《中学生标准学术能力诊断性测试2018年12月理科数学试题（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中学生标准学术能力诊断性测试2018年12月理科数学试题（解析版）（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、中学生标准学术能力诊断性测试2018年12月测试理科数学试卷（一卷）本试卷共150分，考试时间120分钟.一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数的定义域为，若，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先根据函数的解析式求出定义域，再结合题意即可求出结果.【详解】由函数可得，因，所以有且，解得，故选C.【点睛】本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题型2.已知变量，满足约束条件，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由不等式组作出平面区域，将目标函数转化为
2、求斜率的问题即可求解.【详解】由不等式组作出如图所示的图像，因为令，则表示平面区域内的点与定点联系的斜率，由图像可知，由点，所以，故.【点睛】本题主要考查简单的线性规范，属于基础题型.3.已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为1的正方形，正视图与侧视图都是边长为1的正三角形，则此几何体的体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据几何体的三视图，得该几何体是正四棱锥，再由公式球体积即可.【详解】根据几何体的三视图，得该几何体是底面边长1,高为的正四棱锥， 所以该几何体的体积为.【点睛】本题主要考查几何体的体积，属于基础题型.4.直线过抛物线的焦点，与该抛物线及其准线从上向
3、下依次交于、三点，若，则（ ）A. 2 B. C. 3 D. 4【答案】A【解析】【分析】分别过点、作准线的垂线，利用抛物线定义将、到焦点的距离转化为到准线的距离，结合已知比例关系，即可得p的值.【详解】如图，分别过点、作准线的垂线交准线于、,设,则,所以,在直角三角形中，因为,所以,所以，即，因为，所以,，解得.【点睛】本题主要考查抛物线的简单性质，属于基础题型.5.定义，若展开式中一次项的系数为，则等于（为虚数单位）（ ）A. B. C. 1 D. -1【答案】B【解析】【分析】先将按定义写出，进而求出m,再由复数的运算求出结果即可.【详解】由定义可得，因此其展开式中一次项是由每一个括号内
4、的的一次项与其余括号内的常数项相乘再相加得到.括号内的一次项系数依次为，其余括号内的常数项都是1，所以展开式中一次项的系数为,所以.【点睛】本题主要考查复数的运算，属于基础题型.6.函数的大致图像是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由函数的零点排除B，D选项，再根据函数的单调性排除C选项，即可求出结果.【详解】令可得，即函数仅有一个零点，所以排除B，D选项；又，所以由，可得，由得,即函数在上单调递增，在上单调递减，故排除C.【点睛】本题主要考查函数的图像，属于基础题型.7.已知正项等比数列的公比不为1，为其前项积，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【
5、分析】由先得，从而用公比表示出，进而可求出结果.【详解】设等比数列的公比为q,因为为正项等比数列的前项积，所以，所以，所以,因此,故,所以.【点睛】本题主要考查等比数列的性质和对数的运算，属于基础题型.8.在中，、的对边分别是、.若，则的最大值为（ ）A. 3 B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由正弦定理先将边化为角的正弦值，再由三角函数的性质，即可求出结果.【详解】因为，设三角形外接圆半径为R，由正弦定理可得,所以，故其中.所以.【点睛】本题主要考查解三角形的问题，属于常考题型.9.已知，有下列命题：若，则；若，则；若，则； 若，则；其中真命题的个数为（ ）A. 1 B. 2 C.
