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1、一阶微分方程的一阶微分方程的 (一)一、一阶微分方程求解一、一阶微分方程求解二、解微分方程应用问题二、解微分方程应用问题 解法及应用解法及应用 第七章 1高数下册微分方程习题课基本概念基本概念一阶方程一阶方程 类类 型型1.1.直接积分法直接积分法2.2.可分离变量可分离变量3.3.齐次方程齐次方程4.4.可化为齐次可化为齐次方程方程5.5.全微分方程全微分方程6.6.线性方程线性方程7.7.伯努利方程伯努利方程可降阶方程可降阶方程线性方程线性方程解的结构解的结构定理定理1;1;定理定理2 2定理定理3;3;定理定理4 4欧拉方程欧拉方程二阶常系数线性二阶常系数线性方程解的结构方程解的结构特征
2、方程的根特征方程的根及其对应项及其对应项f(x)f(x)的形式及其的形式及其特解形式特解形式高阶方程高阶方程待待定定系系数数法法特征方程法特征方程法一、主要内容一、主要内容2高数下册微分方程习题课微分方程解题思路微分方程解题思路一阶方程一阶方程高阶方程高阶方程分离变量法分离变量法全微分方程全微分方程常数变易法常数变易法特征方程法特征方程法待定系数法待定系数法非非全全微微分分方方程程非非变变量量可可分分离离幂级数解法幂级数解法降降降降阶阶阶阶作作变变换换作变换作变换积分因子积分因子3高数下册微分方程习题课一、一阶微分方程求解一、一阶微分方程求解 1. 一阶标准类型方程求解一阶标准类型方程求解 关
3、键关键: 辨别方程类型辨别方程类型 , 掌握求解步骤掌握求解步骤2. 一阶非标准类型方程求解一阶非标准类型方程求解 (1) 变量代换法变量代换法 代换代换自变量自变量代换代换因变量因变量代换代换某组合式某组合式(2) 积分因子法积分因子法 选积分因子选积分因子, 解全微分方程解全微分方程四个标准类型四个标准类型: 可分离变量方程可分离变量方程, 齐次方程齐次方程, 线性方程线性方程, 全微分方程全微分方程 4高数下册微分方程习题课例例1. 求下列方程的通解求下列方程的通解提示提示: (1)故为分离变量方程故为分离变量方程:通解通解5高数下册微分方程习题课方程两边同除以方程两边同除以 x 即为即
4、为齐次方程齐次方程 , 令令 y = u x ,化为化为分分离变量方程离变量方程.调换自变量与因变量的地位调换自变量与因变量的地位 ,用线性方程通解公式求解用线性方程通解公式求解 .化为化为6高数下册微分方程习题课方法方法 1 这是一个齐次方程这是一个齐次方程 .方法方法 2 化为微分形式化为微分形式 故这是一个故这是一个全微分方程全微分方程 .7高数下册微分方程习题课例例2. 求下列方程的通解求下列方程的通解:提示提示: (1)令令 u = x y , 得得(2) 将方程改写为将方程改写为(贝努里方程贝努里方程) (分离变量方程分离变量方程)原方程化为原方程化为8高数下册微分方程习题课令令
5、y = u t(齐次方程齐次方程)令令 t = x 1 , 则则可分离变量方程求解可分离变量方程求解化方程为化方程为9高数下册微分方程习题课变方程为变方程为两边乘积分因子两边乘积分因子用凑微分法得通解用凑微分法得通解:10高数下册微分方程习题课例例3.设设F(x)f (x) g(x), 其中函数其中函数 f(x), g(x) 在在(,+)内满足以下条件内满足以下条件:(1) 求求F(x) 所满足的一阶微分方程所满足的一阶微分方程 ;(2003考研考研) (2) 求出求出F(x) 的表达式的表达式 .解解: (1) 所以所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程满足的一阶线性非齐次微分方程:11
6、高数下册微分方程习题课(2) 由一阶线性微分方程解的公式得由一阶线性微分方程解的公式得于是于是 12高数下册微分方程习题课练习题练习题:(题题3只考虑方法及步骤只考虑方法及步骤)P326 题题2 求以求以为通解的微分方程为通解的微分方程.提示提示:消去消去 C 得得P327 题题3 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解:提示提示: 令令 u = x y , 化成可分离变量方程化成可分离变量方程 :提示提示: 这是一阶线性方程这是一阶线性方程 , 其其中中P326 题题1，2(1)，3(1), (2), (3), (4), (5), (9), (10)13高数下册微分方程习题课提示提示: 可
