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1、 苏州大学本科生毕业设计（论文） 苏州大学苏州大学 本科毕业论文 （2012 届） 浅谈矩阵的对角化问题浅谈矩阵的对角化问题 学学号号 0807402069 姓名姓名 马莉莹 院院系系 数学科学学院 专专业业 数学与应用数学（师范） 指导老师指导老师朱广俊 目录目录 苏州大学本科生毕业设计（论文） 中文中文摘要摘要1 ABSTRACT2 前前 言言.3 第一章第一章 矩阵相似对角化问题的引入矩阵相似对角化问题的引入4 第二章第二章 矩阵相似对角化的条件矩阵相似对角化的条件5 第三章第三章 矩阵对角化的若干方法矩阵对角化的若干方法7 3.1 一般矩阵对角化的方法.7 3.2 实对称矩阵对角化的方
2、法20 第四章第四章 特殊矩阵的对角化特殊矩阵的对角化.27 总总 结结.31 参考文献参考文献32 致致 谢谢.33 苏州大学本科生毕业设计（论文） 0 中文摘要中文摘要 矩阵的对角化是矩阵理论中的一个重要问题，本文利用高等代数的有关理论给出了 矩阵可对角化的若干条件；从初等变换、线性方程组、特征子空间等不同角度探究了将 一般矩阵和实对称矩阵对角化的若干方法；最后，分析了一些特殊矩阵的对角化问题， 如幂等矩阵、幂零矩阵、实对称矩阵和Hermite矩阵等. 关键词：对角化，特征值，特征向量，相似变换，线性变换. 苏州大学本科生毕业设计（论文） 1 Abstract Diagonalizatio
3、n of Matrix is an important problem in the matrix theory. We give several conditions of matrix diagonalization by the use of higher algebra related theory. We give some methods of diagonalization of general matrix and real symmetric matrix from different aspects, such as elementary transformation, s
4、ystem of linear equations and characteristic subspace. In the end, we analysis the diagonalization of some special matrix, such as idempotent matrix, nilpotent matrix，real symmetric matrix and hermite matrix. Keywords : diagonalization，eigenvalue，eigenvectors， similarity transformation，linear transf
5、ormation. 苏州大学本科生毕业设计（论文） 2 前前 言言 矩阵的对角化在国内外已有一定的研究.早在十九世纪末，人们在研究行列式的性质 和计算时，提出了对角矩阵的概念.随着计算机的发展，矩阵对角化的应用前景也变得更 为广阔. 对角矩阵是一类最简单的矩阵，它在许多领域如量子力学、无线电、电子信息工程、 计算机等中起着重要的作用.由于通过相似变换，许多矩阵在相似意义下都与一个对角矩 阵等价，而对角矩阵的性质很容易从它自身元素的特点得出，所以对于可对角化的矩阵， 我们只要研究它的相似标准形即可. 本文主要简述了矩阵可对角化的若干条件；从初等变换,线性方程组,特征子空间等 不同角度探究了将一般
6、矩阵和实对称矩阵对角化的若干方法；最后，分析了一些特殊矩 阵的对角化问题，如幂等矩阵、幂零矩阵、实对称矩阵和Hermite矩阵等. 符号说明符号说明 数域FF 复数域C 数域上的线性空间VF 的全体线性变换的集合( )L VV 数域上的维向量全体所组成的集合 n FFn 数域上的阶矩阵的集合 m n F Fm n 单位矩阵I 矩阵的逆 1 AA 矩阵的转置 T AA 矩阵的共轭转置 H AA 矩阵的秩( )rank AA 矩阵的迹( )tr AA 苏州大学本科生毕业设计（论文） 3 第一章第一章 矩阵相似对角化问题的引入矩阵相似对角化问题的引入 在高等代数中，对于有限维线性变换的研究，主要有两
7、种方法. 第一种：对某空间的全体线性变换的集合引进运算：加法、数量乘积.这样V( )L V 就构成了数域上的线性空间.我们可利用这些运算来研究线性变换.( )L VF 第二种：在空间中取定一组基，建立起线性变换与矩阵之间的一一对应关系，通过对线 性变换所对应的矩阵的线性性质的探索了解，来获得线性变换的线性性质的相关信息. 当利用矩阵这一工具来研究线性变换时，我们自然希望它所对应的矩阵较为简单， 最好为对角矩阵，以便容易了解它的性质.接下来我们自然会问： (1) 对一个线性空间中的线性变换而言，是否一定存在某个基，使得它对应的矩阵是对 角形的？ (2) 若存在，则需满足什么条件？将矩阵变为对角矩
