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1、1 北京四中北京四中 20182018 届上学期高三年级期中考试数学试卷(文科)届上学期高三年级期中考试数学试卷(文科) (试卷满分:(试卷满分:150150 分分 考试时间:考试时间:120120 分钟)分钟) 一、选择题共一、选择题共 8 8 小题,每小题小题,每小题 5 5 分,共分,共 4040 分,在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要分,在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要 求的一项。求的一项。 1. 已知集合,那么等于 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】集合 ,根据集合的并集的概念得到等于 。 故答案为:B。 2. 若,则 A. B. C. D. 【答案】C 【解
2、析】试题分析:,故选 C. 考点:二倍角公式 3. 已知向量 a,b 满足,则 A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】由条件知,。 故答案为:C。 4. 设,则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】试题分析:由函数的单调性可知由单调性可知,由函数 单调性可知,所以有,故选 B 考点:函数单调性比较大小 5. 已知,则是的 2 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】已知,。根据向量平行的坐标表示得到 故是的充分不必要条件。 故答案为:A。 6. 函数的图象如图所示,则的解析式可以为 A. B. C. D.
3、 【答案】C 【解析】因为,故当时,的符号不确定,因此不单调,即答案 A 不 正确;对于答案 B,因,故函数 是递减函数,但函数有两个零点, 则答案 B 不正确;对于答案 D,因时,无零点,故答案不正确;而,故函 数在时,是单调递减函数,当时,函数也单调递减函数,应选答案 C。 点睛:解答本题的关键是搞清楚函数的图像的变化情况与题设的要求,将每一个函数解析式 的导数求出,再运用比较对比的方法将函数的解析式选出,从而使得问题获解。 7. 实数 x,y 满足则的最小值为 3 A. 15 B. 3 C. -3 D. -15 【答案】C 【解析】根据不等式组画出可行域,如图: 目标函数可化简为:,根据
4、图像得到当目标函数过点(-3,3)时候,目标函数有最小值,代入得 到 z=-3. 故得到答案为:C。 点睛:这个题目考查的是较为简单的线性规划问题;需要注意的是线规问题,可行域中的线是实线还是虚 线,目标函数是什么模型,常见的有形如这个函数的截距型,还有面积型,距离型,斜率型等,注意最值 能否取倒。 8. 设函数的定义域 D,如果存在正实数 m,使得对任意,都有,则称为 D 上的“m 型增函数” ,已知函数是定义在 R 上的奇函数,且当时,。若为 R 上的“20 型增函数” ,则实数 a 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】试题分析:由已知得 f(x)=,f(x+20)f
5、(x) ,由此能求出实数 a 的取 值范围 解:函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x0 时,f(x)=|xa|a(aR) , 4 f(x)=, f(x)为 R 上的“20 型增函数”, f(x+20)f(x) , 当 x=0 时,|20a|a0,解得 a10 实数 a 的取值范围是 a10 故选:C 考点:函数的值 二、填空题共二、填空题共 6 6 小题,每小题小题,每小题 5 5 分,共分,共 3030 分分。 9. 若函数则等于_。 【答案】3 【解析】根据题意得到=8,= 故结果为:3. 10. 已知双曲线 C 的标准方程为,则双曲线 C 的渐近线方程为_。 【答案】 【解析
6、】已知双曲线 C 的标准方程为,得到渐近线方程为:,化简得到。 故结果为:。 11. 已知函数 的部分图象如图所示,则_,_。 【答案】 (1). (2). 5 【解析】由图像知道函数的半周期为,故周期为将函数零点代入得到 因为,故得到。 故答案为:(1). (2). 。 点睛:这个题目考查的是已知三角函数图像求解析式的问题。一般是通过图像可得到振幅,周期,进而得 到 w,根据图像的最值点或者零点求得函数中的 角;有最值首选最值,无最值再选零点,零点分第一零 点和第二零点,注意区分即可。 12. 已知正数 x,y 满足,则的最小值是_。 【答案】4 【解析】由题意,当且仅当,即,时取等号,故答
7、案 为 9. 点睛:本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值,其失误的 真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视要利用基本不等式求最值,这三个条件缺一不 可(2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆” “拼” “凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正” “定” “等”的条件 13. 如图,在中,D 是 AC 边上一点,且,则 _ 【答案】-4 【解析】根据题意得到 .代入化简得到-4. 故答案为:-4 14. 以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合,B 表示具有如下性质的函数组成的集合:对于函数,存 在一个正数 M,使得函数的值域包含于区间-M,M。