7、化为可化为关于关于 x 的一阶线性方程的一阶线性方程提示提示: 为贝努里方程为贝努里方程 , 令令提示提示: 为全微分方程为全微分方程 , 通解通解提示提示: 可化为贝努里方程可化为贝努里方程令令微分倒推公式微分倒推公式14高数下册微分方程习题课原方程化为原方程化为 , 即即则则故原方程通解故原方程通解提示提示: 令令15高数下册微分方程习题课例例4. 设河边点设河边点 O 的正对岸为点的正对岸为点 A , 河宽河宽 OA = h, 一鸭子从点一鸭子从点 A 游向点游向点二、解微分方程应用问题二、解微分方程应用问题利用利用共性建立微分方程共性建立微分方程 , 利用个性确定定解条件利用个性确定定
8、解条件.为平行直线为平行直线,且鸭子游动方向始终朝着点且鸭子游动方向始终朝着点O ,提示提示: 如图所示建立坐标系如图所示建立坐标系. 设时刻设时刻t 鸭子位于点鸭子位于点P (x, y) ,设鸭子设鸭子(在静水中在静水中)的游速大小为的游速大小为b求鸭子游动的轨迹方程求鸭子游动的轨迹方程 . O ,水流速度大小为水流速度大小为 a ,两岸两岸 则则关键问题是正确建立数学模型关键问题是正确建立数学模型, 要点要点:则鸭子游速则鸭子游速 b 为为16高数下册微分方程习题课定解条件定解条件由此得微分方程由此得微分方程即即鸭子的实际运动速度为鸭子的实际运动速度为( 求解过程参考求解过程参考P273例
9、例3 )( 齐次方程齐次方程 )17高数下册微分方程习题课P327 题题6. 已知某车间的容积为已知某车间的容积为的新鲜空气的新鲜空气问每分钟应输入多少才能在问每分钟应输入多少才能在 30 分钟后使车间空分钟后使车间空的含量不超过的含量不超过 0.06 % ?提示提示: 设每分钟应输入设每分钟应输入 t 时刻车间空气中含时刻车间空气中含则在则在内车间内内车间内两端除以两端除以 并令并令与原有空气很快混合均匀后与原有空气很快混合均匀后, 以相同的流量排出以相同的流量排出 )得微分方程得微分方程( 假定输入的新鲜空气假定输入的新鲜空气 输入输入 , 的改变量为的改变量为 18高数下册微分方程习题课
10、t = 30 时时解定解问题解定解问题因此每分钟应至少输入因此每分钟应至少输入 250 新鲜空气新鲜空气 .初始条件初始条件得得 k = ? 19高数下册微分方程习题课二阶微分方程的二阶微分方程的 习题课习题课 (二)二、微分方程的应用二、微分方程的应用 解法及应用解法及应用 一、两类二阶微分方程的解法一、两类二阶微分方程的解法 第七章 20高数下册微分方程习题课一、两类二阶微分方程的解法一、两类二阶微分方程的解法 1. 可降阶微分方程的解法可降阶微分方程的解法 降阶法降阶法令令令令逐次积分求解逐次积分求解 21高数下册微分方程习题课2. 二阶线性微分方程的解法二阶线性微分方程的解法 常系数情
11、形常系数情形齐次齐次非齐次非齐次代数法代数法 欧拉方程欧拉方程练习题练习题: P327 题题 2 ; 3 (6) , (7) ; 4(2)； 822高数下册微分方程习题课解答提示解答提示P327 题题2 求以求以为通解的微分方程为通解的微分方程 .提示提示: 由通解式可知特征方程的根为由通解式可知特征方程的根为故特征方程为故特征方程为因此微分方程为因此微分方程为P327 题题3 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解提示提示: (6) 令令则方程变为则方程变为23高数下册微分方程习题课特征根特征根:齐次方程齐次方程通解通解:令非齐次方程令非齐次方程特解特解为为代入方程可得代入方程可得思思 考
