测试信号处理技术第三章

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1、 第三章 离散时间序列及其z变换 z变换是离散信号分析和处理，离散系统设计 和 实现中一种重要的数学工具 ，它在离散系 统中 的地位与作用，相当于连续系统中的拉 氏变 换，应用它可以把离散系统的数学模型 即差分方程转换为简单的代数方程，使求解 过程简 化。本章内容是数字信号处理的基础 之一。 基本内容 序列概念 z 变换定义 z 变换收敛域 z 反变换 常用序列的z 变换 z变换的性质 3.1 离散时间信号序列 3.1.1 序列 在离散信号的分析与处理时，通常把按 一定先后次序排列，在 时间上不连续的 一组数的集合，称之为“序列”。因此， 序列 可以用一集合符号：x(n) 来表示 。 其中：n

2、为整数表示序列的序号 花括号中的x (n)是表示序号第n个离散时 间点的序列值 3.1.1 序列 为简化书写，通常可直接用通项x(n)代替序列 x(n)的集合符号。序列的图形表示如图3.1所 示 3.1.1 序列 图3.1 序列的图形表示 n在实际离散信号中，是表示信号的时间（ 或 空间）变量，x(n)是时刻n时的信号值。 3.1.1 序列 需要特别指出：抽样序列与冲激抽样信号表 示的是性质完全不同的两种信号。 当序列是由时域连续信号经均匀抽样转换得 到时， 即在抽样的瞬间保留了原连续信号的 幅度值，把这 种信号称抽样数据信号，也称 为抽样序列，表示为 x(n)，抽样序列x(n)在离 散瞬时，

3、其函数值为有限值，而 在其它时刻 的函数值不能理解为零值，并无定义。 3.1.1 序列 冲激抽样信号是由一系列冲激构成的，在出 现冲激处的 离散瞬时，其函数值趋于无穷在 其它时刻函数值是 零，是有定义的，可表示 为 xs（nT）。 严格意义上说，序列才是真正的离散时间信 号的表征，而冲激抽样 信号是一系列连续脉 冲脉宽趋于零的极限情况，仍然属于连续时 间信号，也称为冲激串信号，它能够作用于 连续系统产生连续的 输出信号响应，序列则 不能作用于连续系统，只能作用在离散系 统 上而产生离散输出响应。 3.1.1 序列 通过适当的数学处理（今后经常用到）,可以 把 冲激抽样信号转换为抽样序列，即 (

4、3.1 ) 式（3.1）中，T是抽样周期。转换的原理 如图3.2 （a）所示，其中的x(t)是输入的连 续时间信号， T (t)是周期单位冲激信号 。 图3.2 连续时间信号通过冲激抽样转换为抽样序列 3.1.1 序列 上述从连续时间信号到序列转换是 一种理 想转换，是数学分析和处理 的需要，实现转换 的实际装置，就 是A/D转换器，它是理想转换 的近 似。 3.1.2 基本序列 与常见的连续时间信号相对应，作为基本的 离散时间 信号基本序列有以下几种： 1单位抽样序列（单位脉冲序列）(n) (3.2) 这一序列只在n = 0处的值为1，其余各点都为 零，如 图3.3所示。它在离散系统中的作用

5、类 似于连续系统中 的单位冲激函数(t)。 单位抽样序列 单位阶跃序列(n) 2、单位阶跃序列(n) (n)定义为 如图3.4所示。它与连续系统中的单位阶 跃信号 类似，但(t)在t = 0处为跳变点 ，其左、右极 限不相等，而(n)则在n = 0处明确定义为1。 单位阶跃序列(n) 图3.4 单位阶跃序列 单位阶跃序列(n) 单位阶跃序列也可表示为： (3.4) 单位抽样序列则可表示为： （3.5） (n)与连续信号中的(t)类似，可把一个序 列 限定为单边序列，如x (n) (n)，表示x (n) 为 单边序列（序列从n = 0开始，严格的单边序 列定义见后）。 矩形序列 3矩形序列 矩形