8、例如,当,时, 6 ,现有如下命题: 设函数的定义域为 D,则“”的充要条件是“”; 若函数,则有最大值和最小值; 若函数,的定义域相同,且,则 若函数,则有最大值且, 其中的真命题有_。 (写出所有真命题的序号) 【答案】 【解析】对于,若 f(x)A,则 f(x)的值域为 R,于是,对任意的 bR,一定存在 aD,使得 f(a)=b, 故正确; 对于,取函数 f(x)=x(1x1) ,其值域为(1,1) ,于是,存在 M=1,使得 f(x)的值域包含于 M,M=1,1,但此时 f(x)没有最大值和最小值,故错误; 对于,当 f(x)A 时,由可知,对任意的 bR,存在 aD,使得 f(a)
9、=b, 当 g(x)B 时,对于函数 f(x)+g(x) ,如果存在一个正数 M,使得 f(x)+g(x)的值域包含于M,M,那 么对于该区间外的某一个 b0R,一定存在一个 a0D,使得 f(a0)=bg(a0) ,即 f(a0)+g(a0)=b0M,M,故 正确; 此时 f(x)= (x2) ,易知 f(x) , ,存在正数 M= ,使得 f(x)M,M,故正确; 故答案为:。 三、解答题共三、解答题共 6 6 小题,共小题,共 8080 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 15. 已知数列的前 n 项和为,且 是与 1 的等差中项。
10、(I)求的通项公式; (II)若数列的前 n 项和为,且对,恒成立,求实数的最小值。 【答案】(1) ;(2) 实数的最小值为 2. 试题解析:()因为, 所以 1 分 7 因为 是与 的等差中项, 所以, 即 所以 3 分 所以是以 1 为首项,2 为公比的等比数列 所以 6 分 ()由()可得: 所以, 所以是以 1 为首项, 为公比的等比数列 9 分 所以 数列的前 项和 11 分 因为, 所以 若,当时, 所以 若对,恒成立,则 所以 实数的最小值为 2 13 分 考点:数列及其恒成立 16. 锐角中,内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,已知,的面积 (I)求边 c 的值;
11、 (II)求 sinC 的值。 【答案】(1) ;(2) . 8 【解析】试题分析:(1)根据三角形的面积公式得到 将已知条件中的值代入可得, 。 (2)由同角三角函数的转化可得;再由余弦定理得到,由正弦定理得到 。 解析: (I)由 可得, (II)由锐角中可得 由余弦定理可得: 有:,由正弦定理: 即 . 17. 已知函数。 (I)求函数的最小正周期与单调增区间; (II)求函数在上的最大值与最小值。 【答案】 (1),单调增区间为,;(2)时取最大值,最小 值。 【解析】试题分析:本题主要考查倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、单调区间、三角函数 的最值等基础知识,考查学生的分析
12、问题解决问题的能力、转化能力、计算能力第一问,先利用倍角公 式和降幂公式以及两角和的正弦公式化简表达式,使之成为的形式,利用计算 周期,再利用的函数图象解不等式,求出单调递增区间;第二问,将已知 x 的取值范围代入表达式, 结合图象,求三角函数的最值 试题解析: ()的最小正周期为 令,解得, 9 所以函数的单调增区间为 ()因为,所以,所以, 于是,所以 当且仅当时取最小值 当且仅当,即时最大值 考点:倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、单调区间、三角函数的最值 18. 已知函数,。 (I)若曲线在点(1,)处的切线与直线垂直,求 a 的值; (II)当时,试问曲线与直线是否有公共点
13、?如果有,求出所有公共点;若没有,请说 明理由。 【答案】 (1);(2)公共点为(1,-1) 。 【解析】试题分析:(1)根据导数的几何意义得到,即;(2)构造函数 ,研究这个函数的单调性,它和轴的交点个数即可得到在(0,1)()恒负, ,故只有一个公共点。 解析: (I)函数的定义域为, 又曲线在点(1,)处的切线与直线垂直, 所以,即 (II)当时, 令 当时,在()单调递减; 当时,在(0,1)单调递增。 又,所以在(0,1)()恒负 因此,曲线与直线仅有一个公共点,公共点为(1,-1) 。 19. 已知函数 10 (I)若,求曲线在处的切线方程; (II)讨论函数在上的单调性; (I
14、II)若存在,使得成立,求实数 a 的取值范围。 【答案】 (1)切线方程为;(2)在上单调减;(3). 【解析】试题分析:(1)当 a=2 时可得 f(x)=x22lnx,求导数值可得切线斜率,求函数值可得定点,进而 得直线方程;(2)求导数可得结合 x1,e,利用单调性和导数的关系分和以及讨论可 得;(3)结合(2)的单调性,分类讨论分别求 a2 和 2a2e 以及 a2e 时函数的最值,使得函数的最值 小于等于 0,最终并到一起可得范围。 解析: (1)时, 所求切线方程为 (2) 时,此时,在上单调增; 当即, 时,上单调减; 时,在上单调增; 当即时 ,此时,在上单调减; (3)当时
15、,在上单调增,的最小值为 当时,在上单调减,在上单调增 的最小值为 , , 当时,在上单调减;的最小值为 , 11 综上, 点睛:本题考查导数的综合应用,涉及曲线的切线和函数的单调性以及分类讨论的思想,属难题最后一 问考查了函数的有解求参的问题,一般的处理方式是变量分离,转化为函数最值问题;或者直接研究函数 的单调性得到函数的最值,使得函数最值大于或者小于 0. 20. 已知椭圆 C 的对称中心为原点 O,焦点在 x 轴上,离心率为 ,且点在该椭圆上。 (I)求椭圆 C 的方程; (II)过椭圆 C 的左焦点的直线 l 与椭圆 C 相交于两点,若的面积为,求圆心在原点 O 且与 直线 l 相切的圆的方程。 【答案】 (1);(2). 【解析】试题分析:(1)设出椭圆的标准方程,根据离心率求得 a 和 c 关系,进而根据 a2=b2+c2,求得 a 和 b 的关系,把点 C 坐标代入椭圆方程求得 a,进而求得 b,则椭圆方程可得 解析: (1)设椭圆 C 的方程为, () ,由题意可得 又,所以 因为椭圆 C 经过(1, ) ,代入椭圆方程有 解得 所以 c=1,故椭圆