非线性时滞微分方程的振动解的存在性准则和应用

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1、- 一j 作者：江琴 导师：彭名书教授 北京交通大学 2 0 1 0 年1 2 月 a n d 气j - ， 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定。 特授权北京交通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学 校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名弦蓼 签字日期：易J 口种刖厂日 沾趴缃 彳夕， 研巾 名 期 签 日 师 字 导 签 O s c i l l a t i o nc r i t e r

2、 i af o rn o n l i n e a rd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n d a p p l i c a t i o n s 作者姓名：江琴 导师姓名：彭名书 学号：0 8 1 2 2 1 4 0 职称：教授 学位类别：理学学位级别：硕士 学科专业：应用数学研究方向：常微分方程数值解法 北京交通大学 2 0 1 0 年1 2 月 L p ， 颤f ) + P f ( 嘶( 工( ，f ( f ) ) ) = 0 ， i = 1 其中n ( ) ，P f ( ) C 假+ ，R + ) 五( ) C ( R ，R

3、 ) 和n ( D t ，f = l ，n ，并给出振动的解 的存在性准则及其主要结果的证明 第三章主要把一些具体的例子应用我们的结果并进一步说明我们的结果改 进了已知存在的结果。 关键词：时滞微分方程，振动解 I nt h es e c o n dc h a p t e r , s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o ro s c i l l a t i o no fa l ls o l u t i o n sa r ee s - t a b l i s h e df o rn o n l i n e a rd e l a yd i f f e r

4、 e n t i a le q u a t i o n j ( D + p f ( f ) 五( x ( n ( 力) ) = 0 ， j 1 w h e r en ( ) ，p i ( ) C 偎+ ，R + ) ，五( ) C ( R ，R ) a n dr j ( D t ，i = 1 ，万L a s tc h a p t e r i sd e v o t e dt oa p p l y i n go u rm a i nr e s u l t st os o m ee x a m p l e sw h i c hi m p l yt h a tt h er e s u l t s c

5、o m p l e m e n ta n di m p r o v es o m ee x i s t i n go n e s K e y w o r d s ：d e l a ye q u a t i o n ，o s c i l l a t i n gs o l u t i o n 目录 作者简历 独创性声明 学位论文数据集 2 2 6 6 7 4 4 7 1 1 l _ r 北京交通大学硕士学位论文第1 章引言 1 1 内容简介 第1 章引言 时滞微分系统是近代数学的一个重要的学科分支，随着现代社会的发展。无 论是在工程、宇航等自然科学领域还是在经济、金融等社会科学领域，都有着 广泛的

6、应用：并且在力学、物理学、生态学、生物学、经济学等多种应用技术中 也有着非常实际的应用时滞微分方程的研究无论在理论上还是在应用上都具有 非常重要的意义。目前，对时滞微分方程所做的工作有：解的存在性、解的稳 定性、周期解的存在性、分支理论、振动理论等等现在主要介绍一下相关文献 中振动解的结果。 在这篇论文中，我们主要研究非线性微分方程 n 1 7 1 J c ( t ) + _ p i ( t ) f ( x ( n ( f ) ) ) = 0 ， ( 1 1 ) J 一 扛l 其中，f ( ) ，P f ( ) C ( R + ，R + ) ，五( ) C ( RR ) 和r i ( t )

7、st ，i = 1 ，刀，并给出振动的解 的存在性准则。 对任何T 0 ，我们定义 L 卜。m 蛐i l l 。i 甜n f 们) ) ( 1 2 ) 对方程( 1 1 ) 赋予初值条件颤O = ( f ) ，L l t T 其中：【L l ，T 】一R 是给定的 初值函数，那么由文献 7 1 定理1 1 2 ，初值问题( 1 1 ) 和( 1 2 ) 在【L ) 有且仅有唯 一的解。一般来说，方程( 1 1 ) 的解称是振动的，如果它有任意大的零解。否则 称它为非振动解。 我们已经知道，许多作者都讨论了时滞微分方程解的振动性问题参 见【3 5 ，7 8 1 3 1 8 ，2 0 2 2 ,

8、3 2 1 及其参考文献。 文献【1 7 】中时滞微分方程 瓤f ) + p ( t ) f ( x ( t 一“力) ) = 0 ， 作者得到以下振动解存在性定理。 2 ( 1 3 ) I ， 北京交通大学硕士学位论文 第1 章引言 定理1 1 1 ( T h e o r e m1t 1 刀) 假设P C ( 0 ，o o ) ，【O ，) ) ，丁( D C ( O ，o o ) ，( O ，o o ) ) ， l i m ( t 一1 - ( f ) ) = O O ，f C ( R ，R ) 和u f ( u ) 0f o r “0 进一步假设存在t o 0 使得 t - - - +

