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1、复变函数论姓名（学号：1938）（物理与电子信息学院 物理学专业2010级，内蒙古 呼和浩特 010022）指导老师:孙咏萍第一章：复变函数一复数(一)概念:将定义i2=1,将i作为虚数单位,引出虚数概念. (二)虚数具体表达方式如下1.代数式：且(） 实部,虚部 模: 2.指数式：3.三角式： 在指数与三角式中，辅角，模 ，其中为主辅角，其取值范围0，2） 4复平面表示:把虚数的实部、虚部当作平面上的坐标，使之与平面上的点一一对应。此平面称为复平面，坐标轴称为实轴虚轴。与原点形成的矢量即可表示此复数。幅角就是矢量与实轴所成的角，周期性很明显5. 共轭复数: (三)复数运算1.加减法：实部与实
2、部相加减，虚部与虚部相加减，并且满足交换律与结合律。代数式有 ：由复平面可得，并可以以得出：2.乘除法：（1）应用代数式有 ： ： （2）应用三角和指数有如下：乘法：模相乘，辐角相加。除法：模相除，辐角相减。满足交换律，结合律，分配律。3.当，可以归结为一对实变数x和y分别逼近常数和的问题。进而有：；二复变函数(一)区域概念1.邻域：以复数为圆心以任意小半径做圆，圆内所有的点集合称为的邻域。2.及其邻域均属于点集E，则称为该点集的内点。3.若及其邻域均不属于点集E，则称为该点集的外点。4.点：若在的邻域内即有E的点也有E外的点，境界点的全体称为境界线。5.区域：满足以下条件的点集（1）全有内点
3、组成。（2）具有连通性。6闭区域B及其境界线所组成的点集称为闭区域，以表示。点集不一定是区域，但是区域一定是点集。(二)复变函数定义：在复数平面（或球面）上存在一个点集E（复数的集合），对于E的每一点，按照一定的规律，有一个或多个复数值与之相对应，函数。记作 z的域为E。(三)复变函数例1.指数复变函数：2.正余弦复变函数：3.双曲正余弦函数: 4.对数函数: 复变函数同样也可以归结为一对二元实变函数，因此实变函数重的许多公式也同样适用与复变函数。三导数 1.若在B上的函数，在某点z极限存在，并且与的方式无关，则称函数在Z点可导，此极限叫作函数在Z点的导数，以或表示。2柯西黎曼方程；也叫柯西黎
4、曼条件，是复变函数可导的必要条件3.极坐标系中柯西黎曼方程：；。四解析函数1.解析：若函数在点及其邻域上处处可导，则称在点解析。2.解析函数：若在区域B上每一点都解析，则称是区域B上的解析数。3.解析函数的主要性质：(1)若函数在区域B上解析，则：;是B上的两组正交曲线。（与是常数）(2)若函数在区域B上解析，则和都是B上的调和函数。4给定一个二元调和函数是解析函数的实部，则其虚部为：有柯西黎曼方程；可得：于是可用以下方法求出：(1)曲线积分法:全微分的积分与路径无关，所以可以选取特殊的路径进行积分。(2)凑全微分法：把微分式凑全，在进行积分。(3)不定积分法第二章复变函数的积分一复变函数的积
5、分1.设在复数平面上的连续函数，并取了一系列点，把曲线分成n小段，并作和，每一小段都趋近于零，则：用实部与虚部表述出来为：，积分则为：这样复变函数的路积分可以归结为两个实变函数线积分。2.复变函数积分的几条性质：（1）常数因子可以移到积分号外。（2）函数的和的积分等于各个函数的积分的和。（3）全路径上的积分等于各段上积分之和。（4）反转积分路径，积分变号。（5）与起点终点积分路径都有关。二柯西定理内容1.单通区域情形(1)单通区域：在其区域中作任何简单的闭合曲线，围绕内的点都属于该区域内点。(2)柯西定理：。2复通区域情形(1)复通区域a一般来说，在区域内，只要有一个简单的闭合曲线期内其内不属
6、于该区域的点，这样的区域便称为复通区域。b正方向：总是在观察者的左边，外境界线正方向是逆时针，内镜界线正方向是顺时针。c奇点：不可导的点。(2)柯西定理: 。3柯西定理的性质：(1)闭单通区域上的解析函数沿境界线积分为零。(2)闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方向积分和为零。(3)闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时针方向积分等于沿所有内镜界线逆时针方向积分之和。三不定积分1.由柯西定理知，若函数f(z)在单通区域B上解析，则在B上沿任一路径积分只与起点和终点有关，与路径无关，则当固定时,此不定积分就定以了一个单值函数：。且，则是的一个原函数。2.3.（L不包围a）(,L不包围a)()
