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1、- 1 - 如何以自由軟體R輔助高中機率統計課程的學習 林炯伊 國立臺灣師範大學數學所統計組 臺北市立麗山高中 一、序言 資訊融入教學的教育價值資訊融入教學的教育價值 資訊融入教學的一大優勢就是可以做中學 ，例如圓周角或等弧對等角性 質，我們可以在 GGB 裡直接拉動圓弧上一點來觀察；另外，指對數、三角 等函數圖形的各種性質，也可以在 GGB 介面中動態的呈現。因此，其學習效果 是傳統板書教學難以達到的！相對於幾何單元，對於機率與統計，資訊融入教 學的發展腳步反而較為緩慢，然而這個單元卻很適合與電腦一起搭配學習，因 此筆者於麗山高中任職時，嘗試將 R 軟體的統計功能應用於教學現場，期待能 對統
2、計方面的教學作一些補充。 R 軟體與軟體與 GGB 軟體的不同定向軟體的不同定向 由於眾多令人欣賞的功能，多數教師都喜歡使用 GGB 軟體。事實上，在機 率統計單元中，R 軟體和 GGB 軟體都可以做為好用的工具，教學上精彩可期。 不過兩者使用的時機與定向不同，各有其擅場。GGB 在教學演示上可以發揮得 淋漓盡致，R 軟體則擁有強大的運算功能，能協助研究更複雜的問題。 在機率統計單元上，教師若選擇使用 R 軟體有一個長遠的好處，其可以銜 接大學的統計課程，即使對於社會科學，R 軟體可以取代 SPSS 或 SAS 等統計 套裝軟體，學生有機會在高中數學接觸到未來的課程。因此，將 R 軟體做為補
3、充 GGB 的資訊教學工具，對學生來說不啻為一種有意義的選擇。 R 軟體的背景簡介軟體的背景簡介 R是一款專為統計而創的免費自由軟體，由奧克蘭(Auckland)大學統計 系的兩位研究員：Robert Gentlemen 與 Ross Ihaka 及其他志願人員於 1995 至 1997 年所開發，雖然原始對象為專業的統計工作者，但過去的十多年來，世界 各地皆有愛好者採用，共同回饋、開發出更多好用的功能，至今仍蓬勃發展中。 由於 R 是免費軟體並且提供所有原始碼，所以各大專院校的統計課程也都紛紛 捨棄 SAS、SPSS、Matlab 等商業套裝軟體而改用 R。 由於 R 軟體具備靈活的實驗模擬
4、以及矩陣運算等功能，在教學上，有助於 學生理解機率與統計單元中，某些只靠講述法難以證明或了解的內容，例如： 二項分配的近似分配、信賴區間、68-95-99.7 規律、複雜或不直觀的機率問題、 馬可夫鍊的收斂等。另一方面，R 軟體也有助於教師開發新的研究專題、出 - 2 - 考題甚至應用在班級經營。例如：以往不研究的必須大量排容原理或分組討 論的機率問題 、快速的因數分解、各種數值計算(積分)、矩陣運算與反矩陣、 隨機的班級座位表等。綜上所述，筆者認為 R 軟體是一款有潛力同時也有魅 力的統計軟體，值得將之運用於教學現場，因此希望能介紹給大家認識。 本文架構介紹本文架構介紹 本文中，筆者首先比較
5、 GGB 軟體與 R 軟體的異同，讓熟悉 GGB 的讀者 能連接其教學經驗，並對 GGB 與 R 軟體使用的時機有更清楚的認識。接著， 筆者介紹 R 方便的模擬實驗功能，其作用恰如利用 GGB 來模擬研究幾何 問題。最後，筆者也將簡介 R 軟體的矩陣運算功能以及 3D 作圖。透過 R 軟體 的協助，讓我們期待機率與統計單元也能夠透過電腦做中學！ 二、R 軟體與 GGB 軟體的功能比較： (一) 、GGB 與 R 軟體的使用時機 建立大樣本時，GGB 軟體時常遭遇速度緩慢的問題。但是在高中數學的 範圍內，GGB 優秀的演示功能搭配重新計算所有亂數在教學上就非常的好 用了。但是在指令 Random
