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1、第七章 定积分及其应用 学习辅导定积分及其应用 学习目标了解定积分的概念；知道定积分的定义、几何意义和物理意义；了解定积分的主要性质，主要是线性性质和积分对区间的可加性，( 为常数 )还应熟悉以下性质了解原函数存在定理；会求变上限定积分的导数。若，则熟练掌握牛顿莱布尼茨公式，换元积分法和分部积分法。4.掌握在直角坐标系下计算平面曲线围成图形的面积；会计算平面曲线围成的图形绕坐标轴旋转形成的旋转体体积。由曲线和及直线围成的面积，有对于对称区间上的定积分，要知道当为奇函数时有当为偶函数时有（一）单项选择题 （1）下列式子中，正确的是（ ）。A. B. C. D. (2). 下列式子中，正确的是（
2、） A. B. C. D. (4) 若是上的连续偶函数，则 。A. B 0C D (5) 若与是上的两条光滑曲线，则由这两条曲线及直线所围图形的面积( ).A. B. C. D. 答案：（1） A；（2）D； （3）D； （4）C； （5）A。 解：（1）根据定积分定义及性质可知 A正确。 而 B不正确。在（0，1）区间内 C 不正确。 根据定积分定义可知，定积分值与函数及定积分的上、下限有关，而与积分变量的选取无关。 故D不正确。 (2) 由变上限的定积分的概念知 A、C不正确。 由定积分定义知 B不正确。 D正确。 （4）C。正确。（5）所围图形的面积始终是在上面的函数减去在下面的函数 A
3、正确。 （二） 填空题(1) (2) (3) 在区间上，曲线和轴所围图形的面积为_。 (4) 答案：解：（1） （2） （2） 所围图形的面积S=（3） y= 所围图形的面积（三）计算下列定积分(1）(2）（3） （4） （5）答案：(1）(2）（3） （4） (5) （四）定积分应用例1 计算抛物线与直线所围成的图形面积。解：1、先画所围的图形简图解方程 , 得交点： 和 。2. 选择积分变量并定区间选取为积分变量，则3. 给出面积元素在上， 在上， 4. 列定积分表达式另解：若选取为积分变量，则 显然，解法二较简洁，这表明积分变量的选取有个合理性的问题。求椭圆所围成的面积 。解：据椭圆图形
4、的对称性，整个椭圆面积应为位于第一象限内面积的4倍。取为积分变量，则 ， 故 ( * )作变量替换 则 ， ( * * )计算心脏线所围成的图形面积。解： 由于心脏线关于极轴对称， 第一节 定积分的概念思考题： 1. 如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何意义推出下列积分的值： （1）, （2）, （3）, （4）. 解：若在几何上表示由曲线，直线及轴所围成平面图形的面积. 若时，在几何上表示由曲线，直线及轴所围平面图形面积的负值. （1）由下图（1）所示，. 2A(2) -1 -1 1 1 1A1A (1) 1 -1 3A4A5A2 (3) 11(4)（2）由上图（2）所示，.（3）由上
5、图（3）所示，.（4）由上图（4）所示，.2. 若当，有，下面两个式子是否均成立，为什么？（1）, （2）.答：由定积分的比较性质知（1）式成立，而不定积分的结果表示一族函数，与不能比较大小，故（2）式不成立.3. 个数的算术平均值与连续函数在闭区间上的平均值有何区别与联系？答：二者均反映了多个数的平均值大小，后者是前者的推广，但个数的算术平均值是有限个数的平均值，而连续函数在闭区间上的平均值反映的是无限个数的平均值，前者计算公式是,后者计算公式是.习作题：1. 用定积分的定义计算定积分,其中为一定常数.解：任取分点,把分成个小区间，小区间长度记为=-,在每个小区间上任取一点作乘积的和式：,记
6、, 则.2. 利用定积分的估值公式，估计定积分的值.解：先求在上的最值，由 , 得或.比较 的大小，知，由定积分的估值公式，得,即 .3. 求函数在闭区间-1，1上的平均值.解：平均值.4. 利用定积分的定义证明.证明：令,则，任取分点,把分成个小区间，并记小区间长度为，在每个小区间上任取一点，作乘积的和式,记, 则 .第二节 微积分基本公式思考题：1. ?答：因为是以为自变量的函数，故=0.2. 答：因为是常数，故.3. ？ 答：因为的结果中不含，故0.4. ？ 答：由变上限定积分求导公式，知.5. ？ 答：.6. 若，则=？ 答：=.7. 当为积分区间上的分段函数时，问如何计算定积分？试举
7、例说明.答：分段函数的定积分应采用定积分关于积分区间的分割性质，将分解为部分区间上的定积分来计算.例如：若 则=+=.8. 对于定积分，凑微分法还能用吗？为什么？答：能用.因为定积分是通过被积函数的原函数来计算，而凑微分法所得原函数不须作变量置换.习作题：1. 计算下列定积分（1）, （2）, （3）.解：（1）=+ =1.（2）=+ =4+.（3）=+ =2+2=4.2. 求极限.解：此极限是“”型未定型，由洛必达法则，得 =3. 计算下列各题：（1）， （2）， （3）, （4）,（5）, （6）, （7）,（8）, （9）, （10）,（11）, （12）, （13）.解：（1）=.（2
8、）=.（3）.（4）=.（5）.（6）.（7）=.（8）= =. (9) =.(10) =.（11）=.（12）=.（13）=.求下列定积分解：原式第三节 定积分的积分方法思考题：1. 下面的计算是否正确，请对所给积分写出正确结果：（1）= = =.（2）=2=2.答：（1）不正确，应该为：=.（2）不正确，应该为： =2.2. 定积分与不定积分的换元法有何区别与联系？答：定积分与不定积分的换元法的区别在于：不定积分换元积分后要作变量回代，定积分在换元时要同时变换积分限，而不用作变量回代. 联系在于：二者均要求置换的变元单调可导，且选择变元的规律相同.3. 利用定积分的几何意义，解释奇偶函数在对称区间上的积分所具有的规律.答：如图, 设在上满足0，则表示由曲线，直线，及轴所围图形的面积，不妨记为，则当为偶函数时，(如下图(1)所示)，当为奇函数时，(如下图(2)所示).xyOa-aAAxya-aAAO（1） （2）习作题:1. 计算下列定积分:(1), (2).解：（1）令=, 则,当= 0 时，= 0 ; 当= 4 时， 于是=.（2）=.解：令，则，原式=解：令，则，原式=2. 计算下列定积分：（1）, （2）,（3）, （4）.解：（1）=.(2) = .(3) = =0=移项合并得.（4）=.解：令，则原式其他题目：AAADCC14
