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1、3.1. 空间向量的 加减法及其数乘运算 临沂一中高二数学组 回顾：平面向量 1、定义： 既有大小又有方向的量。 几何表示法:用有向线段表示 字母表示法： 用小写字母表示，或者用表示向量的 有向线段的起点和终点字母表示。 相等向量：长度相等且方向相同的向量 A B C D 2、平面向量的加法、减法与数乘运算 向量加法的三角形法则 a b 向量加法的平行四边形法则 b a 向量减法的三角形法则 a b a b a b a (k0)k a (k0)k a (k0)k 空间向量的数乘 空间向量的加减法 a b OA B b a 结论：空间任意两个向量都是共面向量空间任意两个向量都是共面向量，所以它们
2、可用 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有 关结论仍适用于它们。关结论仍适用于它们。 平面向量 概念 加法 减法 数乘 运算 运 算 律 定义 表示法 相等向量 减法:三角形法则 加法:三角形法则或 平行四边形法则 空间向量及其加减与数乘运算 空间向量 具有大小和方向的量 数乘:ka,k为正数,负数,零 加法交换律 加法结合律 数乘分配律 加法交换律 数乘分配律 加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则 数乘:ka,k为正数,负数,零 加法结合律 成立吗 ？ 加法结合律： a b c ab +
3、c + ( ) O A B C ab + a b c ab + c + ( ) O A B C bc + 推广: （1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量； （2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。 例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图) AB CD A1B1 C1D1 AB CD AB CD A1B1 C1D1 AB C D a 平行六面体：平行四边形ABCD平移向量 到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体. a 记做ABCD-A1B1C1D1 例1：已知平行六面体AB
4、CD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图) AB CD A1B1 C1D1 G M 始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量 F1 F2 F1=10N F2=15N F3=15N F3 例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。 AB CD A1B1 C1D1 例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。 AB CD A1B1 C1D1 例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。 AB CD A1B1 C1D1
5、 例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。 AB CD A1B1 C1D1 A B M C G D 1在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简 A B M C G D (2)原式 1在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简 A B C D D CB A 2在立方体AC1中,点E是面AC 的中心,求下列各式中的x,y. E A B C D D CB A 2 E 在立方体AC1中,点E是面AC 的中心,求下列各式中的x,y. A B C D D CB A 2 E 在立方体AC1中,点E是面AC 的中心,求下列各式中的x,
6、y. 一、共线向量: 零向量与任意向量共线. 1.共线向量:如果表示空间向量的 有向线段所在直线互相平行或重合,则这些 向量叫做共线向量(或平行向量),记作 2.共线向量定理:对空间任意两个 向量 的充要条件是存在实 数使 推论:如果 为经过已知点A且平行 已知非零向量 的直线,那么对任一点O, 点P在直线 上的充要条件是存在实数t, 满足等式OP=OA+t 其中向量叫做直线的 方向向量. O A B P a 若P为A,B中点, 则 二.共面向量: 1.共面向量:平行于同一平面的向量, 叫做共面向量. OA 注意：空间任意两个向量是共面的，但空间 任意三个向量就不一定共面的了。 2.共面向量定
7、理:如果两个向量 不共线,则向量 与向量 共面的充要 条件是存在实数对 使 推论:空间一点P位于平面MAB内的充 要条件是存在有序实数对x,y使 或对空间任一点O,有 例1 对空间任意一点O和不共线的三点 A、B、C，试问满足向量关系式 （其中 ）的四点P、A、B、 C是否共面？ 例2 如图，已知平行四边形ABCD，从平 面AC外一点O引向量 , , , ,求证： 四点E、F、G、H共面； 平面EG/平面AC。 EF GH EF GH ： 1.下列说明正确的是： A.在平面内共线的向量在空间不一定共线 B.在空间共线的向量在平面内不一定共线 C.在平面内共线的向量在空间一定不共线 D.在空间共
8、线的向量在平面内一定共线 2.下列说法正确的是： A.平面内的任意两个向量都共线 B.空间的任意三个向量都不共面 C.空间的任意两个向量都共面 D.空间的任意三个向量都共面 3.对于空间任意一点O，下列命题正确的 是： A.若 ，则P、A、B共线 B.若 ，则P是AB的中点 C.若 ，则P、A、B不共线 D.若 ，则P、A、B共线 4.若对任意一点O且 ， 则x+y=1是P、A、B三点共线的： A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.下列命题中正确的有： A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.对于空间中的三个向量 它们一定是： A.共面向量 B.共线向量 C.不共面向量 D.既不共线又不共面向量 7.已知点M在平面ABC内，并且对空间任 意一点O， ,则x 的值为：