6、 3 D. 4【答案】C【解析】【分析】借助平方差公式，立方差公式，结合题中条件，依次判断即可.【详解】取,则，但,故错；因,所以,因此；即正确；因,所以，故正确；因，由，得,所以,故正确.【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题型.10.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，圆锥内接圆柱的全面积与圆锥的侧面积相等，则圆柱的高为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先设圆锥与圆柱的底面圆半径和高，由题意得到四者之间关系，用圆锥与圆柱的面积公式即可求解.【详解】设圆柱的底面圆半径为，高为h,设圆锥的底面圆半径为，高为H,则有，又圆锥的侧面展开图是一个半径为，
7、圆心角为的扇形，所以圆锥的侧面积为,且，所以,所以，故圆柱的表面积为;又圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，所以圆锥的侧面积为,由题意，即,解得.【点睛】本题主要考查几何体的表面积，属于基础题型.11.椭圆的右顶点为，下顶点为，左焦点为，若外接圆的圆心在直线的右下方，则此椭圆的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由题意得的坐标，设出外接圆方程，将的坐标代入圆的方程，求出圆心，坐标，再根据圆心在直线的右下方，即可求出结果.【详解】由题意，,设外接圆方程为所以有，解之得,，所以圆心坐标为，又圆心在直线的右下方，所以有,整理得：即，所以,所以，因此椭
8、圆的离心率的取值范围是.【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质，属于中档试题.12.已知函数，若方程有且只有三个不同的实数根，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先将有且只有三个不同的实数根转化为两函数有三个交点的问题，结合函数图像，即可求出结果.【详解】由得，即，设，,的顶点在直线上，而与的交点坐标为,联立,可得,由，得，结合函数，的图像可得，要使有且只有三个不同的实数根，只需.【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，难度较大.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若函数图像的对称轴是，则非零实数的值为_【答案】【解析】【分析】利用含绝对值符号函
9、数的对称性即可求解.【详解】因为，其对称轴为，由得.【点睛】本题主要考查函数的对称性，属于基础题型.14.已知，为线段上一点，且，若，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据可表示出,，的坐标，再由数量积的坐标表示即可求出结果.【详解】因为，所以，,所以，所以，解得，因点M是线段BC上的一个动点,所以，即满足条件的实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查向量的线性运算性质及几何意义，属于中档试题.15.设、是双曲线的左右焦点，是双曲线上任意一点，过作平分线的垂线，垂足为，则点的轨迹方程是_【答案】【解析】【分析】点关于的角平分线PQ的对称点P在直线的延长线上，由双曲线定义可得故，再由OQ
10、是的中位线，可推出为定值，从而可求出结果.【详解】点关于的角平分线PQ的对称点P在直线的延长线上，故，又OQ是的中位线，故,点Q的轨迹是以原点为圆心，a为半径的圆，则点Q的轨迹方程为.【点睛】本题主要考查双曲线的定义和简单几何性质，属于中档试题.16.若对任意的，均有成立，则称函数为函数和函数在区间上的“函数”.已知函数，且是和在区间上的“函数”，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】在区间上分及两种情况考虑即可.【详解】由题意可得，在区间上恒成立，即，当时，函数的图像为一条线段，于是,解得，另一方面，在上恒成立.令,则,因为，所以,于是函数为增函数，从而,所以，则函数为上的增函数，所以
11、,即；综上所述，实数k的取值范围是.【点睛】本题主要考查函数的综合应用，难度较大.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分. 17.已知函数.（）求的最小正周期；（）在锐角中，分别为角，的对边，且满足，求的取值范围.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】(1)将函数解析式化简整理成正弦型复合函数的形式，即可求解；(2)由正弦定理和题中条件，先求出，结合三角函数的图像和性质即可求出结果.【详解】（） 所以函数的最小正周期为.（）依题意，由正弦定理，.因为在三角形中
12、，所以.即，当时，；当时，两边平方得，故，.由于锐角三角形，所以.则.又，.所以.又，所以.由，则的取值范围.【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，属于常考题型.18.如图，正方形与所在的平面互相垂直，且，为的中点.（）求证：平面平面；（）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析； （2）.【解析】【分析】(1)由面面垂直的判定定理即可证明结论成立；(2)可用立体几何法以及空间向量法两种方法求二面角的余弦值.【详解】（），在中， ，又为正方形，又，又面，面，平面，又平面，平面平面.（）方法一：平面平面，平面，即、两两垂直，以、分别为，轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，取平面
13、的法向量，设平面的法向量为，则，即，令，则，故，设平面与平面所成锐二面角为，则.方法二：连接，则、共线，是平面与平面的交线，取的中点为，连接，则由平面平面，平面平面，且面，平面，即平面，又为正方形，为的中点，.是平面与平面所成锐二面角的平面角，由（）可得，在中，.平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【点睛】本题主要考查面面垂直的判定以及二面角的求法，属于常考题型.19.为加强对企业产品质量的管理，市监局到区机械厂抽查机器零件的质量，共抽取了600件螺帽，将它们的直径和螺纹距之比作为一项质量指标，由测量结果得如下频率分布直方图：（）求这600件螺帽质量指标值的样本平均数，样本方差（在同一组数据中，用该区间的中点值作代表）；（）由频率分布直方图可以近似的认为，这种螺帽的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.（）利用该正态分布，求；（）现从该企业购买了100件这种螺帽，记表示这100件螺帽中质量指标值位于区间的件数，利用（）的结果，求.附：.若，则，.【答案】（1） ； （2）（） （）.【解析】【分析】(1)频率分布直方图中每一组的中间值可作为该组的平均数，再由公式即可求出平均数和方差；(2)根据正态分布的性质即可求出第一问，由二项分布即可求出第二小问.【详解】（）抽取的螺帽质量指标值的样本平均数和样本方差分别为： .（）（）由（）知，从而 ， ，
