非线性算子及非线性方程的若干讨论

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1、太原理工大学 硕士学位论文 非线性算子及非线性方程的若干讨论 姓名：王敏星 申请学位级别：硕士 专业：应用数学 指导教师：张玲玲 20070401 太原理工大学硕士研究生学位论文 非线性算子及非线性 方程的若干讨论 摘要 本文主要讨论了在半序线性空问中几类非线性算子不动点问题，得到了这些非线性 算子在一定条件下有唯一不动点的结论。另外，本文还运用算子不动点定理，讨论了几 类非线性微分方程解的存在性问题。 全文共分四章： 第一章利用半序方法，在半序线性空间中研究了一类具有凹凸性的混合单调映射， 即彳如必：D D 专互，关于x 是增的，关于Y 是减的，且满足 A ( u ，t 。 y ) t 1

2、+ r ( t ，x ，J ，) 】彳( 工，力 ( 其中，y D ，t ( O ，1 ) ) ，得到了不动点存在唯一性的充分必要条件，从而推广了相关文 献中的相应结论。 第二章通过运用文 1 2 】中推广了的A l l l a l n 和L e g g e t t - W i l l i a m s - - 解定理利用不动点 指数理论研究了二阶三点边值问题 f 。( r ) + 口( f ) “( f ) + 6 ( f ) “( f ) + 1 l ( f ) 厂( 甜) = o ，t ( o ，1 ) ， l u ( O ) = o ，a u ( v ) = u O ) ， 其中O o

3、，使得A x o , 4 x ) 0 ，s J 2 ( x ) h s x ( 功埘，显然咒c P 。关于锥的讨论详见 文 3 ，4 ，3 0 1 ，关于最的讨论详见文 3 2 1 。 在上世纪非线性算子理论得到了飞速发展，特别是出现了一凹( 凸) 算子，口一凹 ( 凸) 算子等具有凹凸性的算子后，很多学者都对其给予了极大的关注。 1 9 7 5 年，K r a s n o s e l s k i i ，M A ”1 提出了一凹( 凸) 算子的概念 定义4 彳：P P 0 ，若4 满足 1 ) V x 0 ，3 a ( x ) O ，b ( x ) 0 使得a l l os A x 0 ，若0

4、 满足 1 ) V x 0 , 3 a ( x ) O ，b ( x ) O 使得a u o A x 口 0 使c g e x f i e ，其中e P + 。 定义8 1 1 设Q 是锥性体，e Q c ，A ：Q Q 专e 是混合单调映射，若存在函数 r l ：( O ，1 ) x Q x Q 一( O ，+ ) ，使得对任何x , y O ，t ( O ，1 ) 有 彳( 所，t - 1 力t 1 + r ( t ，墨J ，) 】4 ( J ，) 称4 为Q 上的P 一凹凸混合单调映射。 X 2 1 给出了具有一凹( 凸) 性混合单调算子不动点存在的充要条件，本文第一章 则是在半序线性空

5、间中定义了锥性体( 文 1 9 ，由此给出一类具有e 一凹凸性混合单调算 子的不动点存在的充要条件，从而推广了相关结论。 关于B a n a c h 空间中非线性微分方程问题 B a n a c h 空间中的微分方程理论是近三、四十年发展起来的一个新的数学分支。它把 常微分方程理论和泛函分析理论结合起来，利用泛函分析方法研究B a n a c h 空间中常微分 方程。它的理论在无穷常微分方程组、临界点理论、偏微分方程等方面都有广泛的应用。 常微分方程边值问题在经典力学和电学中有着极为丰富的源泉。它是常微分方程学 科的重要组成部分之一。常微分方程两点边值问题( 如D i r i e h l e

6、t 边值问题、N e u m a n n 边 值问题、R o b i n 边值问题、S t u r m - L i o u v i l l e 边值问题及周期边值问题等) 已被深入而广泛 的研究，并取得系统而深刻的结果。事实上，自1 8 9 3 年P i c a r d 运用迭代法讨论非线性二 阶常微分方程两点边值问题解的存在性和唯一性之后，常微分方程两点边值问题的研究 就获得了蓬勃发展( 见文 7 1 3 】) 。 本文在第二章中运用文【1 2 】推广的三解定理讨论了如下二阶三点边值问题的多重非 负解。 f ( ，) + 口( 力甜( ，) + 6 ( ，) “O ) + 五( ，) 厂(

7、“) = 0 ， ，( o ，1 ) I “( o ) = o ，a u ( q ) = ”( 1 ) ， 其中O 口 0 使口e x f i e ) ，其中e P + ，显然P + ，e 都是锥性体。 设E 为序空间，D c E ，若彳( x ，Y ) ：D x D _ E 关于x 是增的，关于Y 是减的，则称 A 为混合单调的，若x , y E D ，x s Y 使得 x A ( x ，y ) ，a ( y ，Y ( 1 一1 ) 则称( x ，力为4 的耦合下上不动点；若( 1 - 1 ) 式中两个不等号成为等号，则称( x ，y ) 为4 的 耦合不动点；若x D 使a ( x ，x

8、) = X ，则称x 为4 的不动点。 定义1 1 1 1 1 设Q 是锥性体，ec Q cP + ，A ：Q x Q - - - e ，若存在函数 ，7 ：( 0 ，1 ) x Q x Q 斗( 0 ，+ ) ，使得对任何工，Y Q ，t ( O ，1 ) 有 爿( t x ，t 。Y ) t 1 + O ( t ，墨y ) 】4 ( x ，) ，) ( 1 - 2 ) 称“为Q 上的口一凹凸映射。 1 2 半序线性空间中一类非线性映射的不动点定理 定理1 2 1 设E 为序空间，Q c E 是锥性体，且ec Q 亡只+ c E ，彳：Q Q _ E 是 映射满足： 1 ) 存在序空间】，及

