OA,OB是O任意两条半径,过B作BEOA于E,又作OPAB于P,则定值OP2+EP2为_.4.如图,在菱形ABCD中,ABC=120,F是

4、DC的中点,AF的延长线交BC的延长线于点E,则直线BF与直线DE所夹的锐角的度数为( )A.30 B.40 C.50 D.605.如图,在O中,P是直径AB上一动点,在AB同侧作AB,且=AP,=BP.连接,当点P从点A移动到点B时,的中点的位置( )A在平分AB的某直线上移动 B.在垂直AB的某直线上移动C.在弧AMB上移动 D.保持固定不移动 (第5题图) (第6题图)6.如图,A,B是函数图象上的两点,点C,D,E,F分别在坐标轴上,且分别与点A,B,O构成正方形和长方形.若正方形OCAD的面积为6,则长方形OEBF的面积是( )A.3 B.6 C.9 D.127.(1)经过O内或O外

5、一点P作两条直线交O于A,B和C,D四点,得到如图所表示的六种不同情况.在六种不同情况下,PA,PB,PC,PD四条线段之间在数量上满足的关系式可以用同一个式子表示出来.请你首先写出这个式子,然后只就如图所示的圆内两条弦相交的一般情况给出它的证明.(2)已知O的半径为一定值r,若点P是不在O上的一个定点,请你过点P任作一直线交O于不重合的两点E,F. PEPF的值是否为定值?为什么?由此你发现了什么结论?请你把这一结论用文字叙述出来.8.在平面直角坐标系中,边长为2的正方形OABC的两顶点A,C分别在y轴,x轴的正半轴上,点O在原点,现将正方形OABC绕O点顺时针旋转,当A点第一次落在直线上时

6、停止旋转.旋转过程中,AB边交直线于点M,BC边交x轴于点N.(1)求OA在旋转过程中所扫过的面积;(2)旋转过程中,当MN与AC平行时,求正方形OABC旋转度数;(3)设MBN的周长为P,在正方形OABC旋转的过程中,P值是否有变化?请证明你的结论.9.如图,AB是半圆的直径,ACAB,AC=AB.在半圆上任取一点D,作DECD,交直线AB于点E,BFAB,交线段AD的延长线于点F.(1)设弧AD是x的弧,若要点E在线段BA的延长线上,则x的取值范围是_.(2)不论点D取在半圆的什么位置,图中除ABAC外,还有两条线段一定相等.指出这两条相等的线段,并予证明. (第9题图) (第10题图)

7、(第11题图)10.如图,内接于O的四边形ABCD的对角线AC与BD垂直相交于点K,设O的半径为R.求证:(1)是定值;(2)是定值.11.如图,设P是正方形ABCD外接圆劣弧弧AB上的一点,求证:的值为定值.1. 等腰ABC的底边BC为定长2,H为ABC的垂心.当顶点A在保持ABC为等腰三角形的情况下 改变位置时,面积SABCSHBC的值保持不变,则SABCSHBC=_.2.已知A,B,C,D,E是反比例函数(x0)图象上五个整数点(横、纵坐标均为整数),分别过这些点向横轴或纵轴作垂线段,以垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧,组成如图所示的五个橄榄形(阴影部分),则这五个橄榄

8、形的面积总和是_(用含的代数式表示).3.如图,将六边形ABCDEF沿直线GH折叠,使点A,B落在六边形ABCDEF的内部,记CDEF,则下列结论一定正确的是( ) A. 129002 B. 1210802 C. 12720 D. 12360(第3题图) (第4题图)4.如图,正ABO的高等于O的半径,O在AB上滚动,切点为T,O交AO,BO于M,N,则弧MTN( ) A.在0到30变化 B.在30到60变化 C.保持30不变 D.保持60不变5.如图,AB是O的直径,且AB=10,弦MN的长为8.若MN的两端在圆上滑动时,始终与AB相交,记点A,B到MN的距离分别为h1,h2,则h1-h2等

9、于( ) A.5 B.6 C.7 D.8(第5题图) (第6题图)6.如图,已知ABC为直角三角形,ACB=90,AC=BC,点A,C在x轴上,点B坐标为(3,m)(m0),线段AB与y轴相交于点D,以P(1,0)为顶点的抛物线过点B,D.(1)求点A的坐标(用m表示)(2)求抛物线的解析式;(3)设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点,连接PQ并延长交BC于点E,连接BQ并延长交AC于点F.试证明:FC(AC+EC)为定值.7.如图,已知等边ABC内接于圆,在劣弧AB上取异于A,B的点M.设直线AC与BM相交于K,直线CB与AM相交于点N.证明线段AK和BN的乘积与M点的选择无关. (第7题

10、图) (第8题图)8.如图,设H是等腰三角形ABC两条高的交点,在底边BC保持不变的情况下让顶点A至底边BC的距离变小,这时乘积SABCSHBC的值变小、变大,还是不变?证明你的结论.9.如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线与x轴的交点为点A,与y轴的交点为点B.过点B作x轴的平行线BC,交抛物线于点C,连接AC.现有两动点P,Q分别从O,C两点同时出发,点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动,点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动.点P停止运动时,点Q也同时停止运动.线段OC,PQ相交于点D,过点D作DEOA,交CA于E,射线QE交x轴于点F.设动点P,Q移动的时间为t(单位:秒).

11、(1)求A,B,C三点的坐标和抛物线的顶点坐标;(2)当t为何值时,四边形PQCA为平行四边形?请写出计算过程;(3)当时,PQF的面积是否总是定值?若是,求出此值;若不是,请说明理由;(4)当t为何值时,PQF为等腰三角形,请写出解答过程.(第9题图) (第10题图)10.已知抛物线C1:,点F(1,1).(1)求抛物线C1的顶点坐标;(2)若抛物线C1与y轴的交点为A,连接AF,并延长交抛物线C1于点B,求证:.(3)抛物线C1上任意一点P(xP,yP)(0xP1),连接PF,并延长交抛物线C1于点Q(xQ,yQ),试判断是否成立?请说明理由.11.已知A,B是平面上的两个顶点,C是位于A

12、B一侧的一个动点,分别以AC,BC为边在ABC外作正方形ACDE和正方形BCFG.求证:不论C在直线AB同一侧的任何位置,EG的中点P的位置不变.参考答案例1 延长PC至E,使CEAP,连结BE,则BCEBAP,及PBE为等腰直角三角形,故 例2 B 提示:连结AC,BC,可以证明P为的中点 例3 SPOP,OMST,S,M,O,P四点共圆,于是SPMSOMSOT为定角 例4 (1)连结OC交DE于M,则OMCM, EMDM,而DG HE,则HMGM故四边形OGCH是平行四边形 (2)DG不变DEOCOA3 .DGDE31 (3)设CDx,延长OG交CD于N,则CNDN x, , .,而ONCH,故CD23

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