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1、 第六章第六章 投影变换投影变换 6-1 概 述 6-2 换面法 基本要求 基本要求 （1）掌握换面法的基本原理和换面法作图 的投影变换规律。 （2）掌握用换面法求线段实长、平面图形 实形及其对投影面的倾角基本作图方法。 （3）掌握用换面法解决一般空间几何元素 间的定位和度量问题。 6.1 概 述 当直线或平面相对于投影面处于特殊位置（ 平行或垂直）时，它们的投影反映线段的实长、 平面的实形及其与投影面的倾角，当它们处于垂 直位置时，其中有一投影具有积聚性。 当直线或平面和投影面处于一般位置时，则 它们的投影就不具备上述的特性。 投影变换就是将直线或平面从一般位置变换 为和投影面平行或垂直的位
2、置，以简便地解决它 们的定位和度量问题。 a a b b 两点之间距离 a ab b c c 三角形实形 a a b b c c d d 直线与平面的交点 a b c d a b cd 两平面夹角 6. 2 换 面 法 6.2.1 换面法的基本概念 6.2.2 点的投影变换规律 6.2.3 直线的换面 6.2.4 平面的换面 换面法空间几何元素的位置保持不 动，用新的投影面来代替旧的投影面，使 对新投影面的相对位置变成有利解题的位 置，然后找出其在新投影面上的投影。 6.2.1 换面法的基本概念 a1 c1 b1 V1 X1 X1 V/H 体系变为V1/H 体系 c1 b1 a1 bc a b
3、 a c X 1. 新投影体系的建立 V1/H 体系称为新投影体系；V/H 体系为旧投影体系。 V1称为新投影面；V称为旧投影面；H称为不变投影面。 X1称为新投影轴；X称为旧投影轴。 新投影面的选择必须符合以下两个基本条件： (1) 新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置。 (2) 新投影面必须垂直于于原投影体系中的一个不变投影面。 2. 新投影面的选择原则 V1 H V1ABC 1.点的一次变换 X1 V1 a1 6.2.2 点的投影变换规律 V/H V1/H a1 a X V H a V H X X1 V1 a1 X1 H V1 a A a 变换V面时点的投影作图 V1 a1 （1
4、）点的新投影和不变投影的连线，必垂直于新投影轴。 （2）点的新投影到新投影轴的距离等于点的旧投影到旧投影轴的距离 。 2.点的投影变换规律 H1 X1 点在V/H1体系中的投影 X1 H1 V a1 a1 V/H 体系变为V/H1 体系 V/H1 体系称为新投影体系；V/H 体系为旧投影体系。 X1称为新投影轴；X称为旧投影轴。 H1称为新投影面； H称为旧投影面；V称为不变投影面。 a2 3.点的两次变换 X2 H2 V1 2 X2 a2 V/H V1/H V1/H2 新投影不变投影旧投影 新轴旧轴 第一次变换时的旧、 不变、新投影 值得提醒的是: 在多次变换中，必须遵照交替换面的原则 。
5、V/H V1/H V1/H2 V3/H2 V/H V/H1 V2/H1 V2/H3 如: V1 X1 1.将一般位置直线变换为投影面的平行线 a1 b1 a1 b1 X1 V1 H 6.2.3 直线的换面 将一般位置直线变换为V1面的平行线 一次换面即可 例题1 将一般位置直线变换为H1面的平行线 X1 H1 V a1 b1 X1 H1 V a1 b1 2.将投影面平行线变换为投影面的垂直线 b b 1 X1 a1 b1 一次换面即可 3.将一般位置直线变换为投影面的垂直线 V1 X1 a1 b1 2 a2 b2 需要二次换面 X2 一般位置直线变换为投影面垂直线的作图 X2 H2 V1 a2
6、 b2 X1H V1 a1 b1 例题2 求点C 到直线AB 的距离 空间分析 c2 作图 c1 b1 a1 X2 H1 V2 H1 X1 V k k k1 b2 a2 距离 k2 c1 k1 X2 例题3 求两平行直线AB与CD间的距离 X2 H2 V1 a a X V H b b a2 b2 X1 H V1 a1 b1 提示 a a X b b c d c d V H X2 H2 V1 a a X V H b b a2 b2 X1 H V1 a1 b1 作图 c d c d c2 d2 d1 c1 距离 2 1 11 21 12 22 X2 H2 V1 X1 H V1 a2b2 d2 c2
7、 b1 a1 d1 c1 2 1 b 例题4 求交叉两直线AB与CD的公垂线 AB H2 H2 AB CD H2 A B D C 12 22 c2 d2 12 22c2 d2 a c X V H b b a c 1.将一般位置平面变换为 投影面的垂直面 c d d D X1 H1 a1 c1 b1 d1 d X1 H1 V d b1 a1 c1 d1 6.2.4 平面的换面 一次换面即可 k1 X1 H1 V b1 a1 c1 d1 s1 例题5 求点S到平面ABC的距离 距离 N d d X1 V H1 k1 e1 b1 a1 c1 d1 有两解 e e 例题6已知E到平面ABC的距离为N，求E点的正面投影e 。 H A C X V c b a B 2. 将投影面垂直面变换为投影面的平行面 V1 c1 b1 a1 X1 X1 V1 c1 a1 b1 一次换面即可 a b a1 c1 b1 X1 d d b1 a1 c1 d1 X1 H1 V a2 c2 b2 d2 X2 V2 H1 3.将一般位置平面变换为投影面的平行面 实形 需要二次换面 例题7 已知E 点在 平面ABC上，距离A、B 为15，求点E 的投影。 d d b1 a1 c1 d1 X1 H1 V a2 c2 b2 d2 X2 V2 H1 15 15 e e e1 e2 有两解 本本 章章 结结 束束
