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1、1多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动有阻尼的多自由度系统有阻尼的多自由度系统多自由度系统振动多自由度系统振动机械振动理论机械振动理论2多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动固有频率固有频率模态模态模态的正交性模态的正交性主质量和主刚度主质量和主刚度模态叠加法模态叠加法模态截断法模态截断法机械振动理论机械振动理论3多自由度系统的固有频率作用力方程：固有振动方程：（自由振动方程）在考虑系统的固有振动时，最感兴趣的是系统的同步振动，即系统在各个坐
2、标上除了运动幅值不相同外，随时间变化的规律都相同的运动多自由度系统振动多自由度系统的自由振动和单自由度系统一样，自由振动时系统将以固有频率为振动频率4同步振动：系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外，随时间变化的规律都相同的运动振动形式1振动形式2振动形式3三自由度系统多自由度系统振动多自由度系统的自由振动5多自由度系统的固有频率作用力方程：固有振动方程：（自由振动方程）代表着振动的形状常数列向量和单自由度系统一样，自由振动时系统将以固有频率为振动频率同步振动：系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外，随时间变化的规律都相同的运动运动规律的时间函数多自由度系统振动多自由度系统的自由振动6代入，并左乘
3、：M正定，K正定或半正定对于非零列向量：半正定系统：正定系统：t的函数与t无关令多自由度系统振动多自由度系统的自由振动7a、b、为常数（1）正定系统只可能出现形如的同步运动系统在各个坐标上都是按相同频率及初相位作简谐振动（2）半正定系统可能出现形如的同步运动也可能出现形如的同步运动（不发生弹性变形）主振动多自由度系统振动多自由度系统的自由振动8首先讨论正定系统的主振动首先讨论正定系统的主振动M正定，K正定主振动：正定系统：将常数a并入中有非零解的充分必要条件：特征方程多自由度系统振动多自由度系统的自由振动9解出n个值，按升序排列为：第i阶固有频率频率方程或特征多项式固有频率仅取决于系统本身的刚
4、度、质量等物理参数：基频多自由度系统振动多自由度系统的自由振动采用位移方程求解固有频率位移方程：柔度矩阵自由振动：主振动：代入，得：特征值？解释：多自由度系统振动多自由度系统的自由振动11采用位移方程求解固有频率位移方程：柔度矩阵自由振动：主振动：代入，得：特征值特征方程：特征根按降序排列：多自由度系统振动多自由度系统的自由振动例：三自由度系统m2kmmk2kkx1x2x3多自由度系统振动多自由度系统的自由振动13多自由度系统的模态（主振型）正定系统：主振动：特征值问题：特征值特征向量n自由度系统：（固有频率）（模态）一一对应代入：第i阶模态特征值问题振动的形状多自由度系统振动多自由度系统的自
5、由振动n个方程奇次方程组当不是特征多项式重根时，上式n个方程只有一个不独立设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有的某个元素（例如）的项全部移到等号右端多自由度系统振动多自由度系统的自由振动当不是特征多项式重根时，上式n个方程只有一个不独立设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有的某个元素（例如）的项全部移到等号右端若这个方程组左端的系数行列式不为零，则可解出用表示的否则应把含的另一个元素的项移到等号右端，再解方程组n个方程奇次方程组n-1个方程非奇次方程组多自由度系统振动多自由度系统的自由振动16为使计算简单，令：当不是特征多项式的重根时，上式的n个方程中有且只有一个不独立设最后一个方程
