《2018学年湖南省长沙市高三第三次月考数学（文科）（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018学年湖南省长沙市高三第三次月考数学（文科）（解析版）（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2018届湖南省长沙市长郡中学高三第三次月考数学（文科）（解析版）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 集合，则中元素的个数为（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答案】D考点：集合的表示2. 对两个变量进行线性回归分析，计算得到相关系数，则下列说法中正确的是（ ）A. 与正相关B. 与具有较强的线性相关关系C. 与几乎不具有线性相关关系D. 与的线性相关关系还需进一步确定【答案】B【解析】与负相关，非常接近1，所以相关性很强，故选B.3. 若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）A.
2、B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：，故选C考点：1、重要不等式；2、二次不等式的解法【方法点晴】本题主要考查的重要不等式、二次不等式的解法，属于容易题但是本题比较容易犯错，使用该公式时一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件，如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）平时应熟练掌握双钩函数的图象，还应加强非定构定、不等作图这方面的训练，并注重表达的规范性，才能灵活应对这类题型4. 下图程序框图表示的算法的功能是（ ）A. 计算小于100的奇数的连乘积B. 计算从1开始的连续奇数的连乘积C. 从1开始的连续奇数的连乘积，当乘积大于100时，计算奇数的个数D. 计算时的
3、最小的值【答案】D【解析】由题意，此程序框图表示的循环结构，当不满足是，直至满足，即计算的最小的的值，故选D。5. 设是公比为的等比数列，若和是方程的两根，则（ ）A. 18 B. 10 C. 25 D. 9【答案】A【解析】由题意可得：a2010=，a2011=q=3本题选择A选项.6. 已知为角的终边上的一点，且，则的值为（ ）A. 1 B. 3 C. D. 【答案】A【解析】由三角函数定义得，选A.7. 欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公
4、式可知，表示的复数在复平面中位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B【解析】由题意，即，所以是第二象限，故选B。8. 已知某几何体的外接球的半径为，其三视图如图所示，图中均为正方形，则该几何体的体积为（ ）A. 16 B. C. D. 8【答案】C【解析】由该三视图可知：该几何体是一个正方体，切去四个角所得的正四面体，其外接球等同于该正方体的外接球，设正方体的棱长为，则有，故该正四面体的体积为，选C.9. 设函数，若数列是单调递减数列，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意，即，所以，故选B。10. 一棱长为6的正四面
5、体内部有一个可以任意旋转的正方体，当正方体的棱长取最大值时，正方体的外接球的表面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设球的半径为：r，由正四面体的体积得：,所以r=，设正方体的最大棱长为a，3=a=,外接球的面积为故选B点睛：在一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，并且能使正方体在纸盒内任意转动，说明正方体在正四面体的内切球内，求出内切球的直径，就是正方体的对角线的长，也就是正方体外接球的直径.11. 抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行
6、于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】令，得，即.由抛物线的光学性质可知经过焦点，设直线的方程为，代入.消去，得.则，所以.将代入得，故.故.故的周长为.故选B.点睛：抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线周上反射后,反射光线平行于抛物线的对称轴.12. 若函数在区间上，对，为一个三角形的三边长，则称函数为“三角形函数”.已知函数在区间上是“三角形函数”，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】，所以在单调递减，单调递增，则只需，函数就是“三角形函数”，所以
7、，解得，故选D。点睛：本题关键是理解三角形函数的定义，要对任意的都满足，则只需即可（三角形较小的两边之和大于第三边），通过求导得到函数的最小值和最大值，代入计算，得到的取值范围。第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知，其中是实数，是虚数单位，则_【答案】【解析】由题意，则，所以。14. 若双曲线上存在一点满足以为边长的正方形的面积等于（其中为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是_【答案】【解析】由题意，又，则，即，得，所以，所以，即的取值范围是。15. 已知平面上的单位向量与的起点均为坐标原点，它们的夹角为，平面区域由所有满足的点组成，其中，那么
