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1、第一讲 一笔画问题小朋友们，你们能把下面的图形一笔画出来吗？如果用笔在纸上连续不断又不重复，一笔画成某种图形，这种图形就叫一笔画。那么是不是所有的图形都能一笔画成呢？这一讲我们就一起来学习一笔画的规律。典型例题例【1】 下面这些图形，哪个能一笔画？哪个不能一笔画？（1） （2） （3） （4）分析 图（1）一笔画出，可以从图中任意一点开始画该图，画到同一点结束。经过尝试后，可以发现图（2）不能一笔画出。图（3）不是连通的，显然也不能一笔画出。图（4）也可以一笔画出，且从任何一点出发都可以。通过观察，我们可以发现一个几何图形中和一点相连通的线的条数不同。由一点发出有偶数条线，那么这个点叫做偶点。
2、相应的，由一点出发有奇数条数，则这个点叫做奇点。再看图（1）、（4），其中每一点都是偶点，都可以一笔画，且可以从任意一点画起。而图（2）有4个奇点，2个偶点，不能一笔画成。这样我们发现，一个图形能否一笔画和这个图形奇点，偶点的个数有某种联系，到底存在什么样的关系呢，我们再看一个例题。例【2】 下面各图能否一笔画成？（1） （2） （3）分析 图（1）从任意一点出都可以一笔画成，因为它的每一个点都是与两条线相连的偶点。关于图（2），经过反复试验，也可找到画法：由A B C A D C。图中B、D为偶点，A、C为奇点，即图中有两个奇点，两个偶点。要想一笔画，需从奇点出发，回到奇点。经过尝试，图（3
3、）无法一笔画成，而图中有4个奇点，5个偶点。解 图（1）、（2）可以一笔画。 这样我们可以发现能否一笔画和奇点、偶点的数目有着紧密的关系。如果图形只有偶点，可以以任意一点为起点，一笔画出。如果只有两个奇点，也可以一笔画出，但必须从奇点出发，由另一点结束。 如果图形的奇点个数超过两个，则图形不能一笔画出。例【3】 下面的图形，哪些能一笔画出？哪些不能一笔画出？分析 图（1）有两个奇点，两个偶点，可以一笔画，须由A开始或由B开始到B结束或到A结束。图（2）有10个奇点，大于2，不能一笔画成。图（3）有4个奇点，1个偶点，因此也不能一笔画成。解 图（1）的画法见下图。AOBCD（1）例【4】 下图中
4、，图（1）至少要画几笔才能画成？ 分析 图（1）有4个奇点，所以不能一笔画出。如果把它分成几个部分，而每个部分是一笔画图形，则我们就可以用最少的几笔画出这个图形。按照这样的要求，每个部分最多含有两个奇点，可以采用再两个奇点之间增加一条或者去掉一条线的方法，该奇点就变成偶点。经观察，图（1）可以切分成图（A）、（B）两个图形。这两部分都可以一笔画出，所以图（1）至少用两笔画出。解 将图（1）分成图（A）、（B），则图（A）可由A-B-O-D-A-C-D一笔画成，图（B）由B-C一笔画成，所以图（1）至少要两笔画完。ABCD（1）AOBCD（A）BC（B）O小结 能否一笔画成，关键在于判别奇点、偶点的个数。一、 只有偶点，可以一笔画，并且可以以任意一点作为起点。二、 只有两个奇点，可以一笔画，但必须以这两个奇点分别作为起点和终点。三、 奇点超过两个，则不能一笔画。对于一些比较复杂的路线问题，可以先转化为简单的几何图形，然后根据判定是否能一笔画的方法进行解答。