6、不独立，把它划去，并且把含有的某个元素（例如）的项全部移到等号右端多自由度系统振动多自由度系统的自由振动17例：三自由度系统2kmmmk2kkx1x2x3多自由度系统振动多自由度系统的自由振动以为例进行说明将代入，有：与第一个方程相同方程组中有一式不独立例如，将第三个方程去掉若令整理多自由度系统振动多自由度系统的自由振动19令：解得：的值值也可以取任意非零常数将解得也为特征向量在特征向量中规定某个元素的值以确定其他各元素的值的过程称为归一化多自由度系统振动多自由度系统的自由振动20正定系统：主振动：将、代入主振动动方程并将改为为第i阶主振动：系统统在各个坐标标上都将以第i阶阶固有频频率wi做简
7、谐振动，并且同时通过静平衡位置多自由度系统振动多自由度系统的自由振动21第一阶主振动第二阶主振动第三阶主振动三自由度系统系统统在各个坐标标上都将以第i阶阶固有频频率wi做简谐振动，并且同时通过静平衡位置w1w2w3多自由度系统振动多自由度系统的自由振动22第i阶主振动：多自由度系统振动多自由度系统的自由振动23第i阶主振动：第i阶特征向量中的一列元素，就是系统做第i阶主振动时各个坐标上位移（或振幅）的相对比值虽然各坐标上振幅的精确值并没有确定，但是所表现的系统振动形态已确定描述了系统做第i阶主振动时具有的振动形态，称为第i阶主振型，或第i阶模态主振动仅取决于系统的M阵、K阵等物理参数，这一重要
8、概念是单自由度系统所没有的多自由度系统振动多自由度系统的自由振动24正定系统：第i阶主振动：系统的固有振动：n个主振动的叠加模态叠加法由于各个主振动的固有频率不相同，多自由度系统的固有振动一般不是简谐振动，甚至不是周期振动初始条件决定多自由度系统振动多自由度系统的自由振动正定系统：特征值问题：特征矩阵记为B或B(w)当wi不是重特征根时时，可以通过过B的伴随矩阵阵adjB求得相应的主振型根据逆矩阵定义：两边边左乘：当时：或的任一非零列都是第i阶阶主振动动多自由度系统振动多自由度系统的自由振动26例：两自由度弹簧质量系统m2m2kkkx1x2求：固有频率和主振型多自由度系统振动多自由度系统的自由
9、振动27解：动力学方程：令主振动：或直接用得：m2m2kkkx1x2多自由度系统振动多自由度系统的自由振动28令特征方程：为求主振型，先将代入：一个独立令则第一阶主振型：令则代入第二阶主振型：多自由度系统振动多自由度系统的自由振动29第一阶主振型：第二阶主振型：画图：横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值第一阶主振动:11m2m2kkkx1x2两个质量以w1为振动频率，同时经过各自的平衡位置，方向相同，而且每一时刻的位移量都相同aa同向运动多自由度系统振动多自由度系统的自由振动30第一阶主振型：第二阶主振型：画图：横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值-21m2m2kk
10、kx1x2第二阶主振动:两个质量以w2为振动频率，同时经过各自的平衡位置，方向相反，每一时刻第一个质量的位移都第二个质量的位移的两倍异向运动2aa多自由度系统振动多自由度系统的自由振动31第一阶主振型：第二阶主振型：第一阶主振动:同向运动始终不振动点11-21无节点一个节点m2m2kkkx1x2第二阶主振动:异向运动节点如果传感器放在节点位置，则测量的信号中将不包含有第二阶模态的信息多自由度系统振动多自由度系统的自由振动32例：三自由度弹簧质量系统2kmmmk2kkx1x2x3求：固有频率和主振型多自由度系统振动多自由度系统的自由振动33解：动力学方程：主振动：或2kmmmk2kkx1x2x3
11、多自由度系统振动多自由度系统的自由振动令行列式0单根可用伴随矩阵求振型特征矩阵多自由度系统振动多自由度系统的自由振动35分别别代入第二阶模态有1个节点，第三阶模态有2个节点，这由主振型内元素符号变号的次数可以判断出多自由度系统振动多自由度系统的自由振动36模态图形：1121-11-11第一阶模态：第二阶模态：第三阶模态：2kmmmk2kkx1x2x3无节点一个节点两个节点mk23=wmk732.12=wmk1=w多自由度系统振动多自由度系统的自由振动37单自由度系统多自由度系统振动多自由度系统的自由振动38两自由度系统第一阶模态第二阶模态一个节点无节点节点位置多自由度系统振动多自由度系统的自由
