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1、2018届甘肃省天水市第一中学下学期高三第二次模拟 考试数学（理科）试题（解析版）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意可得：故选：C点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解，在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍.2. 设为虚数单位，若是纯虚数，则( )A. 2 B. -2 C. 1 D.
2、-1【答案】C【解析】是纯虚数，计算得出故选3. 已知条件，条件，则是成立的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，则解得 ，解集为故是成立的充分不必要条件故选4. 已知是锐角，若,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】已知是锐角，若，cos（）=，则cos2=sin（2）=sin（2）=2sin（）cos（）=2，故选：D5. 已知数列是公比为的等比数列，且成等差数列，则公比的值为( )A. B. -2 C. 1或 D. -1或【答案】C或故答案选6. 设向量满足,则( )A. 6 B. C. 10 D. 【
3、答案】D【解析】向量满足，=3，解得=2则=4故选：D7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 64 B. 32 C. 96 D. 48【答案】A【解析】根据几何体的三视图如图所示可知,该几何体为一个长方体挖去一个顶点在长方体的下底面,底面为正方形且与长方体的上底面相同的四棱锥,体积为长方体的体积减去四棱锥的体积,故正确答案为A.点睛: 思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直
4、观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.8. 已知随机变量服从正态分布,且( )A. 0.6 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2【答案】C【解析】随机变量X服从正态分布N（2，2），=2，得对称轴是x=2P（4）=0.8P（4）=P（0）=0.2，P（04）=0.6P（02）=0.3故选：C点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法熟记P(X)，P(2X2)，P(3X3)的值充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.9. 九章算术上有这样一道题：“今有
5、墙厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.”假设墙厚16尺，现用程序框图描述问题，则输出( )A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】D【解析】（1）；（3）；（4），输出8.故选D。10. 函数的图象大致为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为，所以，令，令，令，所以在为增函数，在为减函数，且是函数的极大值点，结合4个函数的图象，选C.11. 在中，分别为内角所对的边，且满足，若点是外一点，,则平面四边形面积的
6、最大值是( )A. B. C. 3 D. 【答案】B【解析】由，化为sinBcosA=sinAsinAcosB，sin（A+B）=sinA，sinC=sinA，A，C（0，）C=A，又b=c，ABC是等边三角形，设该三角形的边长为a，则：a2=12+2222cos则SOACB=12sin+a2=sin+（12+2222cos）=2sin（）+，当=时，SOACB取得最大值故选：B点睛：四边形的面积往往转化为两个三角形面积之和，从而所求问题转化为三角函数的有界性问题，结合条件易得结果.12. 设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且,则直线的斜率的最大值为( )A. B. C
7、. D. 1【答案】C【解析】试题分析：设，由题意，显然时不符合题意，故，则，可得：，当且仅当时取等号，故选C考点：1抛物线的简单几何性质；2均值不等式【方法点晴】本题主要考查的是向量在解析几何中的应用及抛物线标准方程方程，均值不等式的灵活运用，属于中档题解题时一定要注意分析条件，根据条件，利用向量的运算可知，写出直线的斜率，注意均值不等式的使用，特别是要分析等号是否成立，否则易出问题第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设实数满足则的取值范围是_【答案】【解析】如图，先画出可行域，化简其几何意义表示可行域内的点与两点连线的斜率，当取到点时取到最小值，当
8、取到点时取到最大值故取值范围是点睛：本题考查了线性规划求范围问题，先画出可行域，将问题进行化简，转化为求两点连线的斜率问题，结合图形就可以求得范围，本题重点是转化为几何意义14. 的展开式中，的关系是_（用数字作答）【答案】-5【解析】由题意可知，展开式的通项为则的展开式中，含的项为，所以的系数是15. 甲、乙、丙三位同学中有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：丙没有申请；乙说：甲申请了；丙说：甲说对了.如果这三位同学中只有一人说的是假话，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是_【答案】乙【解析】(1)假设甲说的是假话，乙、丙说的是真话，则甲
