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1、【2013年中考攻略】专题18：动态几何之和差问题探讨动态题是近年来中考的的一个热点问题，动态包括点动、线动和面动三大类，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。常见的题型包括最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。前面我们已经对最值问题、面积问题进行了探讨，本专题对和差问题进行探讨。结合2011年和2012年全国各地中考的实例，我们从四方面进行动态几何之和差问题的探讨：（1）静态和差问题；（2）和差为定值问题；（3）和差最大问题；（4）和差最小问题。一、静态和差问题：典型例题：例1：（2012海南省3分）如图，在ABC中，B与
2、C的平分线交于点O. 过O点作DEBC，分别交AB、AC于D、E若AB=5，AC=4，则ADE的周长是 .【答案】9。【考点】角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定。【分析】OB是B的平分线，DBO=OBC。 又DEBC，OBC =BOD。DBO=BOD。DO=DB。 同理，EO=EC。 又AB=5，AC=4， ADE的周长=ADDEAE=ADDOEOAE=ADDBECAE=ABAC=54=9。例2：（2012湖北荆门3分）如图，已知正方形ABCD的对角线长为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为【 】A 8 B 4 C 8 D 6【答案】C。【考点】翻折变换（折叠问
3、题），折叠的对称性质，正方形的性质，勾股定理。【分析】如图，正方形ABCD的对角线长为2，即BD=2，A=90，AB=AD，ABD=45，AB=BDcosABD=BDcos45=2。AB=BC=CD=AD=2。由折叠的性质：AM=AM，DN=DN，AD=AD，图中阴影部分的周长为AM+BM+BC+CN+DN+AD=AM+BM+BC+CN+DN+AD=AB+BC+CD+AD=2+2+2+2=8。故选C。例3：（2012四川内江3分）如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A1、D1处，则阴影部分图形的
4、周长为【 】A.15 B.20 C.25 D.30【答案】D。【考点】翻折变换（折叠问题），矩形和折叠的性质。【分析】根据矩形和折叠的性质，得A1E=AE，A1D1=AD，D1F=DF，则阴影部分的周长即为矩形的周长，为2（10+5）=30。故选D。例4：（2012山东枣庄3分）如图：矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为【 】A、14 B、16 C、20 D、28 【答案】D。【考点】平移的性质，勾股定理。【分析】由勾股定理，得AB=，将五个小矩形的所有上边平移至AD，所有下边平移至BC，所有左边平移至AB，所有右边平移至CD，五个小矩形的周长之和=2（AB+
5、CD）=2（6+8）=28。故选D。例5：（2012湖北武汉3分）在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F，若AB5，BC6，则CECF的值为【 】A11 B11C11或11 D11或1【答案】C。【考点】平行四边形的性质和面积，勾股定理。【分析】依题意，有如图的两种情况。设BE=x，DF=y。 如图1，由AB5，BE=x，得。 由平行四边形ABCD的面积为15，BC6，得， 解得（负数舍去）。 由BC6，DF=y，得。由平行四边形ABCD的面积为15，AB5，得， 解得（负数舍去）。 CECF=（6）（5）=11。 如图2，同理可得BE
6、= ，DF=。 CECF=（6）（5）=11。 故选C。例6：（2012山东枣庄8分）已知：如图，在四边形ABCD中，ABC90，CDAD，AD2CD22AB2（1）求证：ABBC；（2）当BEAD于E时，试证明：BEAECD【答案】解：（1）证明：连接AC。ABC90，AB2BC2AC2。CDAD，AD2CD2AC2。AD2CD22AB2，AB2BC22AB2。ABBC。（2）证明：过C作CFBE于F。BEAD，四边形CDEF是矩形。CDEF。ABEBAE90，ABECBF90，BAECBF。又ABBC，BEACFB，BAECBF（AAS）。AEBF。BEBFEF AECD。【考点】勾股定理
7、，矩形的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】（1）题目中存在直角，垂直，含线段平方的等式，因此考虑连接AC，构造直角三角形，利用勾股定理证明。（2）可采用“截长”法证明，过点C作CFBE于F，易证CD=EF，只需再证明AE=BF即可，这一点又可通过全等三角形获证.例7：（2012内蒙古呼和浩特7分）如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上任意一点，DEAG于E，BFDE，交AG于F（1）求证：AFBF=EF；（2）将ABF绕点A逆时针旋转，使得AB与AD重合，记此时点F的对应点为点F，若正方形边长为3，求点F与旋转前的图中点E之间的距离【答案】（1）证明：如图，正方形ABCD，AB=AD