7、四柯西公式1.若在闭单通区域的境界线a为内的任意一点，则有柯西公式：还可以得到：即在L所围区域上存在奇点，考虑挖去奇点后的复通区域，解析，柯西公式依然成立，即把L理解为所有的境界线，并且方向取正方向。2.推论有第三章幂级数展开一复数项级数的收敛问题1.收敛的充分条件：对于一给定的小正数，必有N存在，使得nN时，式中p为任意正整数。2.绝对收敛:如果复数项级数各项的模（这是正的实数）组成的级数收敛则此级数就是绝对收敛。3.一致收敛：复变项级数收敛的充分条件对于一给定的小正数，必有N存在，使得nN时，式中p为任意正整数，如果N与Z无关，就把复变项级数叫做在L或B上一致收敛。4.一致收敛的性质：（1
8、）连续性（2）可积性（3）解析性5.优级数准则：若对于某个区域B上所有的点Z，复变项级数的各项的模，而正的常数项级数收敛，则复变项级数在B上绝对且一致收敛。二幂级数1各项为幂函数的复变相级数：，（1）其中，都是复常数，这样的级数叫做以为中心的幂级数。2.比值判别法：若则（1）式绝对收敛，引入新记号，就是说，如果，（1）式绝对收敛。如果，则（1）式发散。从中我们可以看出，以为圆心以为半径圆周，所以在圆内部就绝对收敛，在圆外就发散，这个圆就叫做幂级数的收敛圆，它的半径则就叫做收敛半径。3.根值判别方法：，绝对收敛。，发散。三泰勒级数展开1定理：设在以为圆心的圆内解析，则对圆内的任意z点，f(z)可
9、以展开为幂级数，其中2泰勒展开步骤：确定展开中心；确定系数；系数带回表达式。3泰勒展开具有唯一性。4解析延拓:解析延拓就是将解析函数的定义域变大，却在它们共同区域值相等。 四 洛朗级数展开1.定理：设在环形区域的内部单值解析，则对环域上任一点z，可以展为幂级数（2）。其中：积分路径C为位于环域内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线。（2）式称为的洛朗展开，其右端的级数称为洛朗级数。2.说明：（1）级数中的的负幂项，其中可以是奇点也可以不是。（2）尽管求展开系数的公式与泰勒展开系数的形式相同，但是却不是相等的。若是奇点则就不存在。（3）若只有环心是的奇点，内圆半径可以任意小，并且z无限接近于，则
10、称它为孤立奇点的邻域内的洛朗展开式。五 孤立奇点的分类1.孤立奇点：若在点不可导，而在的任意小邻域内除外处处可导，则称为。的孤立奇点。2.非孤立奇点：若在的无论多么小的邻域内总可以找到除以外的不可导点，则称为的非孤立奇点。3.可去奇点：挖去孤立奇点形成的解析函数没有负幂次项，即。4.本性起点：挖去孤立奇点形成的解析函数只有无限个负幂次项，即没有唯一的有限制。5.极点：挖去孤立奇点形成的解析函数只有有限个负幂次项，即同m叫作极点阶，一阶叫做单极点。第四章留数定理一.基本概念1.留数：洛朗级数的的系数就叫做函数在奇点的留数，通常记作：2.留数定理：设函数在回路L所谓的区域B上除有限个孤立奇点外解析
11、，在闭区域 上除外连续，则留数定理将回路积分归结为被奇函数在回路所围区域上个奇点的留数之和。第五章傅里叶变换一傅里叶级数1周期函数的傅里叶展开函数为周期函数，将展开为级数：函数族是正交的：（1）（2）（3）（4）（）（5）（）由三角函数族的正交性，可得傅里叶级数展开式：2.奇函数与偶函数的傅里叶展开(1)若周期函数是奇函数，则由傅里叶的计算公式（3）可见及均等于零，展开为=这叫做傅里叶正弦级数。由于对称性，其展开系数为：(2)若周期函数为偶函数则展开式为 =+ 这叫做傅里叶余弦级数。由于对称性，其展开系数为：=3复数形式的傅里叶级数：;展开系数:二傅里叶积分与傅里叶变换1傅里叶积分与傅里叶变换
12、(1).实数形式的傅里叶变换：设为定义在区间上的函数，一般来说，它是非周期的，不能展为傅里叶级数。所以我们将非周期函数看作是某个周期函数于周期时的极限情形.这样，的傅里叶级数展开式:=+引入不连续参量=（=0,1,2，），=-=这样上式称为：=+傅里叶系数为:对与系数，若有限，则=当时余弦部分为：正弦部分为：于是其形式为：=上式称为傅里叶积分。其中： 此式称为的傅里叶变换式。(2)傅里叶正弦积分：=；傅里叶正弦变换，满足条件。(3)傅里叶余弦积分：=；傅里叶余弦变换，满足条件。(4)复数形式傅里叶积分：复数形式傅里叶变换：第六章函数一定义：対于质点，点电荷，瞬时力这类集中于空间某一点的某一瞬时的抽象模型，在物理学中引入函数一描述其密度:二函数的一些性质（1）函数是偶函数，它的导数是奇函数，（2），称为阶跃函数，则有：（3）对于任何一个定义在上的连续函数，称为函数的挑选性，因为它将函数在点的值挑选出来。（4）即使是连续分布的质量，电荷或持续作用的力也可以用函数表示出来（5）如果的实根全是单根，则：三函数的傅里叶变换将函数表示为复数形式的傅里叶积分:其中傅里叶变换:所以，函数的傅里叶积分是:。【参考文献】数学物理方法（第三版）高等教育出版社。
