2018年北京市第四中学高三（上）学期期中考试数学（文）试题（解析版）.doc

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1、1 北京四中北京四中 20182018 届上学期高三年级期中考试数学试卷（文科）届上学期高三年级期中考试数学试卷（文科） （试卷满分：（试卷满分：150150 分分 考试时间：考试时间：120120 分钟）分钟） 一、选择题共一、选择题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项。求的一项。 1. 已知集合，那么等于 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】集合 ，根据集合的并集的概念得到等于 。 故答案为：B。 2. 若，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解

2、析】试题分析：，故选 C. 考点：二倍角公式 3. 已知向量 a,b 满足，则 A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】由条件知，。 故答案为：C。 4. 设，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】试题分析：由函数的单调性可知由单调性可知，由函数 单调性可知，所以有，故选 B 考点：函数单调性比较大小 5. 已知，则是的 2 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】已知，。根据向量平行的坐标表示得到 故是的充分不必要条件。 故答案为：A。 6. 函数的图象如图所示，则的解析式可以为 A. B. C. D.

3、 【答案】C 【解析】因为，故当时，的符号不确定，因此不单调，即答案 A 不 正确；对于答案 B，因，故函数 是递减函数，但函数有两个零点， 则答案 B 不正确；对于答案 D，因时，无零点，故答案不正确；而，故函 数在时，是单调递减函数，当时，函数也单调递减函数，应选答案 C。 点睛：解答本题的关键是搞清楚函数的图像的变化情况与题设的要求，将每一个函数解析式 的导数求出，再运用比较对比的方法将函数的解析式选出，从而使得问题获解。 7. 实数 x,y 满足则的最小值为 3 A. 15 B. 3 C. -3 D. -15 【答案】C 【解析】根据不等式组画出可行域，如图： 目标函数可化简为：,根据

4、图像得到当目标函数过点（-3，3）时候，目标函数有最小值，代入得 到 z=-3. 故得到答案为：C。 点睛：这个题目考查的是较为简单的线性规划问题；需要注意的是线规问题，可行域中的线是实线还是虚 线，目标函数是什么模型，常见的有形如这个函数的截距型，还有面积型，距离型，斜率型等，注意最值 能否取倒。 8. 设函数的定义域 D，如果存在正实数 m，使得对任意，都有，则称为 D 上的“m 型增函数” ，已知函数是定义在 R 上的奇函数，且当时，。若为 R 上的“20 型增函数” ，则实数 a 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】试题分析：由已知得 f（x）=，f（x+20）f

5、（x） ，由此能求出实数 a 的取 值范围 解：函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f（x）=|xa|a（aR） ， 4 f（x）=， f（x）为 R 上的“20 型增函数”， f（x+20）f（x） ， 当 x=0 时，|20a|a0，解得 a10 实数 a 的取值范围是 a10 故选：C 考点：函数的值 二、填空题共二、填空题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分分。 9. 若函数则等于_。 【答案】3 【解析】根据题意得到=8，= 故结果为：3. 10. 已知双曲线 C 的标准方程为，则双曲线 C 的渐近线方程为_。 【答案】 【解析

6、】已知双曲线 C 的标准方程为，得到渐近线方程为：，化简得到。 故结果为：。 11. 已知函数 的部分图象如图所示，则_，_。 【答案】 (1). (2). 5 【解析】由图像知道函数的半周期为，故周期为将函数零点代入得到 因为，故得到。 故答案为：(1). (2). 。 点睛：这个题目考查的是已知三角函数图像求解析式的问题。一般是通过图像可得到振幅，周期，进而得 到 w，根据图像的最值点或者零点求得函数中的 角；有最值首选最值，无最值再选零点，零点分第一零 点和第二零点，注意区分即可。 12. 已知正数 x,y 满足，则的最小值是_。 【答案】4 【解析】由题意，当且仅当，即，时取等号，故答

7、案 为 9. 点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的 真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不 可(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆” “拼” “凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正” “定” “等”的条件 13. 如图，在中，D 是 AC 边上一点，且，则 _ 【答案】-4 【解析】根据题意得到 .代入化简得到-4. 故答案为：-4 14. 以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存 在一个正数 M，使得函数的值域包含于区间-M，M。

8、例如，当，时， 6 ，现有如下命题： 设函数的定义域为 D，则“”的充要条件是“”； 若函数，则有最大值和最小值； 若函数，的定义域相同，且，则 若函数，则有最大值且， 其中的真命题有_。 （写出所有真命题的序号） 【答案】 【解析】对于，若 f（x）A，则 f（x）的值域为 R，于是，对任意的 bR，一定存在 aD，使得 f（a）=b， 故正确； 对于，取函数 f（x）=x（1x1） ，其值域为（1，1） ，于是，存在 M=1，使得 f（x）的值域包含于 M，M=1，1，但此时 f（x）没有最大值和最小值，故错误； 对于，当 f（x）A 时，由可知，对任意的 bR，存在 aD，使得 f（a）

9、=b， 当 g（x）B 时，对于函数 f（x）+g（x） ，如果存在一个正数 M，使得 f（x）+g（x）的值域包含于M，M，那 么对于该区间外的某一个 b0R，一定存在一个 a0D，使得 f（a0）=bg（a0） ，即 f（a0）+g（a0）=b0M，M，故 正确； 此时 f（x）= （x2） ，易知 f（x） ， ，存在正数 M= ，使得 f（x）M，M，故正确； 故答案为：。 三、解答题共三、解答题共 6 6 小题，共小题，共 8080 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15. 已知数列的前 n 项和为，且 是与 1 的等差中项。

