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1、第八章 因子分析 n因子分析的目的与类型 n探索性因子分析的模型 n因子模型的求解 n因子旋转 n因子得分 n因子分析的SPSS实现 n实例分析 n确认性因子分析 2019/11/181 Origins of Factor Analysis In conjunction with his famous two-factor theory of intelligence Charles Spearman 1863-1945 一、因子分析的目的与类型 因子分析的目的：用少数几个不可观测的隐变因子分析的目的：用少数几个不可观测的隐变 量来解释原始变量间的协方差关系量来解释原始变量间的协方差关系 Or
2、igins of Factor Analysis nWanted to estimate intelligence of 24 children in a village school. nRealized way of measuring intelligence was imperfect and that the correlation between any two variables (say, ones score on a mathematics exam and on a classics exam) would be underestimated. nNoticed that
3、 the observed correlations between the variables he was interested in were all positive and followed a pattern. nSpearman wanted to develop a model that would reflect the pattern he saw. What did Spearman notice? Correlations Between Examination Scores Notice the trend across each row on the upper d
4、iagonal 认为存在着“general intelligence”，影响着个体在所有智力 活动中的表现(解释各变量间的高度相关），而个体在不同智力活 动中表现的差异则是由另一些“specific factors”决定的（解 释相关程度差异）。区分这两类因素可以更准确地预测出某个人 在某项工作中的表现。 two-factor theory of intelligence nCould model each test score as having two types of components: one common to all the scores and one specific to
5、 the particular test vf: available to the same individual to the same degree for all intellectual acts v: varies in strength from one act to another nIf one knows how a person performs on one task that is highly saturated with “f“, one can safely predict a similar level of performance for a another
6、highly “f“ saturated task. nthe most important information to have about a persons intellectual ability is an estimate of their “f“ Schematically classicsfrenchenglishmathdiscrmusic 123456 f f f因子因子：不可观测：不可观测 可观测可观测 特殊因子特殊因子：不可观测，难以估计：不可观测，难以估计 构成：测量误差构成：测量误差+ +个性因素个性因素 Goals of Factor Analysis nmod
7、el correlation patterns in useful waypatterns in useful way v通过对多个变量的相关系数矩阵的研究，找出同时影 响或支配多个变量的共性因素。 nallow for contextual interpretationinterpretation of the new variables nevaluate the original data in light of the new variables 注意：因子分析是一种用来分析隐藏在表象背后的潜在因注意：因子分析是一种用来分析隐藏在表象背后的潜在因 子作用的统计模型，这些共同因素通常是子
8、作用的统计模型，这些共同因素通常是不可直接观测不可直接观测的的 基本思想：认为存在一些潜在共性基本思想：认为存在一些潜在共性 因素影响着事物在多方面的表现因素影响着事物在多方面的表现 实例1 n考查人体的五项生理指标：收缩压、舒张压、 心跳间隔、呼吸间隔和舌下温度。 n从生理学知识可知，这五项指标是受植物神经 支配的，植物神经又分为交感神经和负交感神 经，因此这五项指标至少受到两个公共因子的 影响，也可用因子模型去处理。 n五项指标均可观测，而两个公共因子是不可直 接观测的：通过指标与公共因子的关系诊病。 舒张压心跳间隔呼吸间隔舌下温度收缩压 交感神经负交感神经 实例2 n林登根据他收集的来自
