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1、中考总复习：圆综合复习知识讲解（基础）【考纲要求】1.圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明定会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现；2.今后的中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活【知识网络】【考点梳理】考点一、圆的有关概念1. 圆的定义如图所示，有两种定义方式：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆固定的端点O叫做圆心，以O为圆心的圆记作O，线段OA叫做半径；圆是到定
2、点的距离等于定长的点的集合要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小2.与圆有关的概念 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如上图所示线段AB，BC，AC都是弦 直径：经过圆心的弦叫做直径，如AC是O的直径，直径是圆中最长的弦弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，如曲线BC、BAC都是O中的弧，分别记作， 半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆，如是半圆 劣弧：像这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧 优弧：像这样大于半圆周的圆弧叫做优弧 同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形 等圆：能够重合的两个圆叫做等圆 等弧：在同圆或等圆
3、中，能够互相重合的弧叫做等弧 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如上图中AOB，BOC是圆心角 圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角，如上图中BAC、ACB都是圆周角考点二、圆的有关性质1.圆的对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条圆是中心对称图形，圆心是对称中心，又是旋转对称图形，即旋转任意角度和自身重合2.垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧如图所示： 要点诠释：在图中(1)直径CD，(2)CDAB，(3)AMMB，(4)，(5)若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立因此，垂
4、径定理也称“五二三定理”即知二推三 注意：(1)(3)作条件时，应限制AB不能为直径3.弧、弦、圆心角之间的关系 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等； 在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等4.圆周角定理及推论 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 圆周角定理的推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中考点三、与圆有关的位置关系1.点与圆的位置关系如图所示d表示点到圆心的距离，r为圆的半径点和圆的位置关系如下表
5、：点与圆的位置关系d与r的大小关系点在圆内dr点在圆上dr点在圆外dr 要点诠释：(1)圆的确定：过一点的圆有无数个，如图所示过两点A、B的圆有无数个，如图所示经过在同一直线上的三点不能作圆不在同一直线上的三点确定一个圆如图所示 (2)三角形的外接圆经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心这个三角形叫做这个圆的内接三角形三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线交点它到三角形各顶点的距离相等，都等于三角形外接圆的半径如图所示2.直线与圆的位置关系设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表 圆的
6、切线 切线的定义：和圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线这个公共点叫切点 切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线友情提示：直线l是O的切线，必须符合两个条件：直线l经过O上的一点A；OAl切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径 切线长定义：我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角 三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三个内角平分线的交点要点诠
7、释：找三角形内心时，只需要画出两内角平分线的交点三角形外心、内心有关知识比较3.圆与圆的位置关系在同一平面内两圆作相对运动，可以得到下面5种位置关系，其中R、r为两圆半径(Rr)d为圆心距要点诠释：相切包括内切和外切，相离包括外离和内舍其中相切和相交是重点 同心圆是内含的特殊情况 圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解 “r1r2”时，要特别注意，r1r2考点四、正多边形和圆1.正多边形的有关概念 正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫正多边形的中心外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，这个角叫正多边形的中心角，正多边形的每一
8、个中心角都等于要点诠释：通过中心角的度数将圆等分，进而画出内接正多边形，正六边形边长等于半径2.正多边形的性质 任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两圆是同心圆正多边形都是轴对称图形，偶数条边的正多边形也是中心对称图形，同边数的两个正多边形相似，其周长之比等于它们的边长(半径或边心距)之比3.正多边形的有关计算 定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形正n边形的边长a、边心距r、周长P和面积S的计算归结为直角三角形的计算，考点五、圆中的计算问题 1.弧长公式：，其中为n的圆心角所对弧的长，R为圆的半径2.扇形面积公式：，其中圆心角所对的扇形的面积，另外3.圆锥
9、的侧面积和全面积： 圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长 圆锥的全面积是它的侧面积与它的底面积的和要点诠释：在计算圆锥的侧面积时要注意各元素之间的对应关系，千万不要错把圆锥底面圆半径当成扇形半径考点六、求阴影面积的几种常用方法 (1)公式法；(2)割补法；(3)拼凑法；(4)等积变形法；(5)构造方程法【典型例题】类型一、圆的有关概念及性质1 （2015石景山区一模）如图，A，B，E为0上的点，O的半径OCAB于点D，若CEB=30，OD=1，则AB的长为（）AB4C2D6【思路点拨】连接OB，由垂径定理可知，AB=2BD，由圆周角定理可得，COB=
10、60，在RtDOB中，OD=1，则BD=1tan60=，故AB=2【答案】C；【解析】连接OB，AB是O的一条弦，OCAB，AD=BD，即AB=2BD，CEB=30，COB=60，OD=1，BD=1tan60=，AB=2，故选C【总结升华】弦、弦心距，则应连接半径，构造基本的直角三角形是垂径定理应用的主要方法 举一反三：【变式】如图，O的直径CD=5cm，AB是O的弦，ABCD，垂足为M，OM：OD=3：5则AB的长是（） A、2cmB、3cmC、4cmD、2cm【答案】 解：连接OA，CD是O的直径，AB是O的弦，ABCD，AB=2AM，CD=5cm，OD=OA=CD=5=cm，OM：OD=
11、3：5，OM=OD=，在RtAOM中，AM =2，AB=2AM=22=4cm故选C类型二、与圆有关的位置关系2如图所示，已知AB为O的直径，直线BC与O相切于点B，过A作ADOC交O于点D，连接CD (1)求证：CD是O的切线； (2)若AD2，直径AB6，求线段BC的长【思路点拨】要证明DC是O的切线，因为点D在O上，所以连接交点与圆心证垂直即可【答案与解析】(1)证明：如图(2)，连接OD ADOC， 13，2A， OAOD， 3A， 12 ODOB，OCOC CODCOB， CDOCBO90， CD是O的切线 (2)解：连接BD， AB是O的直径， ADB90在DAB和BOC中， ADB
12、OBC，A2， DABBOC， ， 在RtDAB中，由勾股定理得 【总结升华】如果已知直线经过圆上一点，那么连半径，证垂直；如果已知直线与圆是否有公共点在条件中并没有给出，那么作垂直，证半径举一反三：【变式】如图所示，已知CD是ABC中AB边上的高，以CD为直径的O分别交CA、CB于点E、F，点G是AD的中点求证：GE是O的切线【答案与解析】证法1：连接OE、DE(如图(1) CD是O的直径， AEDCED90 G是AD的中点， EGADDG 12 OEOD， 34 1+32+4，即OEGODG90 GE是O的切线证法2：连接OE、ED(如图(2)在ADC中，ADC90， A+ACD90又 C
13、D是O的直径， AEDCED90在AED中，AED90，G是AD中点， AGGEDG， AAEG又 OEOC， OECACD又 A+ACD90， AEG+OEC90 OEG90， OEEG GE是O的切线类型三、与圆有关的计算3在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为5cm的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应有多大？问题提出后，同学们经过讨论，大家觉得本题实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能盖住时的最小直径老师将同学们讨论过程中探索出的三种不同摆放类型的图形画在黑板上，如下图所示：（1）通过计算（结果保留根号与）（）图能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为 cm；（）图能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为