8、平面区域的面积为_【答案】【解析】由题意，所以，令，则，所以，得到可行域，所以面积为。点睛：利用向量的坐标表示，得到，令，则，则条件中关于的关系就转化到的关系，得到点的可行域，求出面积。本题考察可行域的转换，学会转换方法。16. 是定义在上的奇函数，当时，则函数在上的所有零点之和为_【答案】8【解析】由题意，与都是奇函数，第一象限图象如图，当时，两图象无交点，所以，上的零点之和为8.三、解答题 （本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 在中，.（1）若，求的长；（2）若点在边上，为垂足，求角的值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析: 先求CD，在BCD中
9、，由正弦定理可得： 结合BDC=2A，即可得结论解：（1）设，则由余弦定理有：即解得：所以（2）因为，所以.在中，由正弦定理可得：，因为，所以.所以，所以.18. 如图1，在矩形中，是的中点，将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，其中平面平面. 图1 图2（1）证明：平面；（2）设为的中点，在线段上是否存在一点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：(1)结合题意可证得平面，结合面面垂直的判断定理即可证得题中的结论；(2)由题意可得共面，若平面，据此可得.试题解析：（1）证明：连接，为矩形且，所以，即，又平面，平面平面平面（2）取中点
10、，连接，且，所以共面，若平面，则.为平行四边形，所以.19. 已知具有相关关系的两个变量之间的几组数据如下表所示：（1）请根据上表数据在网格纸中绘制散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程，并估计当时，的值；（3）将表格中的数据看作五个点的坐标，从这五个点中随机抽取2个点，求这两个点都在直线的右下方的概率.（参考公式：，）【答案】（1）散点图见解析；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）绘制散点图；（2）利用参考公式，求出回归系数，得到回归方程，得到答案；（3）从图中可知，2点在直线左上方，3点在直线右下方，穷举随机取两点的可能，得到概率。试题解析：（1）散点图
11、如图所示：（2）依题意， ，；回归直线方程为，故当时，.（3）五个点中落在直线右下方的三个点记为，另外两个点记为，从这五个点中任取两个点的结果有，共10个.其中两个点均在直线的右下方的结果有3个，所以概率为.点睛：回归直线方程的题型关键是回归系数公式的应用，利用参考公式，分别求出、，得到回归系数，写出回归方程；简单的概率的求解可以利用穷举法。20. 已知圆，某抛物线的顶点为原点，焦点为圆心，经过点的直线交圆于两点，交此抛物线于两点，其中在第一象限，在第二象限.（1）求该抛物线的方程；（2）是否存在直线，使是与的等差中项？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）或.【解
12、析】试题分析：（1）圆方程可化为可化为 圆心的坐标为， 抛物线的方程为；（2）由等差数列性质可得 ，再由， 存在满足要求的直线，其方程为或.试题解析：（1）可化为，根据已知抛物线的方程为（）.圆心的坐标为，解得.抛物线的方程为.（2）是与的等差中项，圆的半径为2，.由题知，直线的斜率存在，故可设直线的方程为，设，由，得，故，.由，解得.存在满足要求的直线，其方程为或【点睛】本题解题关键有：1.利用数形结合思想求得，从而求得抛物线方程；2.利用转化化归思想求得，进而取得；3.利用设而不求法及弦长公式将上述条件坐标化.21. 已知，其中.（1）求函数的极大值点；（2）当时，若在上至少存在一点，使成
13、立，求的取值范围.【答案】（1）1；（2）.【解析】试题分析：（1）求导，对进行四类讨论，得到极大值的情况；（2）在上至少存在一点，使成立，等价于当时，结合（1）的单调性情况，求，得到的取值范围.试题解析：（1）由已知 ，当，即时，在上递减，在上递增，无极大值；当，即时，在上递增，在上递减，在上递增，所以在处取极大值；当，即时，在上递增，无极大值；当时，即时，在上递增，在上递减，在上递增，故在处取极大值.综上所述，当或时，无极大值；当时，的极大值点为；当时的极大值点为.（2）在上至少存在一点，使成立，等价于当时，.由（1）知，当时，函数在上递减，在上递增，要使成立，必须使成立或成立，由，解得，
14、由，解得.，.当时，函数在上递增，在上递减，综上所述，当时，在上至少存在一点，使成立.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修4-4：坐标系与参数方程22. 在直角坐标系中，圆的方程为，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆的极坐标方程；（2）直线与圆交于点，求线段的长.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由，得到圆的极坐标方程；（2）将直线的极坐标方程代入，得到，所以.试题解析：（1）可化为，故其极坐标方程为.（2）将代入，得， .选修4-5：不等式选讲23. 已知，不等式的解集是.（1）求的值；（2）若存在实数解，求实数的取值范围.【答案】（1）2；（2）.【解析】试题分析：（1）通过讨论