6、序列定义为 (3.6) 它从n = 0开始，直至n = N-1，共N个幅度为1 的 序列值，其余均为零，如图3.5所示。如果 将它表示 为RN (n-m)，则表示序列取值为1的 范围是：m n N+m-1，它在离散系统中的 作用类似于连续系统中 的矩形脉冲。 矩形序列 矩阵序列也可由阶跃序列表示： （3.7） 图3.5 矩形序列 单边指数序列 4单边指数序列 可表示为 (3.8) 根据a的不同，序列值有多种不同的情况： 当| a | 1，序列发散；| a | 0，序列 值均为正；a | a | 则级数收敛于 (3.39) z变换的收敛域 上述运算结果表明：两个不同的序列可以对 应相同的z变换，

7、而收敛域并不同，因此，为 了使序列和z变换是一对一的对应，在给出序 列z变换的同时，必须指定其收敛域。 z变换的收敛域 收敛域通常也用图形来形象表示： 图3.12 收敛域的图形表示 几类常见序列z变换的收敛域 1有限长序列（有始有终序列） 这类序列只在有限区间内（n1 n n2 ）具有 非 零值，根据n 1 和n 2 相对于零点的位置不 同有三种 情况： （1）n1 0； （2）n1 0 ，n2 0； （3）n1 0，收敛域不包含z=0点，即0 0 , b a）。 解： 例3.2 上式右边的第一项为 右边序列的z变换 ，收敛域 为| z | a ， 第二、三项是左边序列的z变换 ，收 敛域为|

8、 z | a，扩大至整个z平面。 双边z变换的时移特性 2时移特性（位移性） 时移特性表征序列时移后的z变换与时移前原序 列z变换的 关系。这种关系对单边 、双边z变换 有所不同，分别加以讨 论。 （1）双边z变换的时移特性 序列x ( n )的双边z变换为 Z x ( n ) = X ( z ) 则序列右移后，其双边z变换为 (3.57) 双边z变换的时移特性 序列左移后的双边z变换为 (3.58) 式中m为任意正整数。 由上述特性表达式可见：如果原序列z变换 的 收 敛域包括z = 0或z = ，则序列位移后z变 换的零 极点可能有变化；如果原序列z变换 的 收敛域不包 括z = 0或z

9、= ，则序列位移后z 变换 的零极点不 会发生变化，例如序列为双 边序列，其z变换 的收 敛域为圆环 域，序列 的移位不影响收敛域。 单边z变换的时移特性 （2）单边 z变换 的时移特性 若序列x ( n )的单边 z变换为 Z x ( n ) ( n ) = X ( z ) 则序列左移后的单边 z变换为 (3.59) 序列右移后的单边 z变换为 (3.60) 单边z变换的时移特性 式中m为任意正整数，对于m = 1和2，可由上两 式写 出具体的表达式为 如果序列x ( n )为因果序列，右移后的单边 z变换 ，由于 式（3.60）右边第二项均为零，则应为 (3.61) 单边z变换的时移特性

10、由于实际中经常应用的是因果序列，所以上 述两式最 为常用。 例3.4 已知单边（右边）周期序列 xp(n)=x(n+kN) ,k为正整数，N为周期，N 0，设该周期序列的第一 个周期（称为主值 序列）为x1 (n)，并有 求周期序列 xp(n)的z变换。 单边z变换的时移特性 解：xp (n)可看作x1 (n)右移N，2N，而构成的， 可 表示为 利用z变换的时移特性，可得 若|Z-N | 1，则上述级数收敛，有 因此可得 z域微分特性 3z域微分特性 若：Z x (n) = X (z) 则 (3.63) 还可进一步得出 (3.64) 例3.5 已知序列的z变换 ，即 ， 试求序列的z变换。

11、解：由微分特性可得 z域尺度变换特性 其结果与前面单边 指数序列中所推得的结果相同， 参见式（3.47）。 4z域尺度变换 特性 若： 则： (3.65) 上式表明：x (n)乘以指数序列an ，相应于z平面的尺 度 变化为（ ）。还有下列类似的关系式： (3.66) z域尺度变换特性 以及 (3.67) 例3.6 试求 的z变换Y(z)。 解：设 ，则 ，而(n)的z变换 E(z)应为 所以有 收敛域均为|z| 1 。 z域尺度变换特性 由这个例子可以看出：原序列E (z)的原极 点为z =1，而 Y (z)的极点，相当于原极点 逆时针 旋转了0 弧度。可 以认为 ，当用 乘以原序列时，其z

