《锐角还是钝角——如何结合图象判定二面角的平面角》由会员分享,可在线阅读,更多相关《锐角还是钝角——如何结合图象判定二面角的平面角(3页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、,问 锐角还是钝角 一一如何结合图象判定二面角的平面角 求二面角的平面角是立体几何学习中 的重点,也是高考的热点之一解题时可以 先求两个平面的法向量所成的角 ,由于 一个 平面的法向量不唯一,长度不等且有两个方 向 ,二面角的平面角范围是0豆。运二面角 的大小与其两个面的法向量所成的角是 “相 等”还是 “互补”成为难点和关键,本文拟给 出 一个简单的判断方法 先来分析一下二面角与两法向量n1,nz 所成角的关系,以便突破上述难点: 己知二面角l -13,在二面角内任取一 点P,过点P作PA_l_a,PB_l_卢,垂足分别为 A,B,则l_l_平面PAB,设1门平面PAB于 点。,连结OA,O
2、B ,则 OA_l_ l, OB _l_ l ,记 AOB=8,所以0为二面角1卢的平面 角平面的一个法向量n1,平面卢的一个法 向量为酌,将这两法向量的起点均移至点P, 当两法向量同时指向平面或者同时远离平 面(如图l,图2),则二面角的平面角。与两 法向量n1 ,nz所成的角n1,nz互补,即8= 一n1,n2,概括为“同向互补 ” ; 图1 n1 图2 图3 n1 图4 New University Entrance Examination 15 将 这两 法 向量 的起 点均 移 至 点 P, 当两 法 向量 一 个 指 向平 面 , 另 一 个 远 离 平 面 ( 如 图 3 , 图
3、 4 ) , 则二 面角 的平 面角 与两 法 向量 n l , , l 2 所成 的角 ( n 1 , , l 2 相 等 , 即 = = = , 概 括 为“ 异 向相 同” 理 清 了概念 , 我们再 来看 两道 例题 : 例 1( 2 0 1 4全 国 卷 ) 如 图 5 , 三 棱 柱 AB C- A B C 中, 侧面 B B C C为菱形, AB 上Bl C ( 1 )证 明 : ACAB1 ; ( 2 )若 AC 上AB1 , C B B1 = = = 6 0 。 , AB B C, 求二 面角 A A B 一C 的余 弦值 解 析 ( 1 )略 ( 2 )因为 Ac上AB ,
4、 O 为 B C的 中点 , 所 以 AO=C O 又 因为 AB BC, 所 以 BOA ABOC, 所 以 OA上 OB, 从而 O A, O B , O B 两两互相垂直 以 碡 , , 为 正交基 底 , 建立 如 图 6所 示 的空 问直角 坐标 系 0一 , 不 妨设 l l 一1 , 则 l l I 因 为 c B B 一 6 0 。 , 所 以 A C B B 为 正三 角 形 , 则 l l 一 , 故 B ( 0 , 1 , o ) , A( O , 0, 1 ), B( , 0, 0) , c1 ( 一 , 0 , o ) , 一( 0 , 1 , 一1 ) , 百 一赢
5、 一( 一 , 0 , 1 ) 设 平 面 AB A 的 一 个 法 向 量 为, l 一 ( z , y , f , l 】 A可一0 , f y l Z 1 0 , ) , 则 一所以 一 l , l 1 B 1 一0 , l 一 3 z 1 + 1 0 6 N e w Un i v e r s it y E n t r a n c e E x a mi n a t i o n 不妨令 z 一1 , 则 z 一 3 , Y 一 3 , 所 以 平面 AB A 的一 个法 向量 为 一 ( 1 , 3 , ) 因 为 一 ( 一 , 一 1 , 0 ) , 一 ( 一 3 , 0 , 1 )
6、 , 设平面 A B C 的一个法 向量 一 ( 删j 兰 所 以 【 , l 2B1 A1 0, j 一 3 z 2 y 2 0 不 妨 令X 2 一 l , 则 。 一 l 一 3 z 2 + 2 0 一 3 , z 。 一 3 , 所以平面 A B C 的一个法 向 量为 , l 2 一 ( 1 , 一 3 , 3 ) , 则 C O S ( , l l , n 2 一 一 1 又 因为 二 面角 A A1 B 一 C 的平 面 角 与两 法 向量 , l 、 , l 所 成 的角 ( , l , 相 等 , 所 以二 面 角 A A B 一C 的余 弦 值为 点评 二面角的平面角求法:
