《湖南省长沙市2018届高三第四次月考数学(理)试题(附答案)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《湖南省长沙市2018届高三第四次月考数学(理)试题(附答案)(12页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、炎德英才大联考长郡中学2018届高三月考试卷(四)数学(理科)第卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1已知集合,则( )A B C D2若复数满足(为虚数单位),则复数在复平面内对应的点位于( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3已知向量,则“”是“与夹角为锐角”的( )A充分不必要条件 B充要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件4在展开式中,二项式系数的最大值为,含项的系数为,则( )A B C D5一名法官在审理一起珍宝盗窃案时,四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下,甲说:“罪犯在乙、丙、丁
2、三人之中”;乙说:“我没有作案,是丙偷的”;丙说:“甲、乙两人中有一人是小偷”;丁说:“乙说的是事实”.经过调查核实,四人中有两人说的是真话,另外两人说的是假话,且这四人中只有一人是罪犯,由此可判断罪犯是( )A甲 B乙 C丙 D丁6一个三棱锥的三视图如下图所示,则该几何体的体积为( )A1 B C2 D7已知是平面内夹角为90的两个单位向量,若向量满足,则的最大值为( )A1 B C D28执行如图所示的程序框图,则输出的值为( )A1009 B-1009 C-1007 D10089已知斜率为3的直线与双曲线交于两点,若点是的中点,则双曲线的离心率等于( )A B C2 D10若一个四位数的
3、各位数字相加和为10,则称该数为“完美四位数”,如数字“2017”.试问用数字0,1,2,3,4,5,6,7组成的无重复数字且大于2017的“完美四位数”有( )个.A53 B59 C66 D7111椭圆的左焦点为,上顶点为,右顶点为,若的外接圆圆心在直线的左下方,则该椭圆离心率的取值范围为( )A B C D12已知函数,若有两个零点,则的取值范围是( )A B C D第卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13已知双曲线经过点,其一条渐近线方程为,则该双曲线的标准方程为 14已知函数,若正实数满足,则的最小值为 15已知球是正三棱锥(底面为正三角形,顶点在底面
4、的射影为底面中心)的外接球,点在线段上,且,过点作圆的截面,则所得截面圆面积的取值范围是 16已知为坐标原点,为抛物线的焦点,若抛物线与直线在第一、四象限分别交于两点,则的值为 三、解答题 (本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17如图,在中,为边上的点,为上的点,且,.(1)求的长;(2)若,求的值.18现有4名学生参加演讲比赛,有两个题目可供选择,组委会决定让选手通过掷一枚质地均匀的骰子选择演讲的题目,规则如下:选手掷出能被3整除的数则选择题目,掷出其他的数则选择题目.(1)求这4个人中恰好有1个人选择题目的概率;(2)用分别表示这4个人中选择题目的人数,记,
5、求随机变量的分布列与数学期望.19如图1,在矩形中,点分别在边上,且,交于点,交于.现将沿折起,使得平面平面,得到图2.(1)在图2中,求证:;(2)在图2中,若点是线段上的一动点,问点在什么位置时,二面角的余弦值为.20已知椭圆的两个焦点分别为,点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.(1)求椭圆的方程;(2)过点的直线与椭圆相交于两点,设点,记直线的斜率分别为,求证:为定值.21已知函数,.(1)若函数存在与直线垂直的切线,求实数的取值范围;(2)设,若有极大值点,求证:.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分22选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系中,直线
6、的参数方程为(为参数),在以原点为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,圆的方程为.(1)写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程;(2)设点,直线与圆相交于两点,求的值.23选修4-5:不等式选讲已知函数.(1)求函数的值域;(2)若试比较,的大小.炎德英才大联考长郡中学2018届高三月考试卷(四)数学(理科)参考答案一、选择题1-5:BCCBB 6-10:CBBAD 11、12:AD二、填空题13 141 15 16三、解答题17解:(1)由题意可得,在中,由余弦定理得,所以,整理得,解得:.故的长为.(2)在中,由正弦定理得,即,所以,所以.因为点在边上,所以,而,所以只能为钝角,所以,所以.1
7、8解:由题意知,这4个人中每个人选择题目的概率为,选择题目的概率为,记“这4个人中恰有人选择题目”为事件,(1)这4人中恰有一人选择题目的概率为.(2)的所有可能取值为0,3,4,且,.的分布列是所以.19解:(1)在矩形中,即.在图2中,.又平面平面,平面平面,平面,.依题意,且,四边形为平行四边形.,又,平面,又平面,.(2)如图1,在中,.如图,以点为原点建立平面直角坐标系,则,平面,为平面的法向量.设,则,设为平面的法向量,则即,可取.依题意,有,整理得,即,.当点在线段的四等分点且时,满足题意.20解:(1)依题意,.点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直,.椭圆的方程为.(2)当直线
8、的斜率不存在时,由解得,.设,则为定值.当直线的斜率存在时,设直线的方程为:.将代入整理化简,得.依题意,直线与椭圆必相交于两点,设,则,.又,所以.综上得为常数2.21解:(1)因为,因为函数存在与直线垂直的切线,所以在上有解,即在上有解,也即在上有解,所以,得,故所求实数的取值范围是.(2)证明:因为,因为,当时,单调递增无极值点,不符合题意,当或时,令,设的两根为和,因为为函数的极大值点,所以,又,所以,所以,则,要证明,只需要证明,因为,.令,所以,记,则,当时,当时,所以,所以.所以在上单调递减,所以,原题得证.22解:(1)由直线的参数方程为(为参数),得直线的普通方程为.又由得圆的直角坐标方程为.(2)把直线的参数方程(为参数),代入圆的直角坐标方程,得,设是上述方程的两实数根,所以,所以.23解:(1)根据函数的单调性可知,当时,.所以函数的值域.(2)因为,所以,所以.又,由,知,所以,所以.所以.