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1、函数的单调性 我们通过几个函数的图象观察函数值随自变量而变化 的规律。 增函数 增函数 减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I: 一、函数是单调性的定义 如果对于定义域I内 上的 两个自变量的 值 ，当 时，都有 ，那么就说函数 在区间D上是 某个区间D任意 增函数 （一）增函数 x 0 y 上升 一般地，设函数f(x)的定义域为I: 如果对于定义域I内 上的 两个自变量的 值 ，当 时，都有 ，那么就说函数 在区间D上是 某个区间D任意 减函数 （二）减函数 x 0 y 下降 （三）单调性 如果函数 在区间D上是增函数或减函数，那么 就说函数 在这一区间具有（严格的）单调性，区 间D叫做
2、 的单调区间 1.在中学数学中所说的单调性是指严格的单调性, 即必须是f(x1)f(x2),而不能是 f(x1)f(x2) (或f(x1)f(x2); 二、 对函数单调性的理解 2.函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的, 是局部概念; 3.学习函数的单调性,要注意定义中条件和结论是 双向使用的. x y 0 4.函数的单调性是函数在某个区间上的整体性质 。 （这个区间可以是整个定义域这个区间也可 以是定义域的真子集） 5.单调性讨论必须在一个区间上。 6.区间端点的写法（对于单独的一点，它的函数 值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存 在单调性问题，因此写单调区间是包括端点也可 以不包
3、括也可以，但对于某些点无意义时单调区 间就不包括这些点）(如 y= y=1x ) 7.并不是所有函数都具有单调性，有的函数不 具有单调性 8.函数单调性定义中的, ， 必须满足任意性 ，不可以随意取两个特殊值。 函数单调性的几何意义： 单调增函数：在定义区间上图像从左到右上升 单调减区间：在定义区间上图像从左到右下降 2、如果对于区间（a，b）上的任意x有f(x)f(a)，则函数f(x)在 区间（a，b）上是增函数 想一想 判断下列说法是否正确 1、如果对于区间（a，b）上存在 ，使得 则函数f(x)在区间（a，b）上是增函数。 3、函数f(x)在区间（a，b）上有无数个自变量x，使得当 时，
4、有 则函数f(x)在区间（a，b）上是增函数。 4、若f(x)是R上的增函数，且 , 则 。 错误 错误 错误 正确 三、单调区间的求法： （1）直观法：对于我们熟悉的函数，如一次 函数，二次函数，反比例函数等，可直观判断 它们的单调性，写出其单调区间 （2）图像法：能作出图像的函数我们可通过 观察法确定函数的单调区间。 （3）定义法：有些函数不能作出图像，也不 能观察出单调区间，只有用定义法来求其单调 区间，对于抽象函数单调性判断的方法 依据函数图象给出单调区间 变式训练2 求函数y= 的单调区间 . 不能作函数图像用定义法求解函数单调性及单调区间 函数单调性的应用 1.请根据下图描述某装配
5、线的 生产效率与生产线上工人数量 之间的关系. 解：在一定范围内，生产效率随着工人的数的增加而提 高，当工人数达到某个数量时，生产效率达到最大值， 而超过这个数量时，生产效率又随着工人数增加而降低 。结论：并不是工人数越多，生产效率越高。 2.根据下图说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间 上，函数是增函数还是减函数. 解：函数的单调区间是-1,0）,0,2）,2,4）,4,5. 在区间-1,0）,2,4）上函数是减函数； 在区间0,2）,4,5上函数是增函数. 3.整个上午（8：0012：00）天气越来越暖，中午（12： 0013：00）时分一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多.暴风 雨过后，天气转暖，直到太阳下山（18：00），才又开始 转凉.请画出这天8：0020：00期间气温作为时间的函数 的一个可能图象，并说明所画函数的单调区间. 解：单调增区间是 8,12）,13,18）; 单调减区间是 12,13）,18,20.
