《锐角还是钝角——如何结合图象判定二面角的平面角》由会员分享，可在线阅读，更多相关《锐角还是钝角——如何结合图象判定二面角的平面角（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、，问 锐角还是钝角 一一如何结合图象判定二面角的平面角 求二面角的平面角是立体几何学习中 的重点，也是高考的热点之一解题时可以 先求两个平面的法向量所成的角 ，由于 一个 平面的法向量不唯一，长度不等且有两个方 向 ，二面角的平面角范围是0豆。运二面角 的大小与其两个面的法向量所成的角是 “相 等”还是 “互补”成为难点和关键，本文拟给 出 一个简单的判断方法 先来分析一下二面角与两法向量n1,nz 所成角的关系，以便突破上述难点： 己知二面角l -13，在二面角内任取一 点P，过点P作PA_l_a,PB_l_卢，垂足分别为 A,B，则l_l_平面PAB，设1门平面PAB于 点。，连结OA,O
2、B ，则 OA_l_ l, OB _l_ l ，记 AOB=8，所以0为二面角1卢的平面 角平面的一个法向量n1，平面卢的一个法 向量为酌，将这两法向量的起点均移至点P, 当两法向量同时指向平面或者同时远离平 面（如图l，图2），则二面角的平面角。与两 法向量n1 ,nz所成的角n1,nz互补，即8= 一n1,n2，概括为“同向互补 ” ； 图1 n1 图2 图3 n1 图4 New University Entrance Examination 15 将 这两 法 向量 的起 点均 移 至 点 P， 当两 法 向量 一 个 指 向平 面 ， 另 一 个 远 离 平 面 ( 如 图 3 ， 图
3、 4 ) ， 则二 面角 的平 面角 与两 法 向量 n l ， ， l 2 所成 的角 ( n 1 ， ， l 2 相 等 ， 即 = = = ， 概 括 为“ 异 向相 同” 理 清 了概念 ， 我们再 来看 两道 例题 ： 例 1( 2 0 1 4全 国 卷 ) 如 图 5 ， 三 棱 柱 AB C- A B C 中， 侧面 B B C C为菱形， AB 上Bl C ( 1 )证 明 ： ACAB1 ； ( 2 )若 AC 上AB1 ， C B B1 = = = 6 0 。 ， AB B C， 求二 面角 A A B 一C 的余 弦值 解 析 ( 1 )略 ( 2 )因为 Ac上AB ，
4、 O 为 B C的 中点 ， 所 以 AO=C O 又 因为 AB BC， 所 以 BOA ABOC， 所 以 OA上 OB， 从而 O A， O B ， O B 两两互相垂直 以 碡 ， ， 为 正交基 底 ， 建立 如 图 6所 示 的空 问直角 坐标 系 0一 ， 不 妨设 l l 一1 ， 则 l l I 因 为 c B B 一 6 0 。 ， 所 以 A C B B 为 正三 角 形 ， 则 l l 一 ， 故 B ( 0 ， 1 ， o ) ， A( O ， 0， 1 )， B( ， 0， 0) ， c1 ( 一 ， 0 ， o ) ， 一( 0 ， 1 ， 一1 ) ， 百 一赢
5、 一( 一 ， 0 ， 1 ) 设 平 面 AB A 的 一 个 法 向 量 为， l 一 ( z ， y ， f ， l 】 A可一0 ， f y l Z 1 0 ， ) ， 则 一所以 一 l ， l 1 B 1 一0 ， l 一 3 z 1 + 1 0 6 N e w Un i v e r s it y E n t r a n c e E x a mi n a t i o n 不妨令 z 一1 ， 则 z 一 3 ， Y 一 3 ， 所 以 平面 AB A 的一 个法 向量 为 一 ( 1 ， 3 ， ) 因 为 一 ( 一 ， 一 1 ， 0 ) ， 一 ( 一 3 ， 0 ， 1 )
6、 ， 设平面 A B C 的一个法 向量 一 ( 删j 兰 所 以 【 ， l 2B1 A1 0， j 一 3 z 2 y 2 0 不 妨 令X 2 一 l ， 则 。 一 l 一 3 z 2 + 2 0 一 3 ， z 。 一 3 ， 所以平面 A B C 的一个法 向 量为 ， l 2 一 ( 1 ， 一 3 ， 3 ) ， 则 C O S ( ， l l ， n 2 一 一 1 又 因为 二 面角 A A1 B 一 C 的平 面 角 与两 法 向量 ， l 、 ， l 所 成 的角 ( ， l ， 相 等 ， 所 以二 面 角 A A B 一C 的余 弦 值为 点评 二面角的平面角求法：