10、（I）求的通项公式； （II）若数列的前 n 项和为，且对，恒成立，求实数的最小值。 【答案】(1) ;(2) 实数的最小值为 2. 试题解析：（）因为, 所以 1 分 7 因为 是与 的等差中项, 所以, 即 所以 3 分 所以是以 1 为首项，2 为公比的等比数列 所以 6 分 （）由（）可得： 所以, 所以是以 1 为首项, 为公比的等比数列 9 分 所以 数列的前 项和 11 分 因为， 所以 若，当时， 所以 若对,恒成立，则 所以 实数的最小值为 2 13 分 考点：数列及其恒成立 16. 锐角中，内角 A，B，C 所对的边长分别为 a,b,c，已知，的面积 （I）求边 c 的值；

11、 （II）求 sinC 的值。 【答案】(1) ;(2) . 8 【解析】试题分析：(1)根据三角形的面积公式得到 将已知条件中的值代入可得， 。 （2）由同角三角函数的转化可得；再由余弦定理得到，由正弦定理得到 。 解析： （I）由 可得， （II）由锐角中可得 由余弦定理可得： 有：,由正弦定理： 即 . 17. 已知函数。 （I）求函数的最小正周期与单调增区间； （II）求函数在上的最大值与最小值。 【答案】 （1），单调增区间为，；（2）时取最大值，最小 值。 【解析】试题分析：本题主要考查倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、单调区间、三角函数 的最值等基础知识，考查学生的分析

12、问题解决问题的能力、转化能力、计算能力第一问，先利用倍角公 式和降幂公式以及两角和的正弦公式化简表达式，使之成为的形式，利用计算 周期，再利用的函数图象解不等式，求出单调递增区间；第二问，将已知 x 的取值范围代入表达式， 结合图象，求三角函数的最值 试题解析： （）的最小正周期为 令，解得， 9 所以函数的单调增区间为 （）因为，所以，所以， 于是，所以 当且仅当时取最小值 当且仅当，即时最大值 考点：倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、单调区间、三角函数的最值 18. 已知函数，。 （I）若曲线在点（1，）处的切线与直线垂直，求 a 的值； （II）当时，试问曲线与直线是否有公共点

13、？如果有，求出所有公共点；若没有，请说 明理由。 【答案】 （1）；（2）公共点为（1，-1） 。 【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义得到，即；（2）构造函数 ，研究这个函数的单调性，它和轴的交点个数即可得到在（0，1）（）恒负， ，故只有一个公共点。 解析： （I）函数的定义域为， 又曲线在点（1，）处的切线与直线垂直， 所以，即 （II）当时， 令 当时，在（）单调递减； 当时，在（0，1）单调递增。 又，所以在（0，1）（）恒负 因此，曲线与直线仅有一个公共点，公共点为（1，-1） 。 19. 已知函数 10 （I）若，求曲线在处的切线方程； （II）讨论函数在上的单调性； （I

14、II）若存在，使得成立，求实数 a 的取值范围。 【答案】 （1）切线方程为；（2）在上单调减；（3）. 【解析】试题分析：（1）当 a=2 时可得 f（x）=x22lnx，求导数值可得切线斜率，求函数值可得定点，进而 得直线方程；（2）求导数可得结合 x1，e，利用单调性和导数的关系分和以及讨论可 得；（3）结合（2）的单调性，分类讨论分别求 a2 和 2a2e 以及 a2e 时函数的最值，使得函数的最值 小于等于 0，最终并到一起可得范围。 解析： （1）时， 所求切线方程为 （2） 时，此时，在上单调增； 当即， 时，上单调减； 时，在上单调增； 当即时 ，此时，在上单调减； （3）当时

15、，在上单调增，的最小值为 当时，在上单调减，在上单调增 的最小值为 ， ， 当时，在上单调减；的最小值为 ， 11 综上， 点睛：本题考查导数的综合应用，涉及曲线的切线和函数的单调性以及分类讨论的思想，属难题最后一 问考查了函数的有解求参的问题，一般的处理方式是变量分离，转化为函数最值问题；或者直接研究函数 的单调性得到函数的最值，使得函数最值大于或者小于 0. 20. 已知椭圆 C 的对称中心为原点 O，焦点在 x 轴上，离心率为 ，且点在该椭圆上。 （I）求椭圆 C 的方程； （II）过椭圆 C 的左焦点的直线 l 与椭圆 C 相交于两点，若的面积为，求圆心在原点 O 且与 直线 l 相切的圆的方程。 【答案】 （1）；（2）. 【解析】试题分析：（1）设出椭圆的标准方程，根据离心率求得 a 和 c 关系，进而根据 a2=b2+c2，求得 a 和 b 的关系，把点 C 坐标代入椭圆方程求得 a，进而求得 b，则椭圆方程可得 解析： （1）设椭圆 C 的方程为， （） ，由题意可得 又，所以 因为椭圆 C 经过（1， ） ，代入椭圆方程有 解得 所以 c=1，故椭圆