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1、第六章第六章级数级数高等数学高等数学安徽电气工程学院安徽电气工程学院9/22/20241本章安排10课时，每节2学时，习题课2学时。具体如下：第第1,2课时：课时：6.1 6.1 常常数数项项级级数数的的概概念念与性质与性质9/22/20242教学目的：教学目的：理解级数的定义，掌握级数理解级数的定义，掌握级数收敛、发散的概念及其性质，熟悉几何级收敛、发散的概念及其性质，熟悉几何级数、调和级数的敛散性，会用级数收敛的数、调和级数的敛散性，会用级数收敛的必要条件判断某些级数的发散。必要条件判断某些级数的发散。教教学学重重点点：级级数数收收敛敛发发散散的的定定义义，级级数数收收敛的必要条件。敛的必
2、要条件。教学难点：教学难点：数项级数的性质。数项级数的性质。9/22/20243教学过程：教学过程：1.本本章章概概况况介介绍绍，讲讲本本节节内内容容前前先先复复习习数数列列的的概概念念，等等差差和和等等比比数数列列的的求和公式求和公式。（7） 2.给出数项级数的定义，说明通项、给出数项级数的定义，说明通项、部分和等概念。部分和等概念。（8）3.对对定定义义2的的说说明明，强强调调“和和”与与“无无穷穷项项累累加加”的的区区别别，讲讲清清收收敛敛与与发发散散的的概概念念。（7 7）9/22/202444.通通过过对对例例1的的讲讲解解，要要求求学学生生掌掌握握等等比比级级数数的的审审敛敛法法；
3、例例2,3都都是是拆拆项项化化简简的的方方法，类似题还可举法，类似题还可举1，2个，或让学生练习。个，或让学生练习。（18）5.给给出出并并配配以以简简例例说说明明数数项项级级数数的的三三个个性质。性质。（10）6.叙述并推出级数收敛的必要条件。叙述并推出级数收敛的必要条件。（10）9/22/202457.举举例例4,5，例例5的的结结论论说说明明通通项项趋趋于于零零不不是是级级数数收收敛敛的的充充分分条条件件，要要学学生生记记住住调调和和级级数是发散的。再适当补充举例数是发散的。再适当补充举例1，2。（15）8.课堂练习：判别级数的敛散性：课堂练习：判别级数的敛散性：1）2）（15）9.小结
4、，布置作业。小结，布置作业。（10）9/22/20246第第3,4课时：课时：6.2常常数项级数的审敛数项级数的审敛法法9/22/20247教学目的：教学目的：掌握正项级数的比较和比值掌握正项级数的比较和比值判别法，掌握交错级数的莱布尼兹判别法，判别法，掌握交错级数的莱布尼兹判别法，会判别绝会判别绝对收敛和条件收敛对收敛和条件收敛。教学重点：教学重点：正项级数的比较审敛法和正项级数的比较审敛法和 比值审敛法。比值审敛法。教学难点：教学难点：正项级数的比较审敛法。正项级数的比较审敛法。9/22/20248教学过程：教学过程：1叙叙述述正正项项级级数数定定义义，分分析析引引出出定定理理1，举例举例
5、1说明。说明。（10）2.给给出出并并说说明明比比较较审审敛敛法法，注注意意用用一一般般项项作作比比较较，强强调调“小小于于收收敛敛则则收收敛敛，大大于于发发散散则则发发散散”学学生生往往往往用用错错），指指出出比比较较对对象象：几几何何级级数数，调调和和级级数数，P-级级数数等等等等；举举例例25，要要求求学学生生掌掌握握P-级级数数的的审审敛敛法法。可可补补充充2个个例例题题，先先让让学学生生思思考考，再再与与学学生生一一起起分分析析解解答答。（25）9/22/202493给给出出比比值值审审敛敛法法，复复习习一一下下两两个个重重要要极极限限公公式式，罗罗必必塔塔法法则则，再再举举例例79