7、 第一步 分别 求 出两个 平 面 的 法 向量 ； 第 二 步 计 算 这 两法 向量所成 的角的余 弦值 ； 第三步借助具 体 的 图形 判 断 二 面 角 的 平 面 角 与 两 法 向 量 所成 的角是相 等 还 是互 补 关 系 ， 然 后 得 出结 论 ， 这一步始终 困扰 着大家 先将 向量 一 ( 1 ， 3 ， 3 ) 起点放在 坐标 系原点 0， 观察 向 量 n 的 方 向 ， 再 将 其 起 点 移 至 二 面 角 A A B 一C 内 的任 意一 点 ， 判 断 得 向量 ， l 指向平面 AB A ， 按同样 的方法判断得 向量 n 。 远离 平面 A B C ，
8、故 二面 角 A A B 一 C 的平 面 角 与 两 法 向量 n ， 所 成 的角 相 等 例 2( 2 0 1 4重庆 卷 改 编 ) 如 图 7 ， 四棱 锥 PAB C D 中， 底 面 是 以 0 为 中 心 的 菱 形 ， P0J n 底 面 ABC D， AB一2， ZBAD= ， M 为 BC 上 一 点 ， 且 BM 1 ，MP _ AP ( 1 )求 PO 的长 ( 2 )求二 面 角 A PM C的余 弦值 C 图 7 解 析 连接 AC， B D， O M ， 因为 四边 形 AB C D 是 以 0 为 中心 的菱形 ， 则 ACnB D一 0， 且 AC B D
9、以 0为坐标原点 ， ， ， ) 为正交 基 底 ， 建 立如 图 7所 示 的空 间 直 角坐标 系 0 一 x y z ， 因 为 ZB AD一- 2， 所 以 O A= ， O B一1 ， 所 以 A( ， 0 ， 0 ) ， B( o ， 1 ， 0 ) ， c ( 一, g ， 0 ， 0 ) ， 一( 一 ， 一1 ， o ) 由题 意 知 百 一 蔚， 所 以 =：= 碡+ 百 一 ( ， 3 ， 。 ) 设 P ( O , O , a 0 =： ( ， 一 3 ， a ) ， 一 ( 一 ， ) 因 为 M P lAP， 故 一 0 ， 所 以 一 3+口 一0 ， 由 得 n
10、 一-T 卿P 0的长为 ( 2 ) 由 ( 1 ) 知 一 ( 一 ， 0 ， ) ， 一 ( ， 一 3 ， ) ， 设 平 面 A M P 的 一 个 法 向 量 为 n 1一 ( z 1 ， y ，z 1 ) ， 则 所 i 1MP一0， f 一 屈 + 一 o ， l 一 孚 y l + _ o 1 一 十 一 U 不 妨 _ 2 ， _ 1 ， 一 学 以 一 ( ， ， 2 ) 因 为 一( 年 ， 一 丢 ， ) ， 一 ( ， 0 ，, g ) ， 设 平 面 P M C - 4 fx N N N ，l 2 一( z 2 ， y 2 ， z 2 ) ， 则 M P 0所以 f
11、 ， l ， 一 。 I ，Cp一0， f 。 一 号 + z _ o ， l屈 + 。 _ O 一一1 ， y ： 一 ， 所 以平 面 P MC的一 个 法 向量 为，l 2 一 ( 一1 ， , g ， 2 ) ， 则 C O S 一 丁 = 一 又因为二面角 A P M - C5 l ， l 1 1 1 ， l 2 I 。 一 的平 面 角 与 两 法 向 量 ， l ， ， l 。 所 成 的 角 互 补 所 以二 面 角 A A B 一C 1 的余 弦 值为一 , g 点 评 将 向 量 n 一 ( 1 ， ， 2 ) 起 点 放 在 坐标 系 原 点 0( 原 点 0 也 为 二 面 角 A P M C 内的一点 ) 观察 向量r l 的方 向 ， 判 断 得向量， l 指 向平 面 AMP， 按 同样 的方法判 断得 向量 也指向平面 P MC， 故二面角 A P M C 的平 面角 与 两 法 向量 ， l ， ， l 所 成 的 角 互 补 N e w U n iv e r s i t y E n t r a n c e E x a min a t io n I 7