8、，BAD=BAG+EAD=90。 DEAG，AED=90。EAD+ADE=90。ADE=BAF。又BFDE，AEB=AED=90。在AED和BFA中，AEB=AED，ADE=BAF，AD = AB。AEDBDA（AAS）。BF=AE。AFAE=EF，AFBF=EF。（2）解：如图，根据题意知：FAF=90，DE=AF=AF，FAE=AED=90，即FAE+AED=180。AFED。四边形AEDF为平行四边形。又AED=90，四边形AEDF是矩形。EF=AD=3。点F与旋转前的图中点E之间的距离为3。【考点】正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质。【分析】（1）由四边
9、形ABCD为正方形，可得出BAD为90，AB=AD，进而得到BAG与EAD互余，又DE垂直于AG，得到EAD与ADE互余，根据同角的余角相等可得出ADE=BAF，利用AAS可得出三角形ABF与三角形ADE全等，利用全等三角的对应边相等可得出BF=AE，由AFAE=EF，等量代换可得证。（2）将ABF绕点A逆时针旋转，使得AB与AD重合，记此时点F的对应点为点F，连接EF，如图所示，由旋转的性质可得出FAF为直角，AF=AF，由（1）的全等可得出AF=DE，等量代换可得出DE=AF=AF，再利用同旁内角互补两直线平行得到AF与DE平行，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可得出AEDF为平
10、行四边形，再由一个角为直角的平行四边形为矩形可得出AEDF为矩形，根据矩形的对角线相等可得出EF=AD，由AD的长即可求出EF的长。例8：（2012重庆市10分）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作MECD于点E，1=2（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME【答案】解：（1）四边形ABCD是菱形，ABCD。1=ACD。 1=2，ACD=2。MC=MD。MECD，CD=2CE。CE=1，CD=2。BC=CD=2。（2）证明：F为边BC的中点，BF=CF=BC。CF=CE。在菱形ABCD中，AC平分BCD，ACB=ACD。在CEM和C
11、FM中，CE=CF，ACB=ACD，CM=CM，CEMCFM（SAS），ME=MF。延长AB交DF于点G，ABCD，G=2。1=2，1=G。AM=MG。在CDF和BGF中，G=2，BFG=CFD，BF=CF，CDFBGF（AAS）。GF=DF。由图形可知，GM=GF+MF，AM=DF+ME。【考点】菱形的性质，平行的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质。【分析】（1）根据菱形的对边平行可得ABD，再根据两直线平行，内错角相等可得1=ACD，所以ACD=2，根据等角对等边的性质可得CM=DM，再根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=DE，然后求出CD的长度，即为菱形的边长BC的长
12、度。（2）先利用SAS证明CEM和CFM全等，根据全等三角形对应边相等可得ME=MF，延长AB交DF于点G，然后证明1=G，根据等角对等边的性质可得AM=GM，再利用AAS证明CDF和BGF全等，根据全等三角形对应边相等可得GF=DF，最后结合图形GM=GF+MF即可得证。例9：（2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）如图，线段AC=n+1（其中n为正整数），点B在线段AC上，在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，连接AM、ME、EA得到AME当AB=1时，AME的面积记为S1；当AB=2时，AME的面积记为S2；当AB=3时，AME的面积记为S3；当AB=n时，AME的面积记
13、为Sn当n2时，SnSn1= 例10：（2012贵州铜仁4分）如图，在ABC中，ABC和ACB的平分线交于点E，过点E作MNBC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为【 】A6B7C8D9【答案】D。【考点】角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质。【分析】ABC、ACB的平分线相交于点E，MBE=EBC，ECN=ECB，MNBC，EBC=MEB，NEC=ECB。MBE=MEB，NEC=ECN。BM=ME，EN=CN。MN=ME+EN，即MN=BM+CN。BM+CN=9MN=9。故选D。例11：（2012广东梅州3分）如图，在折纸活动中，小明制作了一张ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将ABC沿着DE折叠压平，A与A重合，若A=75，则1+2=【 】A150B210C105D75【答案】A。【考点】翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理。【分析】ADE是ABC翻折变换而成，AED=AED，ADE=ADE，A=A=75。AED+ADE=AED+ADE=18075=105，1
