《河北省衡水金卷2018年高三调研卷 全国卷 I A 理科数学试题（二）（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《河北省衡水金卷2018年高三调研卷 全国卷 I A 理科数学试题（二）（解析版）（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2018年衡水金卷调研卷 全国卷 I A模拟试题（二）理科数学第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ，故选B.2.已知是虚数单位，复数满足，则A. B. C. D. 5【答案】A【解析】，故选A.3.已知具有线性相关的两个变量之间的一组数据如下表所示：012342.24.34.54.86.7若满足回归方程，则以下为真命题的是（ ）A. 每增加1个单位长度，则一定增加1.5个单位长度B. 每增加1个单位长度，就减少1.5个单位长度C. 所有样本点的中心
2、为D. 当时，的预测值为13.5【答案】D【解析】由，得每增一个单位长度，不一定增加，而是大约增加个单位长度，故选项错误；由已知表格中的数据，可知，回归直线必过样本的中心点，故错误；又，回归方程为，当时，的预测值为，故正确，故选D.4.已知点为椭圆：上一点，是椭圆的两个焦点，如的内切圆的直径为3，则此椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由椭圆的定义可知的周长为 ，设三角形内切圆半径为 ，所以的面积，整理得，又，故得椭圆的离心率为，故选C.【 方法点睛】本题主要考查椭圆的定义、性质及离心率，属于中档题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下
3、几种情况：直接求出，从而求出;构造的齐次式，求出;采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;根据圆锥曲线的统一定义求解本题中，根据三角形的面积可以建立关于焦半径和焦距的关系从而找出之间的关系，求出离心率5.如图，已知与有一个公共顶点，且与的交点平分，若，则的最小值为（ ）A. 4 B. C. D. 6【答案】C【解析】，又，又三点共线，即得，易知， ，当且仅当，即时，取等号，故选C.【易错点晴】本题主要考查平面向量基本定理的应用以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否
4、为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.6.我国古代数学名著九章算术中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵，若，当阳马体积最大时，则堑堵的外接球的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设，则，由题意，得四棱锥的体积为，当且仅当，即时，取等号，设的中点分别为，则堑堵的外接球的球心应恰为线段的中点，又，则堑堵的外接球的半径满足，故，故堑堵的外接球的体积为，故选B.7
5、.“”是“函数与函数在区间上的单调性相同”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】函数在区间上是单调递减的，当时，函数在区间上也是单调递减的，所以充分性成立，当时，在区间上也是单调递减的，故必要性不成立，“”是“函数与函数在区间上的单调性相同”的充分不必要条件，故选A.8.执行如图所示的程序框图，若输出，则判断框内应填的内容是A. B. C. D. 【答案】A【解析】由程序框图的功能可知，输出，此时，判断框内应填，故选A.9.如图所示，直线为双曲线：的一条渐近线，是双曲线的左、右焦点，关于直线的对称点为，且是以为圆心，以半
6、焦距为半径的圆上的一点，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. 2 D. 3【答案】C【解析】设焦点关于渐近线的对称点为，则，又点在圆上， ，故选C.10.某单位现需要将“先进个人”、“业务精英”、“道德模范”、“新长征突击手”、“年度优秀员工”五种荣誉分配给3个人，且每个人至少获得一种荣誉，五种荣誉中“道德模范”与“新长征突击手”不能分给同一个人，则不同的分配方法共有A. 114种 B. 150种C. 120种 D. 118种【答案】A【解析】将种荣誉分给人，共有和两类. 当为时，共有，“道德模范”与“新长征突击手”分给一个人共有种，故有；当为时，共有，“道德模范”与“新长征突击手”分给一
7、个人共有种，故有种，综上，不同的分配方法共有种，故选A.11.如图，正方体的对角线上存在一动点，过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于两点.设，的面积为，则当点由点运动到的中点时，函数的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】设，而由运动到的中点的过程中，由相似三角形，可知为定值，设正方体的边长为，当为线段的中点时，则的面积为 ，故选D.12.已知为函数的导函数，当是斜率为的直线的倾斜角时，若不等式恒成立，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】构造函数g（x），根据函数单调性和三角函数值即可判断【详解】ktanx，f（x）f（x）k0，x）cosxf（