6、binomial 上，需要有二項式分配的概念，高一學生還 沒有學二項式分配，必須特別注意。 GGB 在抽樣與計算上的最大限制除了速度外，還有兩個主要的限制。 其一、其替代的迴圈功能限制太大，無法做出雙重迴圈效果。 其二、GGB 雖有好用的代數區自定工具 ，卻不能發揮很強的計算效果。 對於 GGB 的限制，R 軟體則可以利用迴圈功能上的優勢，寫小函數來化 簡複雜的問題。例如：投擲一枚公正硬幣 100 次，過程中發生連續 8 次以上 正面的機率為何？若用 1 表示正面，0 表示反面。R 可以先寫一個小函數將 數列 1,1,1,0,0,1,0,1,1,1,1,0 轉為 3,1,4，再討論出現連續正面
7、的情況與機率，由於 GGB 沒有雙重迴圈，則不易做出這個問題。 另外，如果想要研究很大的數字，例如：中山大學雙週一題 98 學年度第 2 學期第 5 題：設 90！的末位非零三位數為 n，試求 n 值？沒有一台計算 機能直接算出 90！，但利用 R 方便的迴圈功能，可以將每一位數記錄在一個數 列中，末項代表個位數，再依序為十位數、百位數等，因而在 0.2 秒內求出 這個天文數字的每一位！ 綜上所述，依照教學或科展研究使用以及問題複雜程度的不同，教師可以 自行決定兩者的使用時機。筆者亦將兩種軟體的優勢，做成下表以供參考： - 3 - 展示與繪圖功能展示與繪圖功能 GGBR 可以藉由繪圖區，搭配數
8、值滑桿、按 鈕以及滑鼠拖曳來生動的呈現。 優 雖可以畫出各式統計圖形，但是沒有 GGB 的數值滑桿來的方便。 GGB4.0 還不支援 3D 圖形支援 3D 圖形，還可以任意上下左右旋 轉，以及在空間座標加點、直線或曲 線。 優 研究功能研究功能 GGBR 沒有直接的迴圈功能，只能使用 Sequence 搭配 If 等，產生簡單的迴圈 效果，對於複雜的機率問題，就難以模 擬研究。例如： 投擲一枚公正硬幣 100 次，過程中發生 連續 8 次以上正面的機率為何？ (約 0.17) 另外，GGB 的指令常常要擠在同一行， 而且單一個指令都很長，不利於撰寫或 了解複雜的多重指令。詳見下一頁。 提供靈活
9、的迴圈功能以及豐富的現成 指令，可以模擬所有的機率與統計問 題。 優 註 1：軟體版本為 GGB 4.0 與 R 2.12.2 註 2：電腦作業系統為 Windows XP ，Pentium(R) 4 CPU 3.20GHz 註 3：GGB 試算表只有 9999 列可用，列數多的時候速度緩慢。 註 4：GGB 建立大樣本時如果利用數值滑桿，速度會變快很多，但是在切換視 窗、選單等時候還是造成嚴重 lag。 註 5：GGB 所需的運算時間並不穩定，若同時計算或抽樣，會導致更嚴重的 lag。 - 4 - 指令比較指令比較 效果 GGBR 數列 s 中小於 3 的個數 Countifx=1) 步驟
10、4. 計算比例 所求條件機率之近似值。輸入 n/m 指令整理如下 (直接複製下列指令至 R 中，即可得到右欄之模擬結果) x=rep(c(1,0),c(10,8) A=replicate(10000,sample(x,2) s=A1,+A2, n=sum(s=2); m=sum(s=1) n/m 求算機率： (|)P 兩球皆紅球至少取到一顆紅球 () = () P P 兩球皆紅球 至少取到一顆紅球 () = 1() P P 兩球皆紅球 兩皆顆白球 1018 22 818 22 / 1/ CC CC 9 0.36 25 - 13 - (三)、模擬複雜的問題 (I) 以下題為例 (出自余文卿、李白
11、飛主編的龍騰版數學(甲)上冊課本) 張家有 1 男 1 女兩個小孩，李家有 2 男 1 女三個小孩。今任意抽選一家並從這 家選出 1 小孩。假設每一家被選中的機會均等，而且每一家中每一小孩被選中 的機會均等，求被選出的小孩為男孩的機率？ 步驟 1.建立樣本空間 與 記錄模擬結果之數列 z 以 2 代表張家，3 代表李家 x=c(2,3) 以 x2、x3 分別代表張、李家小孩數列，1 為男孩，0 為女孩 x2=c(1,0) ;x3=c(1,1,0) 建立記錄抽樣結果之數列 z，設定模擬抽取 10000 次 z=rep(0,10000) 步驟 2.用sample 、 for 、 if 、 else