12、考若若 (7) 中非齐次项改为中非齐次项改为提示提示:原方程通解原方程通解为为特解设法有何变化特解设法有何变化 ?24高数下册微分方程习题课P327 题题4(2) 求解求解提示提示: 令令则方程变为则方程变为积分得积分得利用利用再解再解并利用并利用定常数定常数思考思考若问题改为求解若问题改为求解则求解过程中得则求解过程中得问开方时问开方时正负号如何确定正负号如何确定?25高数下册微分方程习题课P327 题题8 设函数设函数在在 r 0内内满足拉普拉斯方程满足拉普拉斯方程二阶可导二阶可导, 且且试将方程化为以试将方程化为以 r 为自变为自变量的常微分方程量的常微分方程 , 并求并求 f (r)
13、.提示提示:利用对称性利用对称性, 即即( 欧拉方程欧拉方程 )原方程可化为原方程可化为26高数下册微分方程习题课解初值问题解初值问题:则原方程化为则原方程化为 通解通解: 利用初始条件得特解利用初始条件得特解: 27高数下册微分方程习题课特征根特征根 :例例1. 求微分方程求微分方程提示提示:故通解为故通解为满足条件满足条件解满足解满足处连续且可微的解处连续且可微的解.设特解设特解 :代入方程定代入方程定 A, B, 得得得得28高数下册微分方程习题课处的衔接条件可知处的衔接条件可知,解满足解满足故所求解为故所求解为其通解其通解:定解问题的解定解问题的解:29高数下册微分方程习题课例例2.且
14、满足方程且满足方程提示提示: 则则问题化为解初值问题问题化为解初值问题:最后求得最后求得30高数下册微分方程习题课思考思考: 设设提示提示: 对积分换元对积分换元 ,则有则有解初值问题解初值问题: 答案答案:31高数下册微分方程习题课的解的解. 例例3.设函数设函数内具有连续二阶导内具有连续二阶导(1) 试将试将 xx( y) 所满足的微分方程所满足的微分方程 变换为变换为 yy(x) 所满足的微分方程所满足的微分方程 ;(2) 求变换后的微分方程满足初始条件求变换后的微分方程满足初始条件 数数, 且且解解: 上式两端对上式两端对 x 求导求导, 得得: (1) 由反函数的导数公式知由反函数的
15、导数公式知(2003考研考研)32高数下册微分方程习题课代入原微分方程得代入原微分方程得 (2) 方程方程的对应齐次方程的通解为的对应齐次方程的通解为 设设的特解为的特解为 代入代入得得 A0,从而得从而得的通解的通解: 33高数下册微分方程习题课由初始条件由初始条件 得得故所求初值问题的解为故所求初值问题的解为 34高数下册微分方程习题课二、微分方程的应用二、微分方程的应用 1 . 建立数学模型建立数学模型 列微分方程问题列微分方程问题建立微分方程建立微分方程 ( 共性共性 )利用物理规律利用物理规律利用几何关系利用几何关系确定确定定解定解条件条件 ( 个性个性 )初始条件初始条件边界条件边
16、界条件可能还要衔接条件可能还要衔接条件2 . 解微分方程问题解微分方程问题3 . 分析解所包含的实际意义分析解所包含的实际意义 35高数下册微分方程习题课例例4. 解解:欲向宇宙发射一颗人造卫星欲向宇宙发射一颗人造卫星, 为使其摆脱地球为使其摆脱地球 引力引力, 初始速度应不小于第二宇宙速度初始速度应不小于第二宇宙速度, 试计算此速度试计算此速度.设人造卫星质量为设人造卫星质量为 m , 地球质量为地球质量为 M , 卫星卫星的质心到地心的距离为的质心到地心的距离为 h , 由牛顿第二定律得由牛顿第二定律得: (G 为引力系数为引力系数)则有初值问题则有初值问题: 又设卫星的初速度又设卫星的初
17、速度36高数下册微分方程习题课代入原方程代入原方程, 得得两边积分得两边积分得利用初始条件利用初始条件, 得得因此因此注意到注意到 37高数下册微分方程习题课为使为使因为当因为当h = R (在地面上在地面上) 时时, 引力引力 = 重力重力, 即即代入代入即得即得这说明第二宇宙速度为这说明第二宇宙速度为 38高数下册微分方程习题课求质点的运动规求质点的运动规例例5. 上的力上的力 F 所作的功与经过的时间所作的功与经过的时间 t 成正比成正比 ( 比例系数比例系数提示提示:两边对两边对 s 求导得求导得:牛顿第二定律牛顿第二定律为为 k), 开方如何定开方如何定 + ?已知一质量为已知一质量
