《湖南省长沙市2018届高三第四次月考数学（理）试题（附答案）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《湖南省长沙市2018届高三第四次月考数学（理）试题（附答案）（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、炎德英才大联考长郡中学2018届高三月考试卷（四）数学（理科）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则（ ）A B C D2若复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3已知向量，则“”是“与夹角为锐角”的（ ）A充分不必要条件 B充要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件4在展开式中，二项式系数的最大值为，含项的系数为，则（ ）A B C D5一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁
2、三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”.经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（ ）A甲 B乙 C丙 D丁6一个三棱锥的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ）A1 B C2 D7已知是平面内夹角为90的两个单位向量，若向量满足，则的最大值为（ ）A1 B C D28执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）A1009 B-1009 C-1007 D10089已知斜率为3的直线与双曲线交于两点，若点是的中点，则双曲线的离心率等于（ ）A B C2 D10若一个四位数的
3、各位数字相加和为10，则称该数为“完美四位数”，如数字“2017”.试问用数字0,1,2,3,4,5,6,7组成的无重复数字且大于2017的“完美四位数”有（ ）个.A53 B59 C66 D7111椭圆的左焦点为，上顶点为，右顶点为，若的外接圆圆心在直线的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）A B C D12已知函数，若有两个零点，则的取值范围是（ ）A B C D第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13已知双曲线经过点，其一条渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为 14已知函数，若正实数满足，则的最小值为 15已知球是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面
4、的射影为底面中心）的外接球，点在线段上，且，过点作圆的截面，则所得截面圆面积的取值范围是 16已知为坐标原点，为抛物线的焦点，若抛物线与直线在第一、四象限分别交于两点，则的值为 三、解答题 （本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17如图，在中，为边上的点，为上的点，且，.（1）求的长；（2）若，求的值.18现有4名学生参加演讲比赛，有两个题目可供选择，组委会决定让选手通过掷一枚质地均匀的骰子选择演讲的题目，规则如下：选手掷出能被3整除的数则选择题目，掷出其他的数则选择题目.（1）求这4个人中恰好有1个人选择题目的概率；（2）用分别表示这4个人中选择题目的人数，记，
5、求随机变量的分布列与数学期望.19如图1，在矩形中，点分别在边上，且，交于点，交于.现将沿折起，使得平面平面，得到图2.（1）在图2中，求证：；（2）在图2中，若点是线段上的一动点，问点在什么位置时，二面角的余弦值为.20已知椭圆的两个焦点分别为，点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆相交于两点，设点，记直线的斜率分别为，求证：为定值.21已知函数，.（1）若函数存在与直线垂直的切线，求实数的取值范围；（2）设，若有极大值点，求证：.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线
6、的参数方程为（为参数），在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的方程为.（1）写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；（2）设点，直线与圆相交于两点，求的值.23选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）求函数的值域；（2）若试比较，的大小.炎德英才大联考长郡中学2018届高三月考试卷（四）数学（理科）参考答案一、选择题1-5:BCCBB 6-10:CBBAD 11、12：AD二、填空题13 141 15 16三、解答题17解：（1）由题意可得，在中，由余弦定理得，所以，整理得，解得：.故的长为.（2）在中，由正弦定理得，即，所以，所以.因为点在边上，所以，而，所以只能为钝角，所以，所以.1
7、8解：由题意知，这4个人中每个人选择题目的概率为，选择题目的概率为，记“这4个人中恰有人选择题目”为事件，（1）这4人中恰有一人选择题目的概率为.（2）的所有可能取值为0，3，4，且，.的分布列是所以.19解：（1）在矩形中，即.在图2中，.又平面平面，平面平面，平面，.依题意，且，四边形为平行四边形.，又，平面，又平面，.（2）如图1，在中，.如图，以点为原点建立平面直角坐标系，则，平面，为平面的法向量.设，则，设为平面的法向量，则即，可取.依题意，有，整理得，即，.当点在线段的四等分点且时，满足题意.20解：（1）依题意，.点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直，.椭圆的方程为.（2）当直线
8、的斜率不存在时，由解得，.设，则为定值.当直线的斜率存在时，设直线的方程为：.将代入整理化简，得.依题意，直线与椭圆必相交于两点，设，则，.又，所以.综上得为常数2.21解：（1）因为，因为函数存在与直线垂直的切线，所以在上有解，即在上有解，也即在上有解，所以，得，故所求实数的取值范围是.（2）证明：因为，因为，当时，单调递增无极值点，不符合题意，当或时，令，设的两根为和，因为为函数的极大值点，所以，又，所以，所以，则，要证明，只需要证明，因为，.令，所以，记，则，当时，当时，所以，所以.所以在上单调递减，所以，原题得证.22解：（1）由直线的参数方程为（为参数），得直线的普通方程为.又由得圆的直角坐标方程为.（2）把直线的参数方程（为参数），代入圆的直角坐标方程，得，设是上述方程的两实数根，所以，所以.23解：（1）根据函数的单调性可知，当时，.所以函数的值域.（2）因为，所以，所以.又，由，知，所以，所以.所以.