9、所说与乙相矛盾（2）若乙说的是假话，甲、丙说的是真话，则甲没申请，丙没申请故申请人为乙16. 如图，图形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的正方形的中心为为圆上的点，分别以为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以为折痕折起，使得重合，得到一个四棱锥，当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为_【答案】【解析】连接OE交AB于点I，设E，F，G，H重合于点P，正方形的边长为x（x），则OI=，IE=，因为该四棱锥的侧面积是底面积的2倍，所以,解得x=4，设该四棱锥的外接球的球心为Q，半径为R，则OC=，OP=，外接球的体积V=故答案为：三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应
10、写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知在中，角的对边分别为，且有 .(1)求角的大小；(2)当时，求的最大值.【答案】(1) ；(2) 【解析】试题分析：根据题意和正弦定理及和差角的三角函数公式，易得，由三角形内角的范围可得；利用余弦定理，基本不等式的性质，三角形面积计算公式即可得出。解析：（1）由及正弦定理，得，即，即.因为在中，所以，所以，得.（2）由余弦定理，得，即，故，当且仅当时，取等号.所以，即的最大值为.点睛：在解三角形的过程中运用正弦定理进行边角的互化，通常情况下求什么化成什么，要求角，则把条件里的边化为角，然后利用和差的三角函数进行化简就可以求得结果。在求三角形面积
11、时运用面积公式，遇到最值题目需要借助基本不等式解答18. 四棱锥中，底面是边长为2的菱形，侧面底面，E是中点，点在侧脸上.()求证：；()若是中点，求二面角的余弦值；()是否存在，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（）见解析;（）.（）【解析】试题分析：（）证明AD平面POB，即可证明ADPB；（）证明PO底面ABCD，建立空间直角坐标系，求出平面DEQ的法向量，平面DQC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得结论；（）求出平面DEQ法向量，利用PA平面DEQ，即，从而可得结论解析：（）取中点,连接.因为,所以.因为菱形中,所以.所以.因为,且平面,所以平面.所以.（）由
12、（）可知,因为侧面底面,且平面底面,所以底面.以为坐标原点,如图建立空间直角坐标系.则,因为为中点,所以.所以,所以平面的法向量为.因为,设平面的法向量为,则,即.令,则,即.所以.由图可知,二面角为锐角,所以余弦值为.（）设由（）可知.设,则,又因为,所以,即.所以在平面中,所以平面的法向量为,又因为平面,所以,即,解得.所以当时,平面.点睛：这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系，平面和平面的夹角。求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可。面面角一般是要么定义法，做出
13、二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，要么建系来做。19. 第23届冬季奥运会于2018年2月9日至2月25日在韩国平昌举行，期间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校教职工在冬季奥运会期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如下频数分布表：(1)若讲每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“体育达人”，否则定义为“非体育达人”，请根据频数分布表补全列联表：并判断能否有90%的把握认为该校教职工是否为“体育达人”与“性别”有关；(2)在全校“体育达人”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“体育达人”中选取2名作冬奥会知识讲座.记其中女职工的人数为，求的分布列
14、与数学期望.附表及公式：.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（1）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（2）由题意知随机变量的可能取值，计算对应的概率值，再写出的分布列，求出数学期望试题解析：（1）由题意得下表：的观测值为 .所以有的把握认为该校教职工是“体育达人”与“性别”有关.（2）由题意知抽取的6名“体育达人”中有4名男职工，2名女职工，所以的可能取值为0，1，2.且 ， ， ，所以的分布列为 .20. 在平面直角坐标系中，点 ，圆,点是圆上一动点，线段的中垂线与线段交于点.(1)求动点的轨迹的方程；(2)若直线与曲线相较于两点，且存在点（其中不共线），使得被轴评分，证明：直线过定点.【答案】（1）；（2）