12、振动39第一阶模态第二阶模态第三阶模态三自由度系统节点位置无节点一个节点两个节点多自由度系统振动多自由度系统的自由振动振动力学40第一阶模态第二阶模态第三阶模态第四阶模态四自由度系统一个节点两个节点三个节点节点位置无节点多自由度系统振动多自由度系统的自由振动41小结：n自由度系统有n个固有频率和n个模态，由特征值方程求出固有频率按升序排列，最低阶固有频率称为基频模态的节点当wi不是重特征根时时，也可以通过过B的伴随矩阵阵adjB求得相应的主振型多自由度系统振动多自由度系统的自由振动42模态的正交性，主质量和主刚度两式相减：转置右乘左乘若时，模态关于质量的正交性模态关于刚度的正交性均满足：当ij
13、时第i阶模态主质量第i阶模态主刚度第i阶主模态恒成立多自由度系统振动多自由度系统的自由振动43模态关于质量的正交性模态关于刚度的正交性当ij时主质量主刚度当时利用Kronecker符号：第i阶固有频率：多自由度系统振动多自由度系统的自由振动主模态：第i阶模态主质量第i阶模态主刚度第i阶主模态多自由度系统：另一种模态：正则模态定义：全部主质量皆为1的主模态令：正则模态和主模态之间的关系：相对于的主刚度：多自由度系统振动多自由度系统的自由振动45正则模态的正交性条件：主模态的正交性条件：第i阶模态主质量第i阶模态主刚度第i阶主模态主模态：主质量为1固有频率的平方第i阶正则模态正则模态：多自由度系统
14、振动多自由度系统的自由振动46多自由度系统：主模态将组成矩阵模态矩阵主质量矩阵主刚度矩阵正交性条件：对角阵多自由度系统振动多自由度系统的自由振动47推导：对角阵多自由度系统振动多自由度系统的自由振动48多自由度系统：正则模态将组成矩阵正则模态矩阵单位矩阵谱矩阵正交性条件：多自由度系统振动多自由度系统的自由振动49多自由度系统：特征值问题：依次取，得到的n个方程，可合写为：主模态正交性条件：左乘：多自由度系统振动多自由度系统的自由振动50例：三自由度系统模态矩阵：主质量矩阵：主刚度矩阵：Kp、Mp非对角线项等于零说明主振型是关于刚度阵及质量阵相互正交的谱矩阵：2kmmmk2kkx1x2x3多自由
15、度系统振动多自由度系统的自由振动51模态矩阵：主质量矩阵：主刚度矩阵：谱矩阵：正则模态和主模态之间的关系：正则模态矩阵：不难验证，有：2kmmmk2kkx1x2x3多自由度系统振动多自由度系统的自由振动52模态叠加法模态相互正交表明它们是线性独立的，可用于构成n维空间的基系统的任意n维自由振动可唯一地表示为各阶模态的线性组合即系统的振动为n阶主振动的叠加模态叠加法物理坐标主模态坐标模态矩阵坐标关系：多自由度系统振动多自由度系统的自由振动53另一种模态坐标：正则模态坐标物理坐标正则模态坐标系统响应：正则模态矩阵多自由度系统振动多自由度系统的自由振动54小结：多自由度系统：可采用两类模态坐标进行描
16、述主模态坐标正则模态坐标多自由度系统振动多自由度系统的自由振动求解无阻尼系统对初始条件的响应可分别采用两类模态坐标进行求解首先采用主模态坐标自由振动方程：坐标变换：主模态坐标：主模态矩阵代入，并左乘：模态坐标初始条件：多自由度系统振动多自由度系统的自由振动56自由振动方程：坐标变换：在求得后，可利用式求得原系统的解多自由度系统振动多自由度系统的自由振动57求解无阻尼系统对初始条件的响应采用正则模态坐标自由振动方程：坐标变换：正则模态坐标：正则模态矩阵代入，并左乘：模态坐标初始条件：多自由度系统振动多自由度系统的自由振动58自由振动方程：坐标变换：在求得后，可利用式求得原系统的解多自由度系统振动多自由度系统的自由振动59例：三自由度弹簧质量系统求：系统在初始条件下的响应2kmmmk2kkx1x2x3多自由度系统振动多自由度系统的自由振动602kmmmk2kkx1x2x3解：动力学方程：模态初始条件：正则模态矩阵：mk23=wmk32=wmk1=w固有频率：多自由度系统振动多自由度系统的自由振动612k