9、混合单调映射C ：g Q _ J ，使得c ( Q ，Q ) 是y 中的相对仃一完备 集，且 C ( t u ，一0 t C ( u ，儿甜，V QO t 1 + r ( t ，“，v ) M ，( 1 6 ) 所以A 为e 一凹凸映射。 下证若4 有不动点，则4 仅有一个不动点。事实上，若有甜+ ，矿e 使得 彳( 矿，U ) = U ，爿( v ，v ) = v + 记r o = s u p 口 0 l a y 三a V ，显然O r ( 1 + 譬( ，杵，v ) ) ，矛盾。 所以l i m ，：，= 1 令 t o = s u p t 0 I 善 t y ( 1 - 1 7 ) 易见

10、岛 0 ，x t o y ，于是” t o y ，假若f o O 使得 1 “X ( u ，V ) r t o ( 1 + t 1 ) A ( v ，1 1 ) r t o ( 1 + t I ) v ，珂= l ，2 ， 于是五；，其e F t = 砰f o ( 1 + 叩) ，由( 1 1 4 ) 式知s 1 。再结合( 1 - 4 ) 式及c 的混合单调性 得 C ( 一u ，- ) c 也_ ，1 - ) 乙c ( - _ ) ( 1 - 1 8 ) 另一方面，由( 1 - 1 2 ) ，( 1 1 6 ) 式，有 = C ( ，屹) r C O ，力 ( 1 - 1 9 ) 儿= c

11、 ( ，) c ( _ ，_ ) ，n = l ，2 ，( 1 - 2 0 ) 由( 1 1 5 ) ，( 1 - i s ) 与( 1 1 9 ) 式得 x c ( _ ) = # f o ( 1 + ，7 ) c ( _ ，u ) r f t 0 0 + o ) y r 4 t o ( 1 + t 1 ) y 再由! i m ，：I = 1 知- q ( 1 - 1 7 ) 矛盾。所以t o k l ，从而x ，由( 1 1 5 ) 式有 云= 爿( - ，) = 4 ( - - ) = _ ，即磊是一的不动点，定理得证。 太原理工大学硕士研究生学位论文 注【1 1 文 1 】中的定理只是

12、不动点存在的充分条件，这里定理1 2 1 给出了不动点存在 的充分必要条件。 注【2 】定理1 2 1 是在比B a n a c h 空间较一般的半序线性空间中给出了不动点的存在 唯一性的充分必要条件，从而推广了文 2 e e 的相关结论。 注【3 l 定理1 2 1 中的映射彳未作连续性假设。 定理1 2 2 设E 为序空间，Q c E 是锥性体，且ec - Qc “ - 丑+ ，A ：Q Q _ E 是映射 满足： 1 ) 存在序空间】，及混合单调映射C ：e e 斗Y 使得C ( e ，e ) 是y 中的相对盯一完 备集，且存在r ：( 0 ，1 ) x Q Q - + ( o ，+ )

13、 ，使得 C ( t u ，t - 1 v ) ( 1 + r ( t ，U ，v ) ) c ( “，v ) ，“，V C ：，0 0J 以，月= 1 ，2 ， 容易得到 s U l s U n s 心s v 1 1 ，o( 1 - 3 1 ) ”。0 ( 1 - 3 2 ) 且可证得l i m = 1 。m ( 1 3 1 ) ，( 1 - 3 2 ) 式知对任何自然数k 有 0 “一1 _ 一U n ( 1 一) v 1 0 0 一“( 1 1 ) q ， 以= 1 ，2 ， 太原理工大学硕士研究生学位论文 由户的正规性知存在，v 。e 使得 I I 一甜I h 0 ，I I 屹- -

14、V + I 卜O ( n _ ) ( 1 - 3 3 ) 0 V 一“s - - n s ( 1 一乙) v l ，刀= l ，2 ，- ( 1 - 3 4 ) 从而，= = v e ，且s s ，由此得到+ I B x “ s + l ，“ l = l ，2 ，结合( 1 3 4 ) ， ( 1 - 3 5 ) 知石是曰的不动点，关于不动点的唯一性与迭代列收敛性再由常规方法易得。 定理1 3 2 设E 是序肋脚砌空间，其半序由正规锥P 导出，e P + ，口：e _ e 是减 算子，且存在函数妒：( O ，1 】e 一( O ，1 】 烈f ，曲 ，使得B ( 铆s 【妒( ，坩1 B x

15、，x e ，则B 在e 中有唯一不动点x 的充分必要条件是存在，v o ，w o e ，o w o o 使得f M ( 1 + 占) ，两边取极限，则f f ( 1 + 占) ，矛盾，所以 r = l 。 类似于定理1 3 1 证明可得存在矿，v e ，使得一”，屹斗1 ，。_ o o ) 为丑在e 中 的不动点。 太原理工大学硕士研究生学位论文 注【5 】与文 1 】相比，定理1 3 1 与定理1 3 2 给出了B a n a c h 空间中增算子和减算子不动 点存在的充分必要条件。 太原理工大学硕士研究生学位论文 2 1 预备知识 第二章二阶三点边值问题的多重非负解 自I l i n 茅l M o v i s e e v 7 朋关于线性二阶常微分方程多点边值问题的研究以来，许多学者 开始研究非线性多点边值问题，见文【9 11 】。 最近，L i 和S h e n 1 ”运用K m s n o s e l s k j i 不动点定理” 及L e g g e t t W i l l i 锄s 不动点定理1 4 1 证明了关于下述二阶三点边值问题( B V P ) 多个正解的存在性。 臀掣啪卜6 篓“