6、（的的三三种种不不同同情情况况），可可补补充充1,2个个例例题，或让学生练习。题，或让学生练习。（25）4举举例例说说明明什什么么是是交交错错级级数数，说说明明莱莱布布尼尼兹兹审审敛敛法法。举举例例10，指指出出条条件件（2）是是收收敛敛的的必必要要条条件件，但但条条件件（1）不不满满足足，不不能能讲讲该该级级数数就就一一定定发发散散。判判别别条条件件（1）有有三三种种方方法法：差差与与0比比较较、比比与与1比比较较、一一般般项项对对n的的导导数数与与0比比较较。可可适适当当增增加加例例题题或或让让学学生生练练习习。（15）9/22/2024105先先举举例例说说明明定定理理5，再再叙叙述述绝
7、绝对对收收敛敛和和条条件件收收敛敛的的定定义义，然然后后举举相相关关例例题题。可可补补充充交交错错级级数数是是绝绝对对收收敛敛的的例例题题，也也为为判判别别某某些些收收敛的交错级数多了一个思路。敛的交错级数多了一个思路。（15）6小小结结：判判别别级级数数敛敛散散性性有有哪哪些些方方法法，一一般使用的先后次序。布置作业。般使用的先后次序。布置作业。（10）9/22/202411第第5,6课时：课时：6.3 6.3 幂幂 级级 数数9/22/202412教学目的：教学目的：掌握幂级数的概念及收敛半掌握幂级数的概念及收敛半径和收敛区间的求法，了解幂级数的性质，径和收敛区间的求法，了解幂级数的性质，
8、会求简单幂级数的和函数。会求简单幂级数的和函数。教教学学重重点点：幂幂级级数数的的概概念念及及收收敛敛半半径径和收敛区间的求法。和收敛区间的求法。教学难点：教学难点：求幂级数的和函数。求幂级数的和函数。9/22/202413教学过程：教学过程：1.先先说说明明什什么么是是幂幂级级数数及及其其一一般般形形式式，讲讲清清收收敛敛（发发散散）点点、域域的的概概念念；再再讲讲和函数的概念，用常见的等比级数举例。和函数的概念，用常见的等比级数举例。（15）2.给给出出并并说说明明阿阿贝贝尔尔定定理理，讲讲叙叙幂幂级级数数收收敛敛性性的的三三种种情情形形，指指出出收收敛敛区区间间和和收收敛敛域域的的区区别
9、别。（15）3.求收敛半径的方法，定理求收敛半径的方法，定理2及证明。及证明。（10）.9/22/2024144.先先举举例例1,说说明明求求收收敛敛域域的的方方法法，可可补补充充简简单单的的例例题题巩巩固固专专升升本本考考试试范范围围。其其它它例例题题求求收收敛敛区区间间为为主主，当当幂幂级级数数缺缺奇奇（偶偶）次次项项可可用用取取绝绝对对值值，由由比比值值审审敛敛法法求求出出其其收收敛敛区区间间，除除例例3外外还还可可补补充充缺缺偶偶次次项项的的例例题题。举举例例4后后让让学学生生记记住住：对对的幂级数是如何求收敛区间的。的幂级数是如何求收敛区间的。（20）5.讲解幂级数的性质。讲解幂级数
10、的性质。（10）9/22/2024156.说说明明如如何何用用逐逐项项求求导导或或逐逐项项积积分分的的方方法法求求幂幂级级数数的的和和函函数数，举举例例。使使学学生生明明白白通通过过逐逐项项求求导导或或积积分分将将级级数数转转化化为为可可求求和和的的几几何何级级数数，再再用用逆逆运运算算求求出出和和函函数数。习习题题中中有有二二次次逐逐项项积积分分的情形说明一下。的情形说明一下。（15）7补充例题或练习。补充例题或练习。（10）8本课小结，布置作业。本课小结，布置作业。（5）9/22/202416第第7,8课时：课时：6.4函数展开成幂级数函数展开成幂级数9/22/202417教学目的：教学目