8、阵又有哪些方法？ (3) 若不存在，那么我们能否退而求其次，使得线性变换在某一基下的矩阵是准对角矩 阵？ 事实上，对于第三个问题，在复数域上已得到了非常完美的解决，这就是矩阵的 Jordan 相似标准形问题.下面给出相关定义和定理. 定义定义 1 1：设矩阵,称为属于的一个 Jordann n 0000 1000 0100 0010 A 00 (, )()nJAI 0 块，其中是它的主对角元，是阶数.称主对角线上的小矩阵都是 Jordan 块的准对角矩 0 n 阵为 Jordan 形矩阵. 定理定理 1 1（4)：设是复数域上的阶方阵.则存在 Jordan 形矩阵，使得与相似.如AnJAJ 果
9、不计 Jordan 块的排列顺序，这样的 Jordan 形矩阵是唯一的. 一般情况下，Jordan 标准形不是对角矩阵，它的主对角线上的元素是 Jordan 块，但 当所有的 Jordan 块都是一阶时，Jordan 标准形变为对角矩阵，即对角矩阵是它的一种特 殊情况.那么，满足什么条件时，所有的 Jordan 块都是一阶的？这就是接下来要讨论的矩 阵可对角化的条件. 苏州大学本科生毕业设计（论文） 4 第二章第二章 矩阵相似对角化的条件矩阵相似对角化的条件 随着矩阵的类型和其所在数域范围的不同，矩阵可对角化的条件也有所不同.下面分 别列出了矩阵在任意数域、复数域和实数域上所需满足的条件. 1
10、 1 任意数域上矩阵相似对角化的条件任意数域上矩阵相似对角化的条件 充要条件充要条件 设为阶方阵的个互异的特征值，且它们的重数分别为， 1, , m nAm 1, , m ss . 1,2,im 可对角化有个线性无关的特征向量AAn 对于的每个特征值,其代数重数等于其几何重数A i () ii rnsIA 的最小多项式无重根A 1 () m i i IA0 对于的每个特征值，都有A i 2 ()()rrIAIA 的初等因子都是 1 次的A 与某个循环矩阵相似A 充分条件充分条件 有个不同特征值可对角化AnA 的零化多项式（称满足的多项式为矩阵的零化多项式）无重根可A( )0gA( )g xAA
11、 对角化（9） 2 2 复数域上复数域上 Hermite 矩阵相似对角化的条件矩阵相似对角化的条件 定义定义 2 2：满足的阶复矩阵称为酉矩阵. HH A AAAInA 定义定义 3 3：满足的阶复矩阵称为Hermite矩阵. H AAnA 定理定理 2 2（4)：设，并且是Hermite矩阵，则存在一个酉矩阵，使得 n n C AAP ,并且是实数，. 1 12 , H n diag P APP AP i 1,2,in 由定理 2 知Hermite矩阵必可对角化. 苏州大学本科生毕业设计（论文） 5 3 3 实数域上对称矩阵相似对角化的条件实数域上对称矩阵相似对角化的条件 定义定义 4 4：
12、满足的阶实矩阵称为正交矩阵. TT A AAAInA 定义定义 5 5：满足的阶实矩阵称为实对称矩阵. T AAnA 定理定理 3 3(4)：设是一个阶的实对称矩阵，则存在一个正交矩阵,使得AnP ,并且是实数，. 1 12 , T n diag P APP AP i 1,2,in 由定理 3 知实对称矩阵既可相似对角化又可合同对角化. 苏州大学本科生毕业设计（论文） 6 第三章第三章 矩阵对角化的若干方法矩阵对角化的若干方法 3.13.1 一般矩阵对角化的方法一般矩阵对角化的方法 本文介绍了将一般矩阵对角化的五种方法，分别是特征向量法、矩阵乘积运算法、 Jordan 标准形法、矩阵标准形法和
13、数字矩阵对角形法.下面我们一一加以讨论. 1.1.特征向量法特征向量法 设矩阵与相似，且，并设为可逆矩阵.AB 12 (,) n diag B 12 (,) n PP PP 由，得,即.由此可见，这里只 1 P APBAPPB 121122 (,)(,) nnn AP APAPPPP 要取的列为方阵的个特征向量.因为可逆，所以线性 12 (,) n PP PPAnP 12 , n P PP 无关.可见方阵的对角化问题最终归结为求其特征值以及求特征值所对应的齐次线性方A 程组的基础解系的问题. 如果阶方阵相似于对角矩阵,则的相似对角化的一般步骤如下: nAA (1)求出的全部特征值.A 12 ,
14、 n (2)对的每个特征值，求出齐次线性方程组的一个基础解系,将所有这A i () i IA X0 样 的基础解系中的向量合在一起,假定这样的向量共有个,它们就是的个线性无关nAn 的特征向量，分别设它们为. 12 , n (3)令，则，其中是属于特征值的特征向 12 , n P 1 12 (,) n diag P AP i i 量.这里我们需要注意的是的列向量的排列次序应该与对角矩阵的主对角线元素的排列P 次序相一致. 例例 1 1：判定矩阵能否对角化，若能，求可逆矩阵，使得 为对角 460 350 361 AP 1 P AP 矩阵. 解：解：由，得的特征值， 2 (1) (2)0IAA 12 1 3 2 当时，解齐次线性方程组，得基础解系，. 12 1()IA X0 1 2 1 0 P 2 0 0 1 P 苏州大学本科生毕业设计（论文） 7 当时，解齐次线性方程组，得基础解系. 3 2 ( 2)IA X0 3 1 1 1 P 令，则有. 201 101 011 P 1 1 1 2 P AP 此方法的原理简单易懂，是最常规的方法.但在解决问题时，需要去求矩阵的特征值
