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1、兰州大学 硕士学位论文 非线性常微分方程多点边值问题的非平凡解 姓名：慕嘉 申请学位级别：硕士 专业：数学 基础数学 指导教师：孙红蕊 20080501 兰州大学硕士学位论文 原创性声明 本人郑重声明：本人所呈交的学位论文，是在导师的指导下独立进 行研究所取得的成果。学位论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、 数据、观点等，均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包 含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究成 果做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名： 关于学位论文使用授权的声明 日期： 必塌、S 、w 本
2、人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属 兰州大学。本人完全了解兰州大学有关保存、使用学位论文的规定，同意 学校保存或向国家有关部门或机构送交论文的纸质版和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权兰州大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用任何复制手段保存和汇编本学位 论文。本人离校后发表、使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文 或成果时，第一署名单位仍然为兰州大学。 保密论文在解密后应遵守此规定 论文作者签名： 2 导师签名：五丑日期： 兰州大学硕士学位论文 摘要 本论文主要利用不动点指数理论和拓扑度理论在非线性可变号的情 形下讨论了两类二阶常
3、微分方程多点边值问题非平凡解的存在性，得到 了一些新的结果。全文共分三章。 第一章简述了研究问题的背景和进展以及本文的主要结果，并给出 了本文用到的一些基本定义和定理。 第二章主要运用拓扑度理论和一些分析技巧讨论一类奇异三点边值 问题 一伽 ) ( ) ) 一q C t ) u C t = h ( t ) f C u ( t ) ) ，0 o ； ( i i i ) p ) ( ( t ) 妒( t ) 一妒( ) 妒( ) ) = u0 E 常数夕 1 2 兰州大学硕士学位论文 为方便起见，令 坤= 裟；罐蓦翌 3 ， 引理2 2 若俾l ，满足，则七( ，8 ) 有如下性质： k ( t
4、，s ) 在【o ，l 】【0 ，l 】连续且非负； 一砂k ( t ，s ) = k ( s ，t ) ，k ( t ，8 ) k ( 8 ，s ) ，t ，8 【0 ，l 】； 一i 砂七 ，s ) 2 号筹勰七( 丁，s ) ，t ，s ，丁【0 ，1 1 证明( i ) 、( i i ) 由妒，妒和k ( t ，8 ) 的定义很容易得到。下面仅证明( i i i ) 。f l q ( i i ) 和( 2 3 ) ，对t ，s 【0 ，1 】有 妒 ) 妒( t ) 七( 7 ，s ) s 三妒( ) 妒( ) 妒( s ) 矽( s ) 妒( 1 ) 妒( o ) 七 ，s ) ，t
5、 ，s ，下【0 ，1 1 引理2 3 假设阻，和他，成立，问题 憾Z u ( O 篙7 u 高：0 ，u 。( 1 莲南， 仁4 ， 【 ) 一，( 0 ) = ，) = Q “( 7 7 ) ， 、 的G r e e n 函数是 G 扣砟s ) + 篇m ( 2 5 ) 其中七( ，s ) 由( 2 3 ) 给出。 证明很容易验证函数 ，1 u ( t ) = G ( t ，s ) y ( s ) d s ， ( 2 6 ) 是 一( L “) ( 。) = 蝌 o 札 ( 2 1 8 ) t + 十t t h m 刮8 u 掣I 0 ，使得当珏充分大时有，( 牡) ( A 1 + ) 让
6、。然 后由( 2 1 7 ) 知存在b 1 0 ，有 ，( u ) ( 入l + 6 ) u b l ，I , ( 一0 0 ，+ 0 0 ) ( 2 2 0 ) 设u 是T 的第一特征值A l 相应的正特征函数，则札：A l T u ，从而由 引理2 7 得u 只。取 。m a x 0 ，豇( t ) = b f 3 C ( t ，s ) 九( s ) 4 8 ，D 是在引理2 4 中给出的。 假设A 在O B n 上没有不动点，( 否则，结论自然成立) 。下证 U A u 7 牡，u O B R 。，1 - 0 ( 2 2 1 ) 否则，存在“l O B n 。和丁1 0 ，有 U l A
7、 u x = 丁1 札 所以 u l ) + 面 ) = A u t ( t ) + a ( t ) + T t U + ( t ) = v ( t ，s ) ( s ) L 厂( t l ( s ) ) + b l d s + 丁1 让 ) ，o ( 2 2 2 ) 然后由T ( 尸) CP 1 和U P 1 ，得到 U l + 面P 1 ( 2 2 3 ) 由( 2 2 0 ) ，( 2 2 3 ) ，得 A u l ( t ) + 面( t ) 2 ( 入l 删 1 G s ) 郴) 钍l ( s ) d s + ( b “1 ) Z 1 G 也s ) m ) d s = A I T (