12、指令做抽樣 使用迴圈將 10000 次的抽取記錄成 z for(i in 1:10000) if(sample(x,1)=2) zi=sample(x2,1) elsezi=sample(x3,1) 步驟 3. 用= 、 sum篩選與計算所要的樣本數計算選出為男孩的次數 n=sum(z=1) 步驟 4. 計算比例 所求機率之近似值 n/10000 指令整理如下 (直接複製下列指令至 R 中，即可得到右欄之模擬結果) x=c(2,3) x2=c(1,0) ;x3=c(1,1,0) z=rep(0,10000) for(i in 1:10000) if(sample(x,1)=2) zi=samp
13、le(x2,1) elsezi=sample(x3,1) n=sum(z=1) n/10000 求算機率： ()P 男孩 () () P P 張家的男孩 李家的男孩 (|) () (|) () PP PP 男孩張家張家 男孩李家李家 1 12 1 + 2 23 2 7 0.5833 12 - 14 - (四)、複雜的問題 (II) 以下題為例 (出自許志農、黃森山主編的龍騰版選修數學一) 一種檢驗某傳染病的儀器，依過去的經驗得知：患此病的人，有 90%的機率經 此儀器檢驗會呈現陽性反應；不患此病的人，也有 5%的機率會被誤檢而呈現陽 性反應。假設某地區有 6%的人罹患此病，從此地區中任選一人接
14、受檢驗，若檢 驗結果呈陽性反應，求此人確實罹患該病的機率。 步驟 1.建立樣本空間 與 記錄模擬結果之矩陣 z 建立該地區的樣本空間，1 代表患病，0 代表沒患病 x=rep(c(1,0),c(6,94) 建立病人 x1 與健康人 x0 的檢驗結果樣本空間，1 代表陽性，0 代表陰性 x1=rep(c(1,0),c(90,10) ; x0=rep(c(1,0),c(5,95) 建立維度矩陣，第一列與第二列分別記錄模擬的 10000 人是否患病，2 10000 與檢驗是否呈現陽性 z=matrix(0,2,10000) 步驟 2.用sample 、 for 、 if 、 else指令做模擬 用迴
15、圈來抽樣並記錄 for(i in 1:10000) z1,i=sample(x,1) if(z1,i=0)z2,i=sample(x0,1) elsez2,i=sample(x1,1) 步驟 3.用用= 、 sum 篩選與計算所要的樣本數 計算呈現陽性之人數 m=sum(z2,) 計算呈現陽性且真正患病之人數 s=z1,+z2,;n=sum(s=2) 步驟 4. 計算比例 所求機率之近似值 n/m 指令整理如下 (直接複製下列指令至 R 中，即可得到右欄之模擬結果) x=rep(c(1,0),c(6,94) x1=rep(c(1,0),c(90,10) x0=rep(c(1,0),c(5,95
16、) z=matrix(0,2,10000) for(i in 1:10000) z1,i=sample(x,1) if(z1,i=0)z2,i=sample(x0,1) elsez2,i=sample(x1,1) m=sum(z2,) s=z1,+z2,;n=sum(s=2) n/m 求算機率： (|)P 患病陽性 () = ()+ () P PP 患病且陽性 患病且陽性健康且陽性 P()P(|) = P()P(|)+P()P(|) 患病陽性患病 患病陽性患病健康陽性健康 690 54 100 100 0.5347 690945 101 100 100100 100 - 15 - 四、 R 軟體與其他的高中課程 在高中數學的範圍裡