9、139名运动员的比赛数 据，对第二次世界大战以来奥林匹克十项全能 比赛的得分作了因子分析研究。这十个全能项 目为： v100米跑x1、跳远x2、铅球x3、跳高x4、400米跑x5 、110米跨栏x6、铁饼x7、撑杆跳x8、标枪x9、1500 米跑x10 n对10个变量标准化后的因子分析表明，十项得 分基本上可归结于他们的短跑速度、爆发性臂 力、爆发性腿力和耐力这四个方面，每一方面 都称为一个公共因子。 因子分析的类型 n探索性因子分析exploratory Factor Analysis v根据变量间相关关系探索因子结构 v实例2 n确认性因子分析Confirmatory Factor Ana
10、lysis v检验对因子结构的先验认识是否合理，评估因子模 型的拟合程度 v实例1 二、探索性因子分析模型 n正交因子模型 n重要假设 n因子载荷阵的统计意义 1. 正交因子模型 observed variables factor loadings common factors specific factors 设：可观测随机变量xi，E(xi)=i，i=1,2, p, 不可观测正交随机变量fj，j=1,2,m, E(fj)=0 ，(fj)=1， 一般因子模型：反映了各变量与 公共因子的关系 mp 因子载荷阵 因子分析：求出各因子载 荷量aij，并在此基础上计 算各样本的因子得分，据 此评价样
11、本，预测。 与线性回归模 型的区别？ 因子载荷量 中 心 化 变 量 因子模型 x1x2x3xixp 123iP f1f2fm f f因子因子：不可观测：不可观测 ，可估计，可估计 可观测可观测 特殊因子特殊因子：不可观测，难以估计：不可观测，难以估计 构成：测量误差构成：测量误差+ +个性因素个性因素 十项全能例 因子模型 因子得分计算公式 2. Important Assumptions nf1, f2, , fm are independent, with identical distributions having a mean of 0 and a variance of 1 n1、
12、2 、 pare independent, with distributions having a mean of 0 and variances i2 nfi and j are independent for all i, j combinations Under the assumptions above Actually, the goal of “factor analysis” is to try to decompose the covariance matrix (or correlation matrix for standardized data) into two par
13、ts each in the form dictated above. 当m=p时，var(x)=AAT 然而只有当m0.2 Measure Reliability ntells us whether a particular variable Xi does a good job of measuring the true underlying factor that it purports to measure vRule of thumb: i0.7 X1XiXk 1i3 f1 1 i k Reliability of the composite index ntells us whet
14、her the measurement model is good enough to measure the latent factor X1XiXk 1i3 f1 1 i k 因子分析：止痛药例 Factor1: 有效性 Factor2: 和缓性 极大似然估计结果 比较模型 本章小结 n因子分析：一种用来分析隐藏在表象背后的潜在一种用来分析隐藏在表象背后的潜在 因子作用的统计模型因子作用的统计模型 vv基本思想：认为存在一些潜在共性因素影响着事物在基本思想：认为存在一些潜在共性因素影响着事物在 多方面的表现多方面的表现 n探索性因子模型 因子模型求解：估计公共因子个数估计公共因子个数mm、
15、载荷阵、载荷阵A A和和 特殊因子方差特殊因子方差载荷阵元素载荷阵元素a a ij ij 表示表示x x i i 对对f f j j 的依赖程度的依赖程度 因子旋转：使每个变量的载荷都尽可能集中在某个因子上 ，以使公因子易于解释。因子旋转不改变变量共同度和特 殊因子方差。 因子模型建立之后，通过因子得分评价各样本在各个公共因 子上的表现 确认性因子分析 n先验因子结构 n因子间可相关 n可估计标准误差，做参数检验、拟合优 度检验、测量指标可靠度 n便于模型比较 因子分析与主成分分析的区别 n主成分分析只是通常的变量变换，不能做模型 v将一组具有相关关系的变量变换为一组互不相关的变量 v主成分是可观测的原始变量的线性组合 v主成分个数=变量数（应用时只取前几个主成分） v主成分不一定可以解释 n因子分析需要构造因子模型 v用尽可能少的公因子，以便构造一个结构简单的因子模型 v将原始变量表示为公因子与特殊因子的线性组合 v公因子是不可观测的，且共因子不能表示为原始变量的相性组合 v比主成分分析更灵活（可旋转，因而共因子通常更容易得到解释） 共同点：分析变量间的相关性。若原始变量间的 相关性弱，则不适宜做因子分析或主成分分析