8、 U l + 云) ( t ) + G ( 亡，8 ) ( s ) p ( u l ( s ) + 面( s ) ) + 6 】d 8 f l 一G ，s ) ( s ) ( A 1 + E ) 面( s ) + b 1 d 8 孙T ( u l + f i m ) + 广( 揣) 2 郴s ) 坤矧h 刊I d s 一D k ( s ，s ) ( s ) ( 入l + ) l I 豇0 + b 1 d s A 1 T ( 让l + 面) ) + E ，7 2 ( 1 l u ll I I I 面| I ) k ( 8 ，s ) h ( s ) d s f l 一D k ( s ，s ) (
9、s ) 【( 入l + E ) l l 舀| I + b 1 d s ，A l T ( u l + 面) ( t ) + E 7 7 2 l I 札l I l k ( s ，s ) h ( s ) d s 一【( 明2 + D ( A l + E ) ) I I 豇I f + D 6 l 】k ( s ，s ) h ( s ) d s 入l T 1 + 豇) ( t ) 1 7 兰州大学硕士学位论文 结合( 2 2 2 ) 和( 2 2 3 ) ，有 令 U l + 矗A l T ( u l + 面) + T I U 丁1 + ( 2 2 4 ) 7 = s u p ( “ lt 5 1 +
10、豇丁u + 】 很容易看出，T 1 0 和U l + 豇之T * U 。由算子T 的性质得 所以由( 2 2 4 ) ，得到 ) 、I l T ( u l + 面) 7 - + ) q T u = T * U u l + 豇, 入l T ( U l + 面) + T l U ( 1 + + 7 1 ) u ， 这与矿的定义矛盾。所以( 2 2 1 ) 成立。由引理1 5 得 d e g ( I A ，。，0 ) = 0 ( 2 2 5 ) 从( 2 1 9 ) 知存在 0 和0 0 和u o n u 。由算子T 的性质得 ) q T u o 入l T ( r , u + ) = n u ( 2
11、 2 9 ) 所以结合( 2 2 8 ) 和( 2 2 9 ) ，得 u o ( 1 一E ) “让， 兰州大学硕士学位论文 这与凡的定义矛盾。所以( 2 2 7 ) 成立。由引理1 6 得 d e g ( I A ，B R 2 ，0 ) = 1 ( 2 3 0 ) 所以F h ( 2 2 5 ) 和( 2 3 0 ) ，得出 d e g ( I A ，B R 。- g n ：，0 ) = d e g ( 1 一A ，B R 。，0 ) 一d e g ( I A ，B R 2 ，口) = 一1 则A 在魄。砘内至少存在一个不动点。即就是问题( 2 I ) 至少存在一个 非平凡解。l 由定理2
12、8 ，得到下面结论 推论2 9 假设条件似J 一( I - 1 4 ) 成立。若存在一个常数圹0 有 m ) 一筹，札坷， ( 2 3 1 ) 其中M = m a x 挺I o 1 】詹G ( t ，8 ) h ( s ) d s ，且( 2 1 8 ) 和( 2 1 9 ) 成立，则问题( 2 1 ) 至少 存在一个非平凡解。 推论2 1 0 假设俾l 夕一伊a ，成立。若存在常数b20 使得 ，( u ) b ，( 一，+ ) ，( 2 3 2 ) l u i m i n f 掣 h ( 2 3 3 ) U + 一U 此外，( 2 1 9 ) 成立，则问题( 2 1 ) 至少存在一个非平凡
13、解。 定理2 U 若似，一似) ，( 2 1 7 ) 和( 2 1 8 ) 成立，( o ) = 0 ，且 璺翌掣：A ， ( 2 3 4 ) u _ O t 正 、7 其中A h ， k l 几= 1 ，2 ) 是T 的特征值集，则( 2 1 ) 至少有一个非平凡 解。 证明由( 2 3 4 ) ，得到 ，1 ( A ；( 让) ) ( ) = AJ ( G ( t ，s ) h ( s ) u ( s ) d s = A ( 弛) ( ) ， ( 2 3 5 ) 这就说明l 不是的一个特征值。此外，从，( o ) = 0 ，我们得至_ I J A O ：p 。根 据引理1 7 ，可以找到一
14、个正数R l 有 d e g ( I A ，B R 。，= 士1 ( 2 3 6 ) 1 9 兰州大学硕士学位论文 与定理2 8 的证明过程类似，从( 2 1 7 ) 和( 2 1 8 ) 得存在R 2 R l 有 d e g ( I A ，B R 2 ，0 ) = 0 ( 2 3 7 ) 结合( 2 3 6 ) ，( 2 3 7 ) 和L e r a y S c h a u d e r 度的可加性，有 d e g ( I A ，百R 。，0 ) = d e g ( 1 一A ，B R 2 ，0 ) 一d e g ( I A ，B R 。，0 ) = 千1 贝, l J A 在B R 2 谭R
15、 。内至少存在一个不动点。这就是说问题( 2 1 ) 至少有一个 非平凡解。 下面的推论是定理2 1 1 的直接结果。 推论2 1 2 假设日l ，一慨，成立若( 2 1 8 ) ，( 2 3 1 ) 和( 2 3 4 ) 成立，此外，( o ) = 0 ，则问题( 2 1 ) 至少有一个非平凡解。 2 4 正解的存在性 定理2 1 3 假设俾l J 一似夕成立若 u f ( u ) 0 ，u ( 一，+ O 。) ，( 2 3 8 ) l i m inf掣Alul-,+oo l ，( 2 3 9 )丛兰 1 ， f 2 3 9 ) U 、 l i m s 。u p 趔U 0 ( i = l ，2 ，n ) 且口l 0 ，其中u ，妒，妒是在引理3 1 中定义 的，是在( 3 3 ) 中定义的； ( - 3 ) h ：【0 ，1 】_ 0 ，+ o o ) 是连续的且 0 ，：( 一，+ ) _ 【一b ，+ O o ) 是连续 的，其中b 是一个非负常数。 兰州大学硕士学位论文 3 2 预备引理 引理3 1 心刃假设似夕