12、变换 的极点与原极点 相比，幅值不变，相角增加了0 弧度，所 以该特性也 称为频 移特性。 时域卷积特性 5时域卷积特性 若： Z x(n) = X(z) Rxn a 。如 图3.18所示，图中的网格部分是X (z)与 H (z) 收敛域的重叠部分，单斜线部分为两序列卷 积后收敛 域的扩大部分。 时域卷积特性 图3.18序列卷积的收敛域 z反变换 3.4 z反变换 定义 反变换 定义 已知序列x (n)的z变换为 X (z)，则由X (z)及其 收敛域 求出所对应 序列的运算，称为z反变 换，记作 z反变换 通常有围线积 分法（留数法）、幂 级数展开法 （长除法）和部分分式展开法等 三种求解方

13、法。还有简 便的基本序列与其 基 本序列与其z变换对 关系 变换对 关系求解法 。 例如，我们已经得到 z反变换 如果要求以下z变换的反变换： 就可以直接得到序列： 还可以把序列的z变换分解为几项基本z变 换的 和，分别得出相应的 z反变换，再代 数相加。 围线积 分法 围线积 分法是确定z反变换最基本的方法，由复变 函数理论， 可得到计算z反变换的围线积 分公式 。 若已知X (z)及其收敛域 （参见图3.19）， 将上式两端各乘以zm-1 ，然后沿一围线C积分，积 分路径C 是 一条在X (z)收敛域（Rn , Rm ）以内， 逆时针方向围绕原 点一周的闭合曲线，通常选 择z平面收敛域内以

14、原点为中心的 圆，如图3.19 所示。 围线积分法 围线积分表示为，可得 图3.19围线积分路径 围线积分法 由复变函数中的柯西定理，有 从而，式(3.69)的右端仅m=n 一项有值，其余 各项都为零，式(3.69)变成 经整理最后可得： （3.70） 围线积分法 对于有理z变换 来说，围线积 分通常可用 留数定理 来计算，即 （3.71） 上式中的Res表示极点的留数，z m 为X (z) 极 点， 该式说明X (z)的反变换 序列 x (n)是X (z) 在围线 C 内各极点的留数和。 围线积分法 X (z) zn-1在z =zm 处有s阶极点，其留数可用 下 式计算 （3.72） 若为一

15、阶极点，即s = 1，上式可简化为 (3.73) 围线积分法 在应用上述各式时， 1、注意收敛域内所包围的极点情况，以及对 于不同 的n值，在z = 0处的极点可能具有不同 的阶次。 2、留数法由于求解过程复杂，在离散非移变 系统中 并不常用。 同一个z变换的表达式，收敛域不同，对应的 序列就 不同，选择积分围线也不相同，应在 相应的收敛域内 （圆外、圆内或圆环域）选 择。 幂级数展开法 3.4.2 幂级数展开法 由z变换的定义 若把已知的X (z)在给定的收敛域内展开成z的幂级数 之 和，则该级 数的系数就是序列x (n)的对应项 。 X (z)在一般多为有理分式，可表示为 通过长除法可将X (z)展成幂级数形式 幂级数展开法 应注意： 在进行长除前，应先根据给定的收敛域是 圆外域还是 圆内域，确定x (n)是右边还 是 左边序列，才能明确X (z)是按z的降幂还 是 升幂排列来长除，右边序列按z的 降幂（ 或z -1的升幂），左边序列顺序则反之。 例3.8 求 的z反变换 。 幂级数展开法 解：由于给定收敛域| z | | a |是圆外域，则x (n)应是右序 列，X (z)的分子分母应按z的 降幂排列进行长除。 幂级数展开法 长除后得 因此 例3.9 求 的z反变 换。 解： 由于