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1、第二章 导数与微分 导数反映了函数因变量相对于自变量变化的快慢程度， 即：函数的变化率。 微分指明, 当自变量有微小变化时，函数大体上改变了 多少。 本章内容包括： 两个概念导数与微分； 六个法则导数的四则运算法则，复合函数求导法则， 反函数求导法则； 若干导数应用问题。 第一节 导数的概念 0导数的定义 0用定义求导数 0导数的几何意义与物理意义 0可导与连续的关系 一、问题的提出 1.自由落体运动的瞬时速度问题 如图, 取极限得 自由落体运动的路程S是时间t的函数： 2.作变速直线运动的质点在某一时刻t的瞬时速度问题 质点运动的路程S是时间t的函数：S=S(t).从时 刻t到t+t时间段内
2、，质点走过的路程为： S=S(t+t)-S(t) 在时间间隔t内，质点运动的平均速度为: 平均速度 与t的取值有关，一般不等于质点在时 刻t的速度v，但t的值愈小， 愈接近于t时刻的速度 v(t)。因此,取极限t0,质点在时刻t的瞬时速度: 3.曲线的切线问题 割线的极限位置切线位置 M N 如图, 如果割线MN绕点 M旋转而趋向极限位置 MT,直线MT就称为曲线 C在点M处的切线. 极限位置即 函数值的改变量 自变量的改变量 二、导数的定义 定义 其它形式 即 关于导数的说明 右导数: 4) 单侧导数 左导数: 例: 三、由定义求导数 步骤: 例1 解 例2 解 例3 解 更一般地 例如,
3、例4 解 例5 解 例6 解 四、导数的几何意义与物理意义 1.几何意义 切线方程为 法线方程为 例7 解 由导数的几何意义, 得切线斜率为 所求切线方程为 法线方程为 例8 解 例8 2.物理意义非均匀变化量的瞬时变化率. 变速直线运动:路程对时间的导数为物体的 瞬时速度. 交流电路:电量对时间的导数为电流强度. 非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导 数为物体的线(面,体)密度. 五、可导与连续的关系 定理 凡可导函数都是连续函数. 证 举例 0 注意: 该定理的逆定理不成立 (连续函数未必可导). 01 例9 解 例10 解 六、小结 1. 导数的实质: 增量比的极限; 3. 导数的几何意义: 切线的斜率; 4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导; 5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数. 6. 判断可导性 不连续,一定不可导. 连续,再 直接用定义; 看左右导数是否存在且相等. Z 思考 解答
