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1、首页上一页下一页结束 微积分 (第三版) 教学课件 4.2 洛必达法则 一、 未定式 五、其他类型未定式的极限 二、“ ”型未定式的极限 三、“ ”型未定式的极限 四、洛必达法则失效的情况 首页上一页下一页结束 微积分 (第三版) 教学课件 一、未定式 例如 下列极限都是未定式 如果在某一过程中 函数f(x)与F(x)同是无穷小量或同是 无穷大 首页上一页下一页结束 微积分 (第三版) 教学课件 对于 型极限有没有更简单、更一般的求解方法？ ? 因式分解复杂 二、“ ”型未定式的极限 首页上一页下一页结束 微积分 (第三版) 教学课件 定理41(洛必达法则I) 说明 当定理中xa改为x时 洛必
2、达法则同样有效 (LHospital，1661-1704，法国数学家) 设函数f(x)与g(x)满足条件 首页上一页下一页结束 微积分 (第三版) 教学课件 令f(a)g(a)0 于是f(x)及g(x)在点a的某邻域 内连续 在该邻域内应用柯西中值定理 有 简要证明 定理41(洛必达法则I) 如果函数f(x)及g(x)满足 (1)当xa时 f(x)0 g(x)0 (2)在点a的某去心邻域内可导 且g(x)0 首页上一页下一页结束 微积分 (第三版) 教学课件 解 原式 解 例2. 首页上一页下一页结束 微积分 (第三版) 教学课件 解 验型 解 例3. 例4. 例5. 首页上一页下一页结束 微
3、积分 (第三版) 教学课件 解：原式 = 存在非零因子 化简 例7. 首页上一页下一页结束 微积分 (第三版) 教学课件 例8. 首页上一页下一页结束 微积分 (第三版) 教学课件 因ex1x (x0) 故有exsin x1xsin x (x0) 因arcsin xx (x0) 故有arcsin x3x3 (x0) 例9. 首页上一页下一页结束 微积分 (第三版) 教学课件 注： 1. 洛必达法则是求解未定式极限的有效方法, 但是要结合各种方法，以求最捷方式. 1）等价无穷小替换法 2）将极限存在的非零因子分离出来不参与洛必 达法则的运算. 3）过程中注意化简. 2. 只要满足条件，可多次使用
4、洛必达法则. 但每次使用前都必须检验极限类型是否为 型. 首页上一页下一页结束 微积分 (第三版) 教学课件 定理42(洛必达法则II) 设函数f(x)与g(x)满足 说明 当定理中xa改为x时 洛必达法则同样有效 三、“ ”型未定式的极限 首页上一页下一页结束 微积分 (第三版) 教学课件 解 例10. 首页上一页下一页结束 微积分 (第三版) 教学课件 例11. 例12. 结论： 都是无穷大量，但是它们的阶数不相同，即有： 首页上一页下一页结束 微积分 (第三版) 教学课件 极限不存在 出现循环 四、洛必达法则失效的情况 注： 使用洛必达法则时,若 不存在，也不 为，这不能说明原极限不存在
5、，此时洛必达法 则“失效”，应改用其它方法计算. 首页上一页下一页结束 微积分 (第三版) 教学课件 五、其他类型未定式的极限 对于未定式0、00、1、0 都可以转化为 例 13. 首页上一页下一页结束 微积分 (第三版) 教学课件 解 例 14. 首页上一页下一页结束 微积分 (第三版) 教学课件 解 因为 例 15. 首页上一页下一页结束 微积分 (第三版) 教学课件 解 因为 例 16. 首页上一页下一页结束 微积分 (第三版) 教学课件 例 17. 首页上一页下一页结束 微积分 (第三版) 教学课件 洛必达法则 通分 有理化 小 结 首页上一页下一页结束 微积分 (第三版) 教学课件 例 18. 首页上一页下一页结束 微积分 (第三版) 教学课件 练 习