18、为 m 的质点作直线运动的质点作直线运动, 作用在质点作用在质点39高数下册微分方程习题课例例6. 一链条挂在一钉子上一链条挂在一钉子上 , 启动时一端离钉子启动时一端离钉子 8 m ,另一端离钉子另一端离钉子 12 m , 如不计钉子对链条所产生的摩擦如不计钉子对链条所产生的摩擦 力力, 求链条滑下来所需的时间求链条滑下来所需的时间 .解解: 建立坐标系如图建立坐标系如图. 设在时刻设在时刻 t , 链条较长一段链条较长一段下垂下垂 x m ,又设链条线密度为常数又设链条线密度为常数此时链条受力此时链条受力由牛顿第二定律由牛顿第二定律, 得得40高数下册微分方程习题课由初始条件得由初始条件得
19、故定解问题的解为故定解问题的解为解得解得当当 x = 20 m 时时,(s)微分方程通解微分方程通解: 思考思考: 若摩擦力为链条若摩擦力为链条 1 m 长的重量长的重量 , 定解问题定解问题的的数学模型是什么数学模型是什么 ?41高数下册微分方程习题课摩擦力为链条摩擦力为链条 1 m 长的重量长的重量 时的数学模型时的数学模型为为不考虑摩擦力时的数学模型为不考虑摩擦力时的数学模型为此时链条滑下来此时链条滑下来所需时间为所需时间为42高数下册微分方程习题课练习题练习题从船上向海中沉放某种探测仪器从船上向海中沉放某种探测仪器, 按探测按探测要求要求, 需确定仪器的下沉深度需确定仪器的下沉深度 y
20、 与下沉速度与下沉速度 v 之间的函之间的函数关系数关系. 设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉, 在下沉过程中还受到阻力和浮力作用在下沉过程中还受到阻力和浮力作用, 设仪器质量为设仪器质量为 m,体积为体积为B , 海水比重为海水比重为 ,仪器所受阻力与下沉速度成正仪器所受阻力与下沉速度成正 比比 , 比例系数为比例系数为 k ( k 0 ) , 试建立试建立 y 与与 v 所满足的微分所满足的微分方程方程, 并求出函数关系式并求出函数关系式 y = y (v) . ( 95考研考研 )提示提示: 建立坐标系如图建立坐标系如图.质量质量 m体积体积
21、 B由牛顿第二定律由牛顿第二定律重力重力浮力浮力 阻力阻力注意注意: 43高数下册微分方程习题课初始条件为初始条件为用分离变量法解上述初值问题得用分离变量法解上述初值问题得质量质量 m体积体积 B得得44高数下册微分方程习题课备用题备用题 有特有特而对应齐次方程有解而对应齐次方程有解微分方程的通解微分方程的通解 . 解解:故所给二阶非齐次方程为故所给二阶非齐次方程为方程化为方程化为1. 设二阶非齐次方程设二阶非齐次方程一阶线性非齐次方程一阶线性非齐次方程45高数下册微分方程习题课故故再积分得通解再积分得通解复习复习: 一阶线性微分方程通解公式一阶线性微分方程通解公式 46高数下册微分方程习题课
22、 2. (1) 验证函数验证函数满足微分方程满足微分方程(2) 利用利用(1)的结果求幂级数的结果求幂级数的和的和.解解: (1)(02考研考研)47高数下册微分方程习题课所以所以(2) 由由(1)的结果可知所给级数的和函数满足的结果可知所给级数的和函数满足其特征方程其特征方程:特征根特征根:齐次方程通解为齐次方程通解为设非齐次方程特解为设非齐次方程特解为代入原方程得代入原方程得故非齐次方程通解为故非齐次方程通解为48高数下册微分方程习题课代入初始条件可得代入初始条件可得故所求级数的和故所求级数的和49高数下册微分方程习题课 3. (94,) 设设为一全微分方程，求为一全微分方程，求通解为通解
23、为:具有二阶连续导数，具有二阶连续导数，且，且及此一全微分方程的通解。及此一全微分方程的通解。 4. (02,) 设设的特解。当的特解。当 时，函数时，函数 的极限（的极限（ ).是二阶常系数线性微分方程是二阶常系数线性微分方程满足条件满足条件(A)不存在；不存在；(B) 等于等于1 ；(C)等于等于2 ； (D) 等于等于 3 。50高数下册微分方程习题课 5. (97,) 设函设函数数求求 。通解为通解为:具有二阶连续导数，而具有二阶连续导数，而，满足偏微分方程，满足偏微分方程 4. (93,)试确定常数试确定常数 ，并求该方程的通解。，并求该方程的通解。设二阶常系数线性微分方程设二阶常系数线性微分方程的一个特解为的一个特解为51高数下册微分方程习题课