11、的：了解泰勒级数的有关概念，了解泰勒级数的有关概念，熟悉几个初等函数的幂级数展开式，会用熟悉几个初等函数的幂级数展开式，会用间接法求较简单间接法求较简单函数的泰勒级数。函数的泰勒级数。教教学学重重点点：用用间间接接法法将将函函数数展展开开为为幂幂级数。级数。教学难点：教学难点：将函数展开为幂级数。将函数展开为幂级数。9/22/202418教学过程：教学过程：1表表叙叙泰泰勒勒公公式式和和马马克克劳劳林林公公式式，举举例例（15）2说说明明什什么么是是泰泰勒勒级级数数和和马马克克劳劳林林级级数数，f（x）在在点点x处处的的泰泰勒勒级级数数与与在在点点x处处的的泰泰勒勒展展开开式式有有什什么么不不
12、同同。（本本书书提提法法与与其其它它教教材材有有异异，参参见见同同济济等等教教材材）（10）3.如如何何把把函函数数f（x）直直接接展展开开成成x的的幂幂级级数数，举举例例。记记住住常常用用的的展展开开式式。（2020） 9/22/2024194举举例例用用间间接接法法将将函函数数展展开开成成泰泰勒勒级级数数，提提醒醒不不要要忘忘写写收收敛敛域域。适适当当补补充充例例题，与习题中累似的题如：展开为题，与习题中累似的题如：展开为（x1）的幂级数）的幂级数：5.练习：练习：（25）1）将）将f（x）=展开成展开成x3的幂级数；的幂级数；2）将）将f（x）=展开成展开成x的幂级数。的幂级数。 （15
13、）6本次课小结。布置作业。本次课小结。布置作业。（10）9/22/202420第第9,10课时：课时：6.5 6.5 周周期期为为2的的函函数展开成傅里叶级数数展开成傅里叶级数9/22/202421教学目的：教学目的：掌握傅里叶系数及掌握傅里叶系数及傅里叶级数公式和收敛定理，会傅里叶级数公式和收敛定理，会将将2为周期的函数展开成傅里叶为周期的函数展开成傅里叶级数。级数。教教学学重重点点：2为为周周期期的的函函数数展展开成傅里叶级数。开成傅里叶级数。教教学学难难点点：2为为周周期期的的函函数数展展开成傅里叶级数。开成傅里叶级数。9/22/202422教学过程：教学过程：1内内容容筒筒单单介介绍绍
14、，学学习习要要求求；复复习习积积分分有有 关关 公公 式式 ， 再再 推推 证证 三三 角角 函函 数数 系系 的的 正正 交交 性性 。 （2020） 2用用逐逐项项积积分分及及三三角角函函数数系系的的正正交交性性推推出傅里叶系数的公式。出傅里叶系数的公式。（20）3在在复复习习间间断断点点类类型型的的基基础础上上，给给出出并并解解释释收收敛敛定定理理。说说明明f（x）的的傅傅里里叶叶级级数与傅里叶展开式不是一回事。数与傅里叶展开式不是一回事。（10）9/22/2024234举举例例1，2后后强强调调解解题题步步骤骤，要要求求作作出出图图形形、解解题题过过程程不不查查积积分分表表、展展开开式式后的收敛区间一定要写。（后的收敛区间一定要写。（30）5.课堂练习：将函数课堂练习：将函数 展为余弦级数。展为余弦级数。 （1010）6小结，布置作业。小结，布置作业。9/22/202424第第11,12课时：课时：习题课习题课1本章主要内容，要求，解题方法、步本章主要内容，要求，解题方法、步骤，常见错误分析等小结。骤，常见错误分析等小结。2.同学生一起分析解答复习题同学生一起分析解答复习题10有关题。有关题。3.小测验。小测验。9/22/202425