8、x）sinxf（x）0，设g（x），g（x），不等式f（x）f（x）k0恒成立，g（x）0恒成立，g（x）在（0，）上单调递增，g（）g（1）g（）g（），f（）f（），2f（），f（）f（），f（）f（）A，C，D错误，B正确，故选：B【点睛】本题考查了导数和函数的单调性的关系，关键是构造函数，属于中档题二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数，则其最小正周期为_.【答案】【解析】因为函数 ，函数，则其最小正周期为，故答案为.14.过，两点的光线经轴反射后所在直线与圆存在公共点，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】点关于轴的对称点为，则直线的方程为，即，因为反射
9、后所在直线与圆存在公共点，所以圆心到直线的距离，即，解得，故实数的取值范围是，故答案为.15.如图，将正方形沿着边抬起到一定位置得到正方形，并使得平面与平面所成的二面角为，为正方形内一条直线，则直线与所成角的取值范围为_. 【答案】【解析】不妨设正方形的边长为，作，垂足为，由，得平面，故，又，得平面，故直线在平面内的射影为，易知，则与平面所成的角为与平面内的直线所成的最小角为，而直线与所成角的最大角为（当与重合时，与所成角为的），所以直线与所成角的取值范闱为，故答案为.16.已知菱形，为的中点，且，则菱形面积的最大值为_.【答案】12【解析】设，则两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即，设
10、，在中，由余弦定理可知，即，令，则，则，当时，即时，有最大值，故答案为.【方法点睛】本题主要考查余弦定理的应用以及最值问题，属于难题.求最值的常见方法有配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数最值，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；换元法：常用代数或三角代换法，用换元法求值域时需认真分析换元参数的范围变化；不等式法；单调性法；图象法.本题(2)求值域时主要应用方法求解的.三、解答题 （本大题共6题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.已知数列的前项和.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】(1)见解析;(2).【解析】试题分析：
11、（1）当时，；当时，对不成立，从而可得数列的通项公式；（2）当时，当时， ，利用裂项相消法可得，再验证时，是否成立即可.试题解析：（1）当时，；当时，对不成立，所以数列的通项公式为.（2）当时，当时， 所以又时，符合上式，所以（）.【方法点晴】本题主要考查数列的通项公式与求和，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18.如图所示，已知三棱锥中，底面是等边三角
12、形，且，分别是的中点.（1）证明：平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】(1)见解析;(2).【解析】试题分析：（1）连接，因为是的中点，由等腰三角形及等边三角形的性质可得，从而利用线面垂直的判定定理可得结果；（2）先根据勾股定理证明与垂直，再以为轴建立空间直角坐标系，平面的一个法向量为，利用向量垂直数量积为零，列方程组求出平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式可求得二面角的余弦值.试题解析：(1)连接，因为，底面等边三角形，又因为是的中点，所以又因为，所以平面.（2）因为，由（1）可知，而，所以以为原点，以的方向为轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则，由题得平面的一个法向量为.设
13、平面的一个法向量为所以，即令得所以，所以由题意知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19.伴随着智能手机的深入普及，支付形式日渐多样化，打破了传统支付的局限性和壁垒，有研究表明手机支付的使用比例与人的年龄存在一定的关系，某调研机构随机抽取了50人
14、，对他们一个月内使用手机支付的情况进行了统计，如下表：（1）若以“年龄55岁为分界点”，由以上统计数据完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为“使用手机支付”与人的年龄有关；（2）若从年龄在，内的被调查人中各随机选取2人进行追踪调查，记选中的4人中“使用手机支付”的人数为.求随机变量的分布列；求随机变量的数学期望.参考数据如下：0.050.0100.0013.8416.63510.828参考格式：，其中【答案】(1)见解析;(2)见解析.见解析.【解析】试题分析：（1）根据表格中数据可完成列联表，利用公式：求得 ，与邻界值比较，即可得到结论；（2）选中的人中“使用手机支付”的人数为的可能取值为利用组合知识，根据古典概型概率公式公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列；由利用期望公式可得的数学期望.试题解析：（1）列联表如下：的观测值，所以有的把握认为“使用手机支付”与人的年龄有关.（2）由题意，可知所有可能取值有0，1，2，3，所以的分布列是.