7、 第一步 分别 求 出两个 平 面 的 法 向量 ; 第 二 步 计 算 这 两法 向量所成 的角的余 弦值 ; 第三步借助具 体 的 图形 判 断 二 面 角 的 平 面 角 与 两 法 向 量 所成 的角是相 等 还 是互 补 关 系 , 然 后 得 出结 论 , 这一步始终 困扰 着大家 先将 向量 一 ( 1 , 3 , 3 ) 起点放在 坐标 系原点 0, 观察 向 量 n 的 方 向 , 再 将 其 起 点 移 至 二 面 角 A A B 一C 内 的任 意一 点 , 判 断 得 向量 , l 指向平面 AB A , 按同样 的方法判断得 向量 n 。 远离 平面 A B C ,
8、故 二面 角 A A B 一 C 的平 面 角 与 两 法 向量 n , 所 成 的角 相 等 例 2( 2 0 1 4重庆 卷 改 编 ) 如 图 7 , 四棱 锥 PAB C D 中, 底 面 是 以 0 为 中 心 的 菱 形 , P0J n 底 面 ABC D, AB一2, ZBAD= , M 为 BC 上 一 点 , 且 BM 1 ,MP _ AP ( 1 )求 PO 的长 ( 2 )求二 面 角 A PM C的余 弦值 C 图 7 解 析 连接 AC, B D, O M , 因为 四边 形 AB C D 是 以 0 为 中心 的菱形 , 则 ACnB D一 0, 且 AC B D
9、以 0为坐标原点 , , , ) 为正交 基 底 , 建 立如 图 7所 示 的空 间 直 角坐标 系 0 一 x y z , 因 为 ZB AD一- 2, 所 以 O A= , O B一1 , 所 以 A( , 0 , 0 ) , B( o , 1 , 0 ) , c ( 一, g , 0 , 0 ) , 一( 一 , 一1 , o ) 由题 意 知 百 一 蔚, 所 以 =:= 碡+ 百 一 ( , 3 , 。 ) 设 P ( O , O , a 0 =: ( , 一 3 , a ) , 一 ( 一 , ) 因 为 M P lAP, 故 一 0 , 所 以 一 3+口 一0 , 由 得 n
10、 一-T 卿P 0的长为 ( 2 ) 由 ( 1 ) 知 一 ( 一 , 0 , ) , 一 ( , 一 3 , ) , 设 平 面 A M P 的 一 个 法 向 量 为 n 1一 ( z 1 , y ,z 1 ) , 则 所 i 1MP一0, f 一 屈 + 一 o , l 一 孚 y l + _ o 1 一 十 一 U 不 妨 _ 2 , _ 1 , 一 学 以 一 ( , , 2 ) 因 为 一( 年 , 一 丢 , ) , 一 ( , 0 ,, g ) , 设 平 面 P M C - 4 fx N N N ,l 2 一( z 2 , y 2 , z 2 ) , 则 M P 0所以 f
11、 , l , 一 。 I ,Cp一0, f 。 一 号 + z _ o , l屈 + 。 _ O 一一1 , y : 一 , 所 以平 面 P MC的一 个 法 向量 为,l 2 一 ( 一1 , , g , 2 ) , 则 C O S 一 丁 = 一 又因为二面角 A P M - C5 l , l 1 1 1 , l 2 I 。 一 的平 面 角 与 两 法 向 量 , l , , l 。 所 成 的 角 互 补 所 以二 面 角 A A B 一C 1 的余 弦 值为一 , g 点 评 将 向 量 n 一 ( 1 , , 2 ) 起 点 放 在 坐标 系 原 点 0( 原 点 0 也 为 二 面 角 A P M C 内的一点 ) 观察 向量r l 的方 向 , 判 断 得向量, l 指 向平 面 AMP, 按 同样 的方法判 断得 向量 也指向平面 P MC, 故二面角 A P M C 的平 面角 与 两 法 向量 , l , , l 所 成 的 角 互 补 N e w U n iv e r s i t y E n t r a n c e E x a min a t io n I 7