9、o o 加油吾嘞 且 和b 2 0p ( s ) d s - 圳拈， 其中6 ( 力= i l l a X 距t o , t l s 一代s ) 另外，对某个s 0 ，M 0 ，r 0 ， ( 1 4 ) ( 1 5 ) I f ( u ) 一u l M l u l l + 7 U ( - e ，功， ( 1 6 ) 那么( 1 3 ) 的所有解都是振动的。 让r i ( 力= f T i 和五( “) - - U ，i = l ，l ，在文献【1 3 】中，L a d a s S t a v r o u l a k i s 研究方 程 ( 力+ P f ( t ) x ( t - T i )

10、 = 0 ， ( 1 7 ) 扛l 其中r i ( i = 1 ，2 ，n ) ，p i ( i = 1 ，2 ，1 ) 都是正是正常数，和 ( 力+ P f ( 力工( t - T i ) = 0 ， ( 1 8 ) f = 1 其中t ( f = 1 ，2 ，咒) 是正常数且p f ( 力“= l ，2 ，以) 是正连续函数。作者得到 以下结果 定理1 1 2 ( t h e o r e m s2 1 2 2 和5 I t l 3 1 ) ( i ) 假设以下条件之一成立： ：引 吾 和 三( 喜1 ) 2 _ 1 那么方程( 1 7 ) 的任何解都是振动解。 ( i i ) 假设 ( 1

11、 9 ) ( 1 1 0 ) ，- f l i m i n ff P i ( s ) d s 0 ，i = 1 ，n ( 1 1 1 ) f 。 J f _ 罩 3 韭室窒燮堂亟堂焦迨窒 箜! 童曼! 宣- - 一一 - 。r IH 再假设以下条件之一成立： f 姑i = l 唔小彬s 脞 m 蚴 和 三n 妻i = I ( 1 t m ，。i n fJ f 卜 qA c s ，d 0 毛刺t - - 。o t o n r , o r f - a 删0 m 、l i m i n f 一删J ) R 那么方程( 1 8 ) 的任何解都是振动解。 令乃= f q ( 力和石( “) = 八“) ，

12、i = 1 ，n ，Y u & Y u a I l 【2 3 1 研究了 效f ) + p i ( t ) f ( x ( t - - T i ( D ) ) = o ， ( 1 1 4 ) f - l 其中r i ( ) ，A ( ) c f a ，R + ) 和八) C f a ，R ) ，f ：1 ，2 ，1 定理1 1 3 ( T h e o r e m s1 1a n d1 3 1 2 3 ) 假设 ( H O ) 对U 0 ，八u ) u 0 和0 户 硅 I ；三 疗倒 k n 北京交通大学硕士学位论文第1 章引言 定理1 1 4 ( T h e o r e m s4 1 1 盯

13、1 ) 假设对比0u j S ( “) 0 和l i m i o n f 掣1 ，i = 1 ，刀另外假设以下线性方程 抛) + P f x ( t - r f ) = 0 ( 1 1 8 ) i - - 1 的每个解是振动的那么方程( 1 1 7 ) 的任何解都是振动解。 令n = 1 和，( “) = U ，( 1 1 ) 可以退化为方程 ( 力4 - p ( f ) 工( 厂( 力) = 0 ， ( 1 1 9 ) 其中“力t 对( 1 1 9 ) 所有解的振动性已经被广泛研究，( 见【3 4 , 8 , 1 0 , 1 9 , 2 1 , 2 2 及其参 考文献) 方程( 1 1 9

14、) 一个经典的振动性准则 I k T n 。i n f 州) P ( J ) 如 ：1 ( 1 2 。) 另外，如果对足够大的t p 虮；1 ， ( 1 2 1 ) 那么根据川中的结果，( 1 1 9 ) 有一个非振动的。 在文献 6 1 中，当n 1 和，= X 时，作者给出( 1 1 ) 的解的振动性判断准则 另外，n ( 力= t t ( D ，i = 1 ，n ，( 1 1 ) 变为 ( 力+ P f ( t ) x ( t - r i ( t ) ) = o ， 这方程己被许多作者研究( 见【1 5 , 1 2 , 1 3 , 1 5 ) ，其中P f ( f ) ，T i ( D ，i = 1 ，n ，连续的正函 数 注意到条件( 1 6 ) 表明 H m 型= 1 但是，有许多函数，( “) 并不满足这个条件，例如，八“) = a r c t a n 2 u 另外，如果让 方程( 1 1 ) 中，l = 2 ，f l ( u ) = a r c t a n8 u 和f 2 ( u ) = a r c t a ni ，那么定理1 1 1 1 1 3 也 都不能应用据我所知，在 1 l i m i n ff ( u ) = 卢 0 甚至卢= 情况下，仍然